【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第六章第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算作业

【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第六章第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算作业

第六章　平面向量 第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算 ‎1.[2020惠州市一调]正方形ABCD中,点E,F 分别是DC,BC的中点,那么EF =(　　)‎ A.‎1‎‎2‎AB‎+‎‎1‎‎2‎AD B.‎-‎1‎‎2‎AB-‎‎1‎‎2‎AD C.‎1‎‎2‎AB‎-‎‎1‎‎2‎AD D.‎‎-‎1‎‎2‎AB+‎‎1‎‎2‎AD ‎2.[2019洛阳市第二次联考]在△ABC中,点D在线段BC上,且BD =2DC,点O在线段CD上(与点C,D不重合).若AO =xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是(　　)‎ A.(0,1) B.(‎2‎‎3‎,1) C.(0,‎1‎‎3‎) D.(‎1‎‎3‎,‎2‎‎3‎)‎ ‎3.[2019辽宁丹东模拟]设平面向量a,b不共线,若AB =a+5b,BC =-2a+8b,CD =3(a-b),则(　　)‎ A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 ‎4.[2019江西红色七校联考]已知平面向量a =(-1,2),b =(2,m),且a∥b,则3a+2b =(　　)‎ A.( - 1,2) B.(1,2) C.(1, - 2) D.( - 1, - 2)‎ ‎5.[2019广东省广州市高三测试]若向量a =(cos θ,sin θ),b =(1,-1),则|2a-b|的取值范围是(　　)‎ A.[2‎-‎‎2‎,2+‎2‎] B.[0,‎2‎] C.[0,2] D.[1,3]‎ ‎6.[2020唐山市摸底考试]已知|a| =5,b =(2,1),且a∥b,则向量a的坐标是　　　　　. ‎ ‎7.[2019武汉市部分学校高三调研测试]已知向量a =(1,-1),与a方向相同的单位向量为　　　　. ‎ ‎8.[2019安徽示范高中高三测试]如图6-1-1,在平行四边形ABCD中,E,F 分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF ,交于点G.若CG =λCD+μCB(λ,μ∈R),则λμ =　　　　. ‎ 图6-1-1‎ ‎9.[多选题]设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)‎ A.若AM‎=‎1‎‎2‎AB+‎‎1‎‎2‎AC,则点M是边BC的中点 B.若AM=2AB‎ - ‎AC,则点M在边BC的延长线上 C.若AM= - BM‎ - ‎CM,则点M是△ABC的重心 D.若AM=xAB+yAC,且x+y=‎1‎‎2‎,则△MBC的面积是△ABC面积的‎1‎‎2‎ ‎10.已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C,其中OA·OB =0,存在实数λ,μ满足OC+λOA+μOB =0,则实数λ,μ的关系为(　　)‎ A.λ2+μ2 =1 B.‎1‎λ‎+‎‎1‎μ =1 C.λμ =1 D.λ+μ =1‎ ‎11.在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且AD‎ =‎1‎‎3‎AB+‎‎1‎‎2‎AC,则S‎△BCDS‎△ABD = (　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎12.[2020四省八校二检]已知a =(1,x),b =(y,1),x>0,y>0.若a∥b,则xyx+y的最大值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.1 C.‎2‎ D.2‎ ‎13.[2020百校联考]如图6-1-2所示的平面直角坐标系中,网格中小正方形的边长为1,若向量a,b,c满足c =xa+yb,且(ka-b)·c =0,则x+yk =　　　　. ‎ 图6-1-2‎ ‎14.