【数学】2020届一轮复习苏教版函数与方程、不等式相结合问题学案

【数学】2020届一轮复习苏教版函数与方程、不等式相结合问题学案

一、考情分析 函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.‎ 二、经验分享 ‎(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．‎ ‎(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．‎ ‎(3) 已知函数零点情况求参数的步骤 ‎①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围．‎ ‎(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围．‎ ‎(5)“a＝f(x)有解”型问题,可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．‎ 三、知识拓展 ‎1．有关函数零点的结论 ‎(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点．‎ ‎(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．‎ ‎(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号．‎ ‎2．三个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．‎ 四、题型分析 ‎(一) 函数与方程关系的应用 函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y ‎＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.‎ ‎【例1】已知函数（）有四个不同的零点,则实数的取值范围是 ‎ ‎【分析】把函数（）有四个不同的零点转化为方程有三个不同的根,再利用函数图象求解 ‎【解析】因为是函数的零点,则函数有四个不同的零点,等价于方程有三个不同的根,即方程有三个不同的根．记函数＝．由题意y=与有三个不同的交点,由图知,所以．实数的取值范围是是、‎ ‎【点评】零点问题也可转化为方程的根的问题,的根的个数问题,可以转化为函数和图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程根的个数．‎ ‎【小试牛刀】【2018届2江苏徐州丰县高三上学期调考】．设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设及函数的解析式可知，所以．由题意问题转化为“存在，使得有解”，即在有解，令，则，当时，函数是增函数；所以，当，即.所以，故应填答案.‎ ‎ (二) 函数与不等式关系的应用 函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y＝f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.‎ ‎【例2】已知函数, ,若对任意的,都有成立,则实数的取值范围为 .‎ ‎【分析】根据题中条件：对任意的,都有成立,将问题转化为.再由题中所给两函数的特征：函数是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值；而另一个函数中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它的最小值,即可得到不等式,则可求出的取值范围.‎ ‎【解析】对任意的,都有成立,即.观察的图象可知,当时,函数；因为,所以所以,,解得或,故答案为或．‎ ‎【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式： 对是恒成立的.特别要注意等号成立的条件. 渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视.‎ ‎【小试牛刀】【2018届江苏省南京市高三12月联考】若不等式对任意的恒成立，则实数x的取值集合为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画图可知，函数和函数连续在轴右边有相同的零点，令，得，代入中，得，或，注意到，所以实数的取值集合为,故填.‎ ‎(三) 函数、方程和不等式关系的应用 函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视.‎ ‎【例3】已知函数,其中m,a均为实数．‎ ‎(1)求的极值；‎ ‎(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值；‎ ‎(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得成立,求的取值范围．‎ ‎【分析】(1)求的极值,就是先求出,解方程,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式恒成立的转化,由（1）可确定在上是增函数,同样的方法（导数法）可确定函数在上也是增函数,不妨设,这样题设绝对值不等式可变为 ‎,整理为,由此函数在区间上为减函数,则在（3,4）上恒成立,要求的取值范围．采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求在上的最大值；（3）由于的任意性,我们可先求出在上的值域,题设“在区间上总存在,使得 成立”,转化为函数在区间上不是单调函数,极值点为（）,其次,极小值,最后还要证明在上,存在,使,由此可求出的范围.‎ ‎【解析】（1）,令,得x = 1． ‎ 列表如下：‎ x ‎（-∞,1）‎ ‎1‎ ‎（1,+∞）‎ + ‎0‎ - g(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∵g(1) = 1,∴y =的极大值为1,无极小值． ‎ ‎（2）当时, ,．‎ ‎∵在恒成立,∴在上为增函数． ‎ 设,∵> 0在恒成立,‎ ‎∴在上为增函数． ‎ 设,则等价于,‎ 即． ‎ 设,则u(x)在为减函数．‎ ‎∴在（3,4）上恒成立． ‎ ‎∴恒成立． ‎ 设,∵=,xÎ[3,4],‎ ‎∴,∴< 0,为减函数．‎ ‎∴在[3,4]上的最大值为v(3) = 3 -． ‎ ‎∴a≥3 -,∴的最小值为3 -． ‎ ‎（3）由（1）知在上的值域为． ‎ ‎∵,,‎ 当时,在为减函数,不合题意． ‎ 当时, ,由题意知在不单调,‎ 所以,即．① ‎ 此时在上递减,在上递增,‎ ‎∴,即,解得．② ‎ 由①②,得． ‎ ‎∵,∴成立． ‎ 下证存在,使得≥1． ‎ 取,先证,即证．③‎ 设,则在时恒成立．‎ ‎∴在时为增函数．∴,∴③成立．‎ 再证≥1．‎ ‎∵,∴时,命题成立． ‎ 综上所述,的取值范围为． ‎ ‎【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值. ‎ ‎【小试牛刀】【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数，函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，则，所以，‎ 所以切线方程为.‎ ‎（2），‎ ‎①当时，恒成立，所以单调递增，‎ 因为，所以有唯一零点，即符合题意；‎ ‎②当时，令，解得，列表如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 由表可知，.‎ ‎（i）当，即时，，所以符合题意；‎ ‎（ii）当，即时，，‎ 因为，且，所以，‎ 故存在，使得，所以不符题意；‎ ‎（iii）当，即时，，‎ 因为，‎ 设，‎ 则，‎ 所以单调递增，即，所以，‎ 又因为，所以，‎ 故存在，使得，所以不符题意；‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎（3），则，‎ ‎①当时，恒成立，所以单调递增，‎ 所以，即符合题意；‎ ‎②当时，恒成立，所以单调递增，‎ 又因为 ‎，‎ 所以存在，使得，‎ 且当时，，即在上单调递减，‎ 所以，即不符题意；‎ 综上，的取值范围为.‎