福建省晋江市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2019-2020学年高二上学期期末考试四校联考数学试题

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www.ks5u.com 安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 ‎2019-2020年高二上学期期末考试联考试卷 一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题纸的相应位置.‎ ‎1.复数的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：复数概念及运算．‎ ‎【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.共轭复数的概念.‎ ‎2.抛物线的焦点坐标是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.‎ ‎【详解】因为可化为，‎ 所以，且焦点在轴负半轴，‎ - 22 -‎ 因此焦点坐标为 故选C ‎【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.‎ ‎3.《九章算术》第三章“哀分”中有如下问题：“今有甲持钱四百八十，乙持钱三百，丙持钱二百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了480钱，乙带了300钱，丙带了220钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（ ）‎ A. 50 B. 32 C. 31 D. 30‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出抽样的比例，再根据比例计算出应出的钱,可得选项.‎ ‎【详解】根据分层抽样原理，抽样比例为，所以乙应交关税为钱.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查抽样方法中之分层抽样，关键在于计算出抽样的比例，属于基础题.‎ ‎4.“”是“曲线为双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充分条件和必要条件的定义进行判断.‎ ‎【详解】充分性：当时，,所以 - 22 -‎ 能表示双曲线，所以“”是“曲线为双曲线”的充分条件；‎ 必要性：当表示双曲线时，则有解得 或，所以必要性不满足.‎ 所以是“曲线为双曲线”的充分不必要条件. ‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用和双曲线的标准方程,属于基础题.‎ ‎5.已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导函数，再代入可求得值.‎ ‎【详解】因为,,,解得， 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导函数的计算，关键在于正确地求出函数的导函数，注意复合函数的导函数的求解，属于基础题.‎ ‎6.已知圆与双曲线的渐近线相切，且圆心恰好是双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B - 22 -‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意可得双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出ab结合c＝，即可得到a，b的值，则方程可求．‎ ‎【详解】由题意双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，圆心到切线的距离等于半径得，∴ab，又c＝解得a=, 则双曲线的标准方程是 故选B 点睛】本题考查双曲线的标准方程，,点到直线的距离公式，以及双曲线的简单性质的应用，是解题的关键．‎ ‎7.函数的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.‎ - 22 -‎ ‎【详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.‎ ‎8.设F为抛物线的焦点，斜率为k（）的直线过F交抛物线于A，B两点，若，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的四等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可．‎ ‎【详解】假设A在第一象限，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形． 由抛物线定义可知，又∵， ∴ ，即B为CE的四等分点， 设则即，‎ 所以直线的斜率，‎ 故选：D.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，关键根据抛物线的定义和三角形的性质得出线段的比例关系，属于中档题.‎ ‎9.已知在R上有两个零点，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过讨论a的符号得函数的单调性,从而结合函数零点的判定定理确定实数a的取值范围.‎ ‎【详解】①当时,易知函数是增函数,故函数不可能有两个零点; ②当时,令得,;故在上是增函数,在上是减函数,‎ 且，， 故若函数有两个零点,则,即,解得，此时，故a的取值范围是; 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的应用及函数的单调性的判断与应用,同时考查了函数零点的判定定理的应用,属于中档题.‎ - 22 -‎ ‎10.(理)已知有相同两焦点F1、F2的椭圆+ y2=1(m>1)和双曲线- y2=1（n>0），P是它们的一个交点，则ΔF1PF2的形状是 （ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝有三角形 D. 随m、n变化而变化 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=±2，又m-1=n+1，‎ ‎∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4(m-1)=|F1F2|2. ΔF1PF2的形状是直角三角形.‎ ‎11.