[2019江淮十校联考]已知在△ABC中,|BC| =|AB‎-‎CB|,AB =(1,2),若边AB的中点D的坐标为(3,1),点C的坐标为(t,2),则t =　　　　. ‎ ‎15.[2019河南模拟]在△ABC中,∠A =π‎3‎,O为平面内一点,且|OA| =|OB| =|OC|,M为劣弧BC上一动点,且OM =pOB+qOC,则 p+q的取值范围为　　　　. ‎ 第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算 ‎1.C　解法一　因为点E是DC的中点,所以EC‎=‎1‎‎2‎DC=‎‎1‎‎2‎AB.因为点F是BC的中点,所以CF‎=‎‎1‎‎2‎CB= - ‎1‎‎2‎AD.所以EF‎=EC+CF=‎1‎‎2‎AB - ‎‎1‎‎2‎AD,故选C.‎ 解法二　如图D 6 - 1 - 4,连接BD,‎ 图D 6 - 1 - 4‎ 因为点E,F分别是DC,BC的中点,所以EF‎=‎1‎‎2‎DB=‎‎1‎‎2‎(AB‎ - ‎AD)=‎1‎‎2‎AB‎ - ‎‎1‎‎2‎AD,故选C.‎ ‎2.C　解法一　AO=xAB+(1 - x)AC=x(AB‎ - ‎AC)+AC,即AO‎ - ‎AC=x(AB‎ - ‎AC),∴CO=xCB,∴‎|CO|‎‎|CB|‎=x.∵BD=2DC,∴BC=3DC,则00,y>0,所以y=‎1‎x,所以xyx+y‎=‎1‎x+y=‎‎1‎x+‎‎1‎x≤‎1‎‎2‎x×‎‎1‎x‎=‎‎1‎‎2‎(当且仅当x=‎1‎x,即x=1时取等号),所以xyx+y的最大值为‎1‎‎2‎,故选A.‎ 解法二　因为a∥b,所以xy=1,又x>0,y>0,所以xyx+y‎=‎‎1‎x+y≤‎1‎‎2‎xy‎=‎‎1‎‎2‎(当且仅当x=y=1时取等号),所以xyx+y的最大值为‎1‎‎2‎,故选A.‎ ‎13.‎9‎‎5‎　结合图形得a=(1,2),b=(3,1),c=(4,4),由c=xa+yb得x+3y=4,‎‎2x+y=4,‎解得x=‎8‎‎5‎,‎y=‎4‎‎5‎,‎所以x+y=‎12‎‎5‎,由(ka - b)·c=0得ka·c - b·c=0,即12k - 16=0,所以k=‎4‎‎3‎,所以x+yk‎=‎‎9‎‎5‎.‎ ‎14.1　依题意,得|BC|=|AC|,故△ABC是以AB为底边的等腰三角形,故CD⊥AB,所以CD·AB=(3 - t, - 1)·(1,2)=3 - t - 2=0,解得t=1.‎ ‎15.[1,2]　解法一　因为|OA|=|OB|=|OC|,所以O为△ABC外接圆的圆心,且∠BOC=‎2π‎3‎.以O为坐标原点,建立如图D 6 - 1 - 5所示的平面直角坐标系,‎ 图D6 - 1 - 5‎ 不妨设圆的半径为1,则B(1,0),C( - ‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎),设M(cos θ,sin θ)(0≤θ≤‎2π‎3‎),则OB=(1,0),OC=( - ‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎),由OM=pOB+qOC,得cosθ=p - q‎2‎,‎sinθ=‎3‎‎2‎q,‎解得p=cosθ+‎1‎‎3‎sinθ,‎q=‎2‎‎3‎sinθ,‎所以p+q=cos θ+‎3‎sin θ=2sin(θ+π‎6‎),由0≤θ≤‎2π‎3‎,知π‎6‎≤θ+π‎6‎≤‎5π‎6‎,所以当θ+π‎6‎‎=‎π‎2‎,即θ=π‎3‎时,p+q取得最大值,最大值为2;当θ+π‎6‎‎=‎π‎6‎或θ+π‎6‎‎=‎‎5π‎6‎,即θ=0或θ=‎2π‎3‎时,p+q取得最小值,最小值为1.故p+q的取值范围是[1,2].‎ 解法二　因为|OA|=|OB|=|OC|,所以O为△ABC外接圆的圆心,且∠BOC=‎2π‎3‎.不妨设圆的半径为1,则|OM|=|OB|=|OC|=1,OM=pOB+qOC,两边同时平方,得‎|OM|‎‎2‎=p2‎|OB|‎‎2‎+q2‎|OC|‎‎2‎+2pq|OB|·|OC|cos∠BOC,即1=p2+q2+2pq×( - ‎1‎‎2‎),则1=p2+q2 - pq=(p+q)2 - 3pq.又由条件知p≥0,q≥0,所以 ‎0≤pq≤(p+q‎2‎)2=‎1‎‎4‎(p+q)2,所以‎(p+q‎)‎‎2‎≥1,‎‎(p+q‎)‎‎2‎ - ‎3‎‎4‎(p+q‎)‎‎2‎≤1,‎所以1≤(p+q)2≤4,所以1≤p+q≤2.‎