人教A版高中数学3-2-1几类不同增长的函数模型教案新人教版必修1

人教A版高中数学3-2-1几类不同增长的函数模型教案新人教版必修1

3.2.1 几类不同增长的函数模型（教学设计） 教学目标： 知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性． 过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较， 初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）， 了解函数模型的广泛应用． 情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现 实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用． 教学重点： 重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例 体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题． 一、新课导入： 材料：澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859 年，有 人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100 年，兔子 们占领了整个澳大利亚，数量达到 75 亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧 草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔 子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 二、师生互动，新课讲解： 例 1（课本 P95 例 1），假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报 40 元； 方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元； 方案三：第一天回报 0 .4 元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 探究： 1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ 2）分析解答（略）（见 P95--97） 3）根据例 1 表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 例 2：（课本 P97 例 2）某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利 润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y （单位：万元）随销售利润 x （单位：万元）的增加而增加但奖金 不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%．现有三个奖励模型： xy 25.0 1log7  xy xy 002.1 ．问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 探究： 1）本例涉及了哪几类函数模型？ 2）本例的实质是什么？ 3）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？ 解答：（课本 P97—98） 幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析： 你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数 )0(  nxy n 、指 数函数 )1(  aay x 、对数函数 )1(log  axy a 在区间 ),0(  上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结。 课堂练习：（课本 P98 练习 NO：1；2） 例 3．某农家旅游公司有客房 300 间，每间日房租为 20 元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租 金，如果每 间客房每日增加 2 元，客房出租数就会减少 10 间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租 金总收入最高？ 探索： 1） 本例涉及到哪些数量关系？ 2） 应用如何选取变量，其取值范围又如何？ 3） 应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？ 4） “总收入最高”的数学含义如何理解？ [略解：] 设客房日租金每间提高 x 个 2 元，则每天客房出租数为 300-10 x ， 由 x >0，且 300-10 x >0 得：0< x <30 设客房租金总收入元，则有：老派 )10300)(220( xxy  8000)10(20 2  x （0< x <30） 由二次函数性质可知当 x =10 时， y max=8000． 所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40 元时，客户租金总收入最高，为每天 8000 元． 三、课堂小结，巩固反思 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减 性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随 x 的增大逐渐变 “陡” 随 x 的增大逐渐趋于稳 定 随 n 值而不同 四、布置作业： A 组： 1、 一公顷地等于一百五十亩，某外资企业在 A 开发区租借 x 公顷，则合多少亩地？ 解答：设 x 公顷合 y 亩地，则有函数关系 y＝150x（x＞0） 评注：这是一个常规的换算问题，而在我们所学的内容中恰好是一个函数问题，由此可以理解很多换算问题都是 一种常规的函数关系。 2、某国际快递公司从上海到纽约的一次快递业务报价为： 物资 快递价格（人民币） 不超出 10 公斤 200（元） 超出 10 公斤，不超出 20 公斤 350（元） 超出 20 公斤，不超出 40 公斤 500（元） 40 公斤以上 每增加一公斤加费 10 元 (1) 写出快递价格 y 与快递物资 x 的函数关系式； (2) 某人需要快递 50 公斤物资，他用一次快递便宜还是分两次快递（一次 20 公斤，一次 30 公斤）便宜？ 解：(1) 200 0＜x≤10 y 的单位元 y＝f(x)＝ 350 10＜x≤20 x 的单位：公斤 500 20＜x≤40 500＋10(x－40) 40＜x (2) 一次快递的费用为：y1＝500＋40(50－40)＝600（元） 二次快递的费用为：y2＝350＋500＝850（元） 答：一次快递费用便宜。 评注：这是一个分段函数的典型实例，在建立数学模型的基础上可以用来怎样合理使用运输方法。 3、将 20 米长的一段篱笆沿墙围成三个大小相同的矩形猪窝（如图），用怎样围法面积最大？ x 解：设猪舍的一边长为 x，则另一边为 20 4 3 x ∴ 面积为 2 220 4 53 4 20 4( ) 253 2 xS x x x x          （0＜x＜5） ∴ 当 x＝2.5 米时，面积 Smax＝25（米 2） 答：当一间猪舍的一边长为 2.5 米，另一边为10 3 米时，面积最大。 评注：二次函数的最值是一个重要问题，而在求最值之前有一个二次函数的模型建立问题，在模型建立中，一定 要对各种因素思考完整。 4、已知函数图象（如图）中 A(0, 4)、B(－2, 0)、C(1, 1)、D(2, 0)（均为线段） (1) 写出函数在[－2, 3]上的表达式； (2) 写出函数的增区间； (3) 出函数的最大或最小值。 解：(1) 2 4 2 0 1 | 1| 0 3 x xy x x          　　　 　　 A (2) 函数分别在[－2, 0)，[0, 1]上为增函数。 C (3) 函数当x＝3 时取最小值－1，无最大值。 B D E 评注：这是一个图形与函数关系的问题，在这里要注意[－2, 1]不是它的单调区间，并注意 4 不是它的最大值， 而只是一个上限。 5、商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个定价 5 元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送 一个茶杯；(2)按总价的 92%付款．顾客只能任选其一．某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个)，若购买茶杯 数为 x 个，付款数为 y(元)，试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱． 解 由优惠办法(1)可得函数关系式为 y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60 (x≥4)； 由优惠办法(2)得： y2＝4×20×0.92＋x×5×0.92＝4.6x＋73.6 (x≥4) 当购买 34 只茶杯时，两办法付款相同； 当 4≤x<34 时，y134 时，y1>y2，优惠办法(2)省钱．