利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：‎ ‎(1)以O为圆心制作一个小的圆；‎ ‎(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；‎ ‎(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；‎ ‎(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，表示正四棱锥的体积，利用导数研究函数的最值，即可得到结果.‎ ‎【详解】设小圆的半径为，连OD.OH.OH与AD交于点M，则 - 22 -‎ ‎.因为大圆半径R=4，所以，在正四棱锥中，如图所示，‎ ‎.‎ 所以 记，所以令，‎ 易知，时，取最大值，所以小圆半径为时，V最大．故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何中的折叠问题，四棱锥体积的计算，以及利用导数知识研究函数的性质，属于中档题.‎ ‎12.已知为等腰直角三角形，其顶点为，若圆锥曲线以焦点，并经过顶点，该圆锥曲线的离心率可以是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中条件，分别讨论圆锥曲线是椭圆，与圆锥曲线是双曲线两种情况，结合椭圆与双曲线的特征，即可得出结果.‎ - 22 -‎ ‎【详解】因为为等腰直角三角形，其顶点为，圆锥曲线以焦点，并经过顶点，‎ 所以（ⅰ）若该圆锥曲线是椭圆，当时，离心率，‎ 当时，离心率 ‎（ⅱ）若该圆锥曲线是双曲线，根据双曲线的特征可得，则只有，‎ 此时，离心率.‎ 故答案为ABD ‎【点睛】本题主要考查双曲线或椭圆的离心率，熟记椭圆与双曲线的简单性质即可，属于常考题型.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请把答案填在答题纸的相应位置.‎ ‎13.命题p：“，使”，则它的否定为：______.‎ ‎【答案】，使 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由特称命题的否定是全称命题，可得答案.‎ ‎【详解】由特称命题的否定是全称命题，可得命题p：“，使”，则它的否定为：，使.‎ 故答案为：，使.‎ ‎【点睛】本题考查特称命题和全称命题的关系，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎14.袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 23 34据此估计，直到第二次就停止的概率为______.‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出满足条件基本事件的个数，再根据古典概型的求法可求得答案.‎ ‎【详解】由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13, 43,23,13,13，23共6个基本事件,故所求的概率为，‎ 故答案为：0.3.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的求法，关键在于求得基本事件数，属于基础题.‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足为，若与（其中为坐标原点）的面积之比为3：1，则点的坐标为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用焦半径公式可得，从而可得与（其中为坐标原点）面积，由面积比可得，从而得到所求的的坐标.‎ ‎【详解】设，则，故，，‎ 因为，故即，‎ 故即，填.‎ ‎【点睛】一般地，抛物线 上的点到焦点的距离为；抛物线 上的点到焦点的距离为.‎ ‎16.已知函数（）.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是______.‎ - 22 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可构造函数，则即恒成立，转化为，再求的最值即可.‎ ‎【详解】由得,设，则存在，使得成立，‎ 即成立.所以成立，所以成立，‎ 又令，，所以时， 单调递增，当时，有最小值，‎ 所以实数a的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性，不等式成立的问题, 这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.已知曲线C：‎ ‎（1）求在点处的切线方程；‎ ‎（2）求在R上的极值 - 22 -‎ ‎【答案】（1）；（2）极大值，极小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导函数，计算出，，由直线方程的点斜式可求得切线方程；‎ ‎（2）由函数的导函数，令可得，，分析出导函数的正负，得出函数的单调性，从而求得函数的极值.‎ ‎【详解】（1）的导数，，又，‎ 所以在点处的切线方程为；‎ ‎（2）的导数，令可得，‎ 当x变化时，，的变化如下表 x ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以在处取得极大值，在处取得极小值.‎ ‎【点睛】本题考查运用导函数求得函数的切线方程和函数的极值，关键在于分析出其导函数的正负，得出原函数的单调性，属于基础题.‎ ‎18.如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，与相交于点E，平面，，，，.‎ - 22 -‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线面垂直的性质得和平面几何中的三角形的性质得，再由线面垂直的判定定理可得证；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，再由二面角的向量计算公式可求得值.‎ ‎【详解】（1）平面，平面，.‎ 又，，，，‎ ‎，即，又，平面 ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，‎ ‎，，，设平面的法向量为，‎ 则，，，可取，即，‎ 由（1）知平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ - 22 -‎ 由题意可知二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，以及二面角的计算，求解二面角时注意根据图示得出二面角是锐角还是钝角，再取其值，属于中档题.‎ ‎19.