2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练30　数列的概念与简单表示法

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练30　数列的概念与简单表示法

课时分层训练(三十)　数列的概念与简单表示法 ‎(对应学生用书第257页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)‎ A．1，，，，…‎ B．－1，－2，－3，－4，…‎ C．－1，－，－，－，…‎ D．1，，，…， C　[根据定义，属于无穷数列的是选项A，B，C，属于递增数列的是选项C，D，故同时满足要求的是选项C.]‎ ‎2．(2017·安徽黄山二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N＋)，则S5＝(　　)‎ A．31　　　　　　　 B．42‎ C．37 D．47‎ D　[∵an＋1＝Sn＋1(n∈N＋)，即Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N＋)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N＋)，∴数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.则S5＋1＝3×24，解得S5＝47.故选D.]‎ ‎3．把3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511)．‎ 图511‎ 则第6个三角形数是(　　) ‎ ‎【导学号：79140168】‎ A．27 B．28‎ C．29 D．30‎ B　[由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]‎ ‎4．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式是(　　)‎ A．2n－1 B． C．n2 D．n D　[∵an＝n(an＋1－an)，∴＝，‎ ‎∴an＝···…···a1‎ ‎＝···…···1＝n.]‎ ‎5．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，则该数列的前2 019项的乘积a1·a2·a3·…·a2 019＝(　　)‎ A. B．－ C．3 D．－3‎ C　[由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，‎ ‎∴数列{an}是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a1a2a3a4＝1，‎ ‎∴前2 019项的乘积为1504·a1a2a3＝3.]‎ 二、填空题 ‎6．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______项．‎ ‎10　[令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，‎ 则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．‎ 所以a10＝0.08.]‎ ‎7．(2017·河北唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________.‎ 　[∵Sn＝，a4＝32，‎ ‎∴－＝32，∴a1＝.]‎ ‎8．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝__________. ‎ ‎【导学号：79140169】‎ 　[由已知得，－＝n，所以－＝n－1，‎ －＝n－2，…，－＝1，所以－＝，a1＝1，所以＝，‎ 所以an＝.]‎ 三、解答题 ‎9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.‎ 因为a1也适合此等式，‎ 所以an＝2n(n∈N＋)．‎ ‎(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，‎ 所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.‎ ‎10．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N＋)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎[解]　(1)由Sn＝a＋an(n∈N＋)，可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1；‎ S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；‎ 同理，a3＝3，a4＝4.‎ ‎(2)Sn＝a＋an， ①‎ 当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1， ②‎ ‎①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.‎ 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，‎ 又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，‎ 公差为1的等差数列，故an＝n.‎ B组　能力提升 ‎11．(2017·郑州二次质量预测)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是(　　)‎ A. B． C. D． D　[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}是首项为1，公差为5的等差数列，则20a20＝1＋19×5，解得a20＝，故选D.]‎ ‎12．(2017·衡水中学检测)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ B　[∵a1＝19，an＋1－an＝－3，‎ ‎∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，‎ ‎∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.‎ 设{an}的前k项和数值最大，‎ 则有k∈N＋，‎ ‎∴ ‎∴≤k≤，‎ ‎∵k∈N＋，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7.]‎ ‎13．在一个数列中，如果任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.‎ ‎28　[依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.]‎ ‎14．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；‎ ‎(2)对于n∈N＋，都有an＋1>an，求实数k的取值范围. ‎ ‎【导学号：79140170】‎ ‎[解]　(1)由n2－5n＋4<0，‎ 解得1an知该数列是一个递增数列，‎ 又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N＋，所以－<，即得k>－3.‎ 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．‎