2014全国新课标2（文科数学）高考试题

2014全国新课标2（文科数学）高考试题

‎2014·新课标全国卷Ⅱ(文科数学)‎ ‎1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．∅ B．{2}‎ C．{0} D．{－2}‎ ‎1．B　[解析] 因为B＝{－1，2}，所以A∩B＝{2}．‎ ‎2．[2014·新课标全国卷Ⅱ] ＝(　　)‎ A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i ‎2．B　[解析] ＝＝＝－1＋2i.‎ ‎3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0，q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)‎ A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎3．C　[解析] 函数在x＝x0处有导数且导数为0，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x＝x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数一定为0 ，所以p是q的必要不充分条件．‎ ‎4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．5‎ ‎4．A　[解析] 由已知得|a＋b|＝10，|a－b|2＝b，两式相减，得a·b＝1.‎ ‎5． [2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)‎ A．n(n＋1) B．n(n－1)‎ C. D. ‎5．A　[解析] 由题意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比数列，即(a2＋4)2＝a2(a2＋12)，解得a2＝4，即a1＝2，所以Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．‎ ‎6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图11，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(　　)‎ 图11‎ A. B. C. D. ‎6．C　[解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积V＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积V毛坯＝π×32×6＝54π(cm3)，被切部分的体积V切＝V毛坯－V＝54π－34π＝20π(cm3)，所以＝＝.‎ ‎7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A B1DC1的体积为(　　)‎ A．3 B. C．1 D. ‎7．C　[解析] 因为D为BC的中点，所以AD⊥BC，故AD⊥平面BCC1B1，且AD＝，所以V三棱锥A B1DC1＝S△B1DC1×AD＝×B1C1×BB1×AD＝××2××＝1.‎ ‎8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 执行如图12所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝(　　)‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ 图12‎ ‎8．D　[解析] 当x＝2，t＝2时，依次可得：M＝1，S＝3，k＝1≤2；M＝2，S＝5，k＝2≤2；M＝2，S＝7，k＝3>2，输出S＝7.‎ ‎9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为(　　)‎ A．8 B．7‎ C．2 D．1‎ ‎9．B　[解析] 作出约束条件表示的可行域(略)，可知该可行域为一三角形区域，当目标函数通过可行域的一个顶点(3，2)时，目标函数取得最大值，zmax＝3＋2×2＝7.‎ ‎10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°‎ 的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)‎ A. B．6‎ C．12 D．7 ‎10．C　[解析] 抛物线的焦点坐标为F，直线AB的斜率k＝tan 30°＝，所以直线AB的方程为y＝x－.由得x2－x＋＝0，故x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝·|x1－x2|＝·＝12.‎ ‎11．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]‎ C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)‎ ‎11．D　[解析] f′(x)＝k－＝，且x>0，由题可知f′(x)≥0，即得kx－1≥0，得x≥(k<0时不满足)，因为函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以≤1，解得k≥1.‎ ‎12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是(　　)‎ A. [－1，1] B. C. [－，] D. ‎12．A　[解析] 点M(x0，1)在直线y＝1上，而直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切．据题意可设点N(0，1)，如图，则只需∠OMN≥45°即可，此时有tan ∠OMN＝≥tan 45°，得0<|MN|≤|ON|＝1，即0<|x0|≤1，当M位于点(0，1)时，显然在圆上存在点N满足要求，综上可知－1≤x0≤1.‎ ‎13．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．‎ ‎13. 　[解析] 甲有3种选法，乙也有3种选法，所以他们共有9种不同的选法．若他们选择同一种颜色，则有3种选法，所以其对应的概率P＝＝.‎ ‎14． [2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．‎ ‎14．1　[解析] f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，其最大值为1.‎ ‎15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．‎ ‎15．3　[解析] 因为函数图像关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，又函数为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，故f(－1)＝3.‎ ‎16．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．‎ ‎16.　[解析] 由题易知a8＝＝2，得a7＝；a7＝＝，得a6＝－1；a6＝＝－1，得a5＝2，于是可知数列{an}具有周期性，且周期为3，所以a1＝a7＝.‎ ‎17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.‎ ‎(1)求C和BD；‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积．‎ ‎17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C ‎＝13－12cos C，①‎ BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A ‎＝5＋4cos C．②‎ 由①②得cos C＝，故C＝60°，BD＝.‎ ‎(2)四边形ABCD的面积 S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C ‎＝sin 60°＝2.‎ ‎18．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图13，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ ‎(1)证明：PB∥平面AEC；‎ ‎(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．‎ 图13‎ ‎18．解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.‎ 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．‎ 又E为PD的中点，所以EO∥PB.‎ EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ 所以PB∥平面AEC.‎ ‎(2)V＝××PA×AB×AD＝AB，‎ 由V＝，可得AB＝.‎ 作AH⊥PB交PB于点H.‎ 由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，‎ 因为PB∩BC＝B，所以AH⊥平面PBC.‎ 又AH＝＝，‎ 所以点A到平面PBC的距离为.‎ ‎19．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：‎ 甲部门 乙部门 ‎3‎ ‎5 9‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎0 4 4 8‎ ‎9 7‎ ‎5‎ ‎1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9‎ ‎9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0‎ ‎6‎ ‎0 1 1 2 3 4 6 8 8‎ ‎9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0‎ ‎7‎ ‎0 0 1 1 3 4 4 9‎ ‎6 6 5 5 2 0 0‎ ‎8‎ ‎1 2 3 3 4 5‎ ‎6 3 2 2 2 0‎ ‎9‎ ‎0 1 1 4 5 6‎ ‎10‎ ‎0 0 0‎ 图14‎ ‎(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；‎ ‎(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；‎ ‎(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．‎ ‎19．解：(1)由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.‎ ‎50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.‎ ‎(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.‎ ‎(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分．)‎ ‎20． [2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.‎ ‎20．解：(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.‎ 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，‎ 解得＝，＝－2(舍去)．‎ 故C的离心率为.‎ ‎(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①‎ 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.‎ 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则 即 代入C的方程，得＋＝1.②‎ 将①及c＝代入②得＋＝1，‎ 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.‎ ‎21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.‎ ‎(1)求a；‎ ‎(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．‎ ‎21．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.‎ 曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2.‎ 由题设得－＝－2，所以a＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.‎ 设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4，‎ 由题设知1－k>0.‎ 当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，‎ g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，‎ 所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．‎ 当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，‎ 则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．‎ h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，‎ 所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0，‎ 所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．‎ 综上，g(x)＝0在R有唯一实根，‎ 即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．‎ ‎22．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修41：几何证明选讲 如图15，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：‎ ‎(1)BE＝EC；‎ ‎(2)AD·DE＝2PB2.‎ 图15‎ ‎22．证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，‎ 故∠PAD＝∠PDA.‎ 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，‎ ‎∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，‎ ‎∠DCA＝∠PAB，‎ 所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.‎ 因此BE＝EC.‎ ‎(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.‎ 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.‎ 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，‎ 所以AD·DE＝2PB2.‎ ‎23．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ ‎23．解：(1)C的普通方程为 ‎(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为 (t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.‎ 故D的直角坐标为，即.‎ ‎24．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修45：不等式选讲 设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．‎ ‎(1)证明：f(x)≥2；‎ ‎(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．‎ ‎24．解：(1)证明：由a>0 ，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，‎ 所以f(x)≥2.‎ ‎(2)f(3)＝＋|3－a|.‎ 当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得3

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