【数学】2020届一轮复习人教B版常用逻辑用语、定积分、推理与证明、函数的实际应用、排列与组合课时作业
一、选择题
1．(2018·南宁联考)命题“∃x0∈R，x0＋cos x0－ex0>1”的否定是( )
A．∃x0∈R，x0＋cos x0－ex0<1
B．∃x0∈R，x0＋cos x0－ex0≥1
C．∀x∈R，x＋cos x－ex≥1
D．∀x∈R，x＋cos x－ex≤1
解析：选D 因为所给命题是一个特称命题，所以其否定是一个全称命题，即“∀x∈R，x＋cos x－ex≤1”．
2．已知函数f(x)＝则f(x)dx的值为( )
A. B．4
C．6 D.
解析：选D f(x)dx＝x2dx＋(x＋1)dx＝x3＋＝＋＝.
3．(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D 当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.
4．(2018·安徽八校联考)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：
①若去A镇，也必须去B镇；
②D，E两镇至少去一镇；
③B，C两镇只去一镇；
④C，D两镇都去或者都不去；
⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．
则该参观团至多去了( )
A．B，D两镇 B．A，B两镇
C．C，D两镇 D．A，C两镇
解析：选C 若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.
5．从5个不同的小球中选4个放入3个箱子中，要求第一个箱子放入1个小球，第二个箱子放入2个小球，第三个箱子放入1个小球，则不同的放法共有( )
A．120种 B．96种
C．60种 D．48种
解析：选C 第一步，从5个不同的小球中选4个，共有C＝5种不同的方法；第二步，从选出的4个小球中选出1个放入第一个箱子，共有C＝4种不同的方法；第三步，从剩余的3个小球中选出2个放入第二个箱子，共有C＝3种不同的方法；第四步，将最后1个小球放入第三个箱子，共有C＝1种不同的方法．故不同的放法共有5×4×3×1＝60种．
6．(2018·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有( )
A．10种 B．40种
C．70种 D．80种
解析：选B 若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC＝30种搜寻方案；若Grace参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B.
7．给出下面四个类比结论：
①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0.
②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
③实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有z＋z＝0，则z1＝z2＝0.
④实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.
其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 对于①，显然是正确的；对于②，若向量a，b互相垂直，则a·b＝0，所以②错误；对于③，取z1＝1，z2＝i，则z＋z＝0，所以③错误；对于④，若a2＋b2＝0，则|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是2.
8．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：
x(月份)
1
2
3
4
5
Q(x)(台)
6
9
10
8
6
根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是( )
A．Q(x)＝ax＋b(a≠0)
B．Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)
C．Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0)
D．Q(x)＝a·bx(a≠0，b>0且b≠1)
解析：选C 观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)对称，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x＝3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.
9．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )
A．16 B.
C．2 D.
解析：选B 围成的图形如图中阴影部分所示，
联立解得
∴M(4,2)．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积S＝ [－(x－2)]dx＝＝.
10．在下列结论中，正确的个数是( )
①命题p：“∃x0∈R，x－2≥0”的否定形式为綈p：“∀x∈R，x2－2<0”；
②O是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则O是△ABC
的垂心；
③“M>N”是“M>N”的充分不必要条件；
④命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确．
∵·＝·，
∴·(－)＝0，即·＝0，
∴⊥.
同理可知⊥，⊥，故点O是△ABC的垂心，∴②正确．
∵y＝x是减函数，
∴当M >N时，M
N时，MN”是“M>N”的既不充分也不必要条件，∴③错误．
由逆否命题的写法可知，④正确．
∴正确的结论有3个．
11．(2018·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )
A．36种 B．24种
C．22种 D．20种
解析：选B 根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1个，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．
12．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其正视图如图所示．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是( )
解析：选C 向玻璃杯内匀速注水，水面逐渐升高，当玻璃杯中水满时，开始向塑料桶内流，这时水位高度不变，因为杯子和桶底面半径比是1∶2，则底面积的比为1∶4，在高度相同情况下体积比为1∶4，杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1∶3，所以高度不变时，杯外注水时间是杯内注水时间的3倍，当桶的水面高度与玻璃杯的水面高度一样后，继续注水，水面高度再升高，升高的速度开始慢，结合图象知选C.
