2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练53+古典概型

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练53+古典概型

课时分层训练(五十三)　古典概型 ‎ (对应学生用书第296页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2018·太原模拟)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为(　　)‎ ‎ A．　　　　　　　　　　　 B． ‎ C． D． ‎ C　[设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为B．则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．‎ ‎ 因此2本数学书相邻的概率P＝＝.]‎ ‎2．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为(　　)‎ ‎ 【导学号：00090354】‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ B　[点P(m，n ‎)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.]‎ ‎3．(2018·茂名模拟)在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ D　[所有的两位数为12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45，共12个，‎ ‎ 能被4整除的数为12,32,52，共3个．‎ ‎ 故所求概率P＝＝.故选D．]‎ ‎4．(2017·威海模拟)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ A　[由题意知，向量m共有4×3＝12个，‎ ‎ 由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，则满足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率P＝＝.]‎ ‎5．(2018·大同模拟)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ C　[记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为.故选C．]‎ 二、填空题 ‎6．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．‎ ‎ 　[基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件数为2，故所求概率为P＝＝.]‎ ‎7．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．‎ ‎ 　[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝＝.]‎ ‎8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．‎ ‎ 【导学号：00090355】‎ ‎ 　[记“两人都中奖”为事件A，‎ ‎ 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝＝.]‎ 三、解答题 ‎9．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．‎ ‎ (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；‎ ‎ (2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．‎ ‎ [解]　(1)所有可能的摸出结果是 ‎ {A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．‎ ‎ (2)不正确．理由如下：‎ ‎ 由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝>，故这种说法不正确．‎ ‎10．(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎ (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎ (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．‎ ‎ [解]　(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个. 3分 ‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝＝. 6分 ‎ (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个. 9分 ‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·黄山模拟)从集合A＝{2,4}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{1,3}中随机抽取一个数记为b，则f(x)＝ax2＋bx＋1在(－∞，－1]上是减函数的概率为(　　) 【导学号：00090356】‎ ‎ A． B． ‎ C． D．0‎ ‎ B　[(a，b)的所有取值情况如下：(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，共4种，‎ ‎ 记“f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数”为事件A，‎ ‎ 由条件知f(x)的图像开口一定向上，a＞0，对称轴为直线x＝－，且－≥－1，‎ ‎ 则事件A包含的情况如下：(2,1)，(4,1)，(4,3)，共3种，则P(A)＝.]‎ ‎2．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的事件发生的概率为________．‎ ‎ 　[由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．‎ ‎ 故所求事件的概率P＝＝.]‎ ‎3．(2018·新合模拟)某汽车美容公司为吸引顾客，排出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：‎ 消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 ‎5次及以上 收费比例 ‎1‎ ‎0.95‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.80‎ 该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：‎ 消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 ‎5次及以上 频数 ‎60‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎ 假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：‎ ‎ (1)估计该公司一位会员至少消费两次的频率；‎ ‎ (2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；‎ ‎ ‎ ‎(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．‎ ‎ [解]　(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为＝0.4. 2分 ‎ (2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)， 3分 ‎ 第2次消费时，公司获得的利润为200×0.95－150＝40(元)， 4分 ‎ 所以，公司获得的平均利润为＝45(元). 5分 ‎ (3)因为20∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分层抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设为A1，A2，A3，A4，消费3次的有2人，分别设为B1，B2，消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C，D，从中抽出2人，抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7种；7分 ‎ 去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共6种；‎ ‎ …‎ ‎ 去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有：CD，共1种，总的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28种， 9分 ‎ 其中恰有1人消费两次的抽取方法有4＋4＋4＋4＝16种， 10分 所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为＝. 12分