2020年高中数学第三章不等式

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2020年高中数学第三章不等式

‎3.4 基本不等式 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．下列不等式正确的是(　　)‎ A．a＋≥2　　　　　 B．(－a)＋≤－2‎ C．a2＋≥2 D．(－a)2＋2≤－2‎ 解析：因为a2＋中a2>0，所以≥，‎ 即≥1，所以a2＋≥2.‎ 答案：C ‎2．已知m＝a＋＋1(a>0)，n＝3x(x<1)，则m，n之间的大小关系是(　　)‎ A．m>n B．m0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．又因为x<1，所以n＝3x<31＝3，所以m>n.‎ 答案：A ‎3．已知0b>c，则与的大小关系是________．‎ 解析：因为a－b>0，b－c>0，a－c>0.‎ 所以≤＝.‎ 当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．‎ 所以≤.‎ 答案：≤ ‎7．当x>时，函数y＝x＋的最小值为________．‎ 解析：设t＝2x－1，∵x>，∴2x－1>0，即t>0，‎ ‎∴y＝＋＝＋＋≥2＋＝.‎ 当且仅当＝，即t＝4， x＝时，取等号．‎ 答案： ‎8．若x，y均为正实数，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．‎ 解析：1＝x＋4y≥2＝4，‎ ‎∴xy≤，当且仅当x＝4y时等号成立．‎ 答案： ‎9．已知不等式ax2－3x＋2<0的解集为A＝{x|11，‎ ‎∴解得 ‎(2)由(1)得f(x)＝(2×1＋2)x＋＝4x＋ ‎＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝16.‎ 当且仅当4(x＋1)＝，即x＝∈A时等号成立．‎ ‎∴函数f(x)的最小值为16.‎ ‎10．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．‎ ‎(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式；‎ ‎(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？‎ 解析：(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，‎ 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)‎ ‎＝200＋x(x＋1)·16(万元)．‎ ‎∴y＝4 ‎＝16(－2x2＋23x－50)．‎ ‎(2)年平均利润为 ＝16＝16.‎ 又x∈N*，‎ ‎∴x＋≥2＝10，‎ 当且仅当x＝5时，等号成立，‎ 此时≤16×(23－20)＝48.‎ ‎∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．若－40.‎ ‎∴f(x)＝－≤－1.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．‎ 答案：D ‎2．设f(x)＝ln x,0p C．p＝rq 解析：p＝f()＝ln，q＝f()＝ln，‎ r＝(f(a)＋f(b))＝ln ab＝ln ，函数f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，因为>，所以f()>f()，所以q>p＝r.‎ 答案：C ‎3．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．‎ 解析：因为x＞a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋‎2a≥2＋‎2a＝‎2a＋4，即‎2a＋4≥7，所以a≥.即a的最小值为.‎ 答案： ‎4．若正数a，b满足ab－(a＋b)＝1，则a＋b的最小值是________．‎ 解析：由于ab－(a＋b)＝1，所以ab＝a＋b＋1，‎ 而ab≤2，所以a＋b＋1≤(a＋b)2.‎ 令a＋b＝t(t>0)，所以t＋1≤t2，解得t≥2＋2，‎ 即a＋b≥2＋2.‎ 当且仅当a＝b＝1＋时取等号．‎ 答案：2＋2‎ 5‎ ‎5．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，则＋的最小值为________．‎ 解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上，‎ ‎∴‎2m＋n＝1，m，n>0，‎ ‎∴＋＝·(‎2m＋n)‎ ‎＝4＋＋≥4＋2＝8，‎ 当且仅当即时等号成立．‎ 答案：8‎ ‎6．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.‎ 求证：＋＋≥9.‎ 证明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，‎ ‎∴＋＋ ‎＝＋＋ ‎＝3＋＋＋ ‎≥3＋2＋2＋2＝9.‎ 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．‎ 5‎
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