13．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选B 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.
14．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如＝＋.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的，不够，若每人分得一个面包的，还余，再将这分成5份，每人分得，这样每人分得＋.形如(n＝5,7,9，11，…)的分数的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此规律，＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选A 根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即＝＋＝＋.
15．一个人骑车以6 m/s的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，若汽车在时刻t的速度v(t)＝t(m/s)，那么此人( )
A．可在7秒内追上汽车
B．不能追上汽车，但其间最近距离为16 m
C．不能追上汽车，但其间最近距离为14 m
D．不能追上汽车，但其间最近距离为7 m
解析：选D 因为汽车在时刻t的速度v(t)＝t(m/s)，所以加速度a＝＝1，所以汽车是匀加速运动，以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为S1＝－25＋6t，汽车在时间t内的位移为S2＝，故设相对位移为y m，则y＝－25＋6t－＝－(t－6)2－7，故不能追上汽车，且当t＝6时，其间最近距离为7 m，故选D.
16．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……共得到60个组合，周而复始，循环记录．已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )
A．己亥年 B．戊戌年
C．辛丑年 D．庚子年
解析：选D 由题知，天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年为甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2020年，经过了6年，所以天干中的甲变为庚，地支中的午变为子，即2020年是庚子年，故选D.
二、填空题
17. dx＝________.
解析：dx＝＝＋1－＝.
答案：
18．设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：______________.
解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点．
答案：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点
19．若n的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则直线y＝nx与曲线y＝x2围成的封闭图形的面积为________．
解析：因为n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，
所以C＝C，所以n＝4，
由直线y＝4x与曲线y＝x2，可得交点坐标为(0,0)，(4,16)，作出直线y＝4x与y＝x2围成的封闭图形如图中阴影部分所示，所以直线y＝nx与曲线y＝x2围成的封闭区域面积为 (4x－x2)dx＝＝.
答案：
20．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．
解析：设利润为y元，租金定为3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤502＝204 800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．
答案：3 300
21．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．
法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．
答案：16
22．使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一个“□”或“○”占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，则第 2 019位之前(不含第2 019位)，共有______个“○”．
解析：记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k组共有2k个图形，故前k组共有k(k＋1)个图形，因为44×45＝1 980<2 018<45×46＝2 070，所以在这2 018个图形中有45个“□”，1 973个“○”．
答案：1 973
23．(2018·东北三校联考)甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A，B，C，已知：
①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；
②在哈尔滨工作的教师不教C学科；
③在长春工作的教师教A学科；
④乙不教B学科．
可以判断乙教师所在的城市和所教的学科分别是________________．
解析：由于乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A学科，则乙不教A学科；又乙不教B学科，所以乙教C学科，而在哈尔滨工作的教师不教C学科，故乙在沈阳教C学科．综上可知，乙教师所在的城市为沈阳，所教的学科为C.
答案：沈阳、C
24．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用12项能力特征加以描述．每名学生的第i(i＝1,2，…，12)项能力特征用xi表示，xi＝若学生A，B的12项能力特征分别记为A＝(a1，a2，…，a12)，B＝(b1，b2，…，b12)，则A，B两名学生的不同能力特征项数为________(用ai，bi表示)．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为________．
解析：若第i(i＝1,2，…，12)项能力特值相同，则差为0，特征不同，差的绝对值为1，则用ai，bi表示A，B两名同学的不同能力特征项数为：|a1－b1|＋|a2－b2|＋|a3－b3|＋…＋|a11－b11|＋|a12－b12|＝ai－bi|.设第三个学生为C＝(c1，c2，…，c12)，则di＝|ai－bi|＋|bi－ci|＋|ci－ai|,1≤i≤12，因为di的奇偶性与ai－bi＋bi－ci＋ci－ai＝0一样，所以di是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S＝d1＋d2＋…＋d12为偶数，又S≥3×7＝21，则S≥22，取A＝(0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1)，B＝(1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1)，C＝(1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1)，则不同能力特征项数总和正好为22.
答案：ai－bi| 22