某“双一流类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数；‎ ‎（2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：‎ 方案一：设区间，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；‎ 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的收取；‎ 用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？‎ ‎【答案】(1)2；(2) 方案一能收到更多的费用.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）每个区间的中点值乘以相应的频率，然后相加；‎ ‎（2）分别计算两方案收取的费用，然后比较即可．‎ ‎【详解】(1)这100人月薪收入的样本平均数是 ‎.‎ ‎(2)方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）； ‎ 月薪落在区间收活动费用约为（万元）；‎ 月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）；‎ 因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）；‎ 方案二：这50人共收活动费用约为（万元）；‎ 故方案一能收到更多的费用.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，属于基础题．‎ ‎20.已知正方形的边长为4，E，F分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点M在线段上.‎ ‎（1）若M为的中点，且直线与由A，D，E三点所确定平面的交点为G，试确定点G的位置，并证明直线面；‎ ‎（2）是否存在M，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时的值，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）点G在平面与平面的交线上，见解析；（2）存在，或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）根据平面的基本性质可求得点G的位置，再根据平面几何中矩形和三角形的性质得出线线平行，根据线面平行的判定定理可得证；‎ ‎（2）由已知可得，，，所以平面，所以平面平面，取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设出点的坐标，根据线面角的空间坐标计算公式可得的坐标，可得解.‎ ‎【详解】（1）因为直线平面，故点G在平面内也在平面内，所以点G在平面与平面的交线上（如图所示），‎ 因为，M为的中点，所以，所以，，‎ 所以点G在的延长线上，且，连结交于N，‎ 因为四边形为矩形，所以N是的中点，连结，因为为的中位线，所以，‎ 又因为平面，所以直线面.‎ ‎（2）由已知可得，，，所以平面，所以平面平面，‎ 取的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 所以，，，，所以，，‎ 设（），则，设平面的法向量，则 - 22 -‎ ‎，取，则，，所以，‎ 与平面所成的角为，所以，‎ 所以，所以，解得或，此时或，‎ 所以存在点M，使得直线与平面所成的角为.‎ ‎【点睛】本题考查两平面的交线问题，线面平行的证明，线面角的计算，注意在确定两平面的交线时运用平面性质的公理，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆C：（）的左右焦点分别为，，点为短轴的一个端点，.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，过右焦点，且斜率为k（）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于点M，N，线段的中点为P，记直线 - 22 -‎ 的斜率为.试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）是，定值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件求得，可求得椭圆方程；‎ ‎（2）设过点的直线l方程为：.与椭圆的方程联立求解得，设点，，根据根与系数的关系得，.再得出直线的方程和直线的方程，求得点M和点N的坐标，从而求得点P的坐标，得出直线的斜率，可求得，得解.‎ ‎【详解】（1）由条件可知，，故所求椭圆方程为；‎ ‎（2）设过点的直线l方程为：.‎ 由可得：，‎ 因为点在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即恒成立.设点，，‎ 则，.因为直线的方程为：，直线的方程为：，‎ 令，可得，，所以点P的坐标.‎ 直线的斜率为 - 22 -‎ ‎，‎ 所以为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程求解，直线与椭圆的位置关系，关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标的关系上，属于难度题.‎ ‎22.已知函数，．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，根据二次函数的与的关系来分类讨论函数的单调性，并注意一元二次方程根的正负与定义域的关系；‎ ‎（2）由是两个极值点得到对应的韦达定理形式，然后利用条件将转变为关于某一变量的新函数，分析新函数的单调性从而确定出新函数的最大值即的最大值.‎ ‎【详解】（1），，，‎ 当，即时，，此时在上单调递增；‎ 当时，有两个负根，此时在上单调递增；‎ - 22 -‎ 当时，有两个正根，分别为，，‎ 此时在，上单调递增，在上单调递减．‎ 综上可得:时，在上单调递增，‎ 时，在，上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）由（1）可得，，‎ ‎，，‎ ‎∵，，∴，，‎ ‎∴‎ 令，则 当时，；当时，‎ ‎∴在上单调递增，在单调递减 ‎∴‎ ‎∴的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，难度较难.‎ - 22 -‎ 导数中通过双极值点求解最值或证明不等式时，可通过双极值点对应的等式将待求的式子或待证明的式子转变为关于同一变量（注意变量的范围）的式子，然后通过构造新函数，分析新函数的单调性后从而达到求解最值或证明不等式的目的.‎ - 22 -‎ ‎ ‎ - 22 -‎