【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理和概率作业(6)

【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理和概率作业(6)

‎(八十二)‎ ‎1．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是(　　)‎ A．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B．至少有1件次品和全是次品 C．至少有1件正品和至少有1件次品 D．至少有1件次品和全是正品 答案　A 解析　依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件．‎ ‎2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D．1‎ 答案　C 解析　设“从中取出2粒都是黑子”的事件A，“从中取出2粒都是白子”的事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.‎ ‎3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.15，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一、二等品”的概率为(　　)‎ A．0.7 B．0.65‎ C．0.15 D．0.3‎ 答案　C 解析　“抽到的不是一、二等品”与事件A∪B是对立事件，故所求概率P＝1－P(A)－P(B)＝0.15.‎ ‎4．(2013·江西)集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　从A，B中各取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共6种情况，其中和为4的有(2，2)，(3，1)，共2种情况，所求概率P＝＝，选C.‎ ‎5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P＝.‎ ‎6．(2013·陕西，文)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　　)‎ A．0.09 B．0.20‎ C．0.25 D．0.45‎ 答案　D 解析　由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25，30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.‎ ‎7．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一：4位同学各自在周六、周日任选一天参加公益活动，共有24＝16(种)结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人，另一天三人，C41A22＝8(种)；②每天二人，有C42＝6(种)，所以P＝＝.‎ 方法二(间接法)：4位同学各自在周六、周日任选一天参加公益活动，共有24＝16(种)结果，而4人都选周六或周日有2种结果，所以P＝1－＝.‎ ‎8．(2018·内蒙古包头铁路一中调研)甲，乙，丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　三人中恰有两人合格的概率P＝××(1－)＋×(1－)×＋(1－)××＝.故选C.‎ ‎9．(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．‎ 答案　 解析　从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为.‎ ‎10．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．‎ 答案　0.9‎ 解析　方法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D，而事件D包含事件A与B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.‎ 方法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为事件D，由题意知C与D是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.‎ ‎11．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．‎ 答案　 解析　本题基本事件共6×6个，点数和为4的有3个事件为(1，3)，(2，2)，(3，1)，故P＝＝.‎ ‎12．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：‎ 赔付金额/元 ‎0‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ ‎3 000‎ ‎4 000‎ 车辆数/辆 ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；‎ ‎(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．‎ 答案　(1)0.27　(2)0.24‎ 解析　(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.‎ 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.‎ ‎13．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：‎ ‎(1)射中10环或7环的概率；‎ ‎(2)不够7环的概率．‎ 答案　(1)0.49　(2)0.03‎ 解析　(1)记“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10环或7环的概率为0.49.‎ ‎(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手．由于此二事件必有一个发生，故是对立事件．设“不够7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)知“射中7环”“射中8环”等彼此互斥．∴P(E)‎ ‎＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－0.97＝0.03.∴不够7环的概率为0.03.‎ ‎14．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.‎ ‎(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？‎ ‎(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？‎ 答案　(1)0.95　(2)0.05‎ 解析　(1)设事件“电话响第k声被接”为Ak(k∈N*)那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.‎ ‎(2)事件“打进电话响4声而不被接”是事件A，是“打进电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A；根据对立事件的概率公式，得P(A)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.‎ ‎15．(2019·辽宁六盘山高级中学一模)某中学有初中学生1 800人，高中学生1 200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)写出a的值；‎ ‎(2)试估计该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数；‎ ‎(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．‎ 答案　(1)0.03　(2)870　(3)0.7‎ 解析　(1)由题意得a＝0.03.‎ ‎(2)∵初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.020＋0.005)×10＝0.25.‎ ‎∴所有初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.25×1 800＝450人．‎ 同理，高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.03＋0.005)×10＝0.35，‎ ‎∴所有高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.35×1 200＝420人．‎ ‎∴该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数约有450＋420＝870.‎ ‎(3)由分层抽样知，抽取的初中生有60名，高中生有40名．记“‎ 从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A.‎ 初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3.‎ 高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×40＝2.‎ 记这3名初中生为A1，A2，A3，这2名高中生为B1，B2.‎ 则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能的情况有C52＝10种 其中至少有一名高中生的情况有C52－C32＝7种 ‎∴所求概率为＝0.7.‎ ‎16．(2019·四川成都一诊)已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0，100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100，200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200，300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据．‎ ‎(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ 游客数量(单位：百人)‎ ‎[0，100)‎ ‎[100，200)‎ ‎[200，300)‎ ‎[300，400]‎ 天数 a ‎10‎ ‎4‎ ‎1‎ 频率 b ‎(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这两天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．‎ 答案　(1)15，，120(百人)　(2) 解析　(1)由题图知游客人数在[0，100)范围内共有15天，∴a＝15，b＝＝.‎ 游客人数的平均数为50×＋150×＋250×＋350×＝120(百人)．‎ ‎(2)设A表示事件“2天遇到的游客拥挤等级均为‘优’”．从5天中任选2天的选择方法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个基本事件，其中事件A包括(1，4)，(1，5)，(4，5)，共3个基本事件，∴P(A)＝.‎ 即他这两天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率为.‎