数学文·河南省信阳市息县一中2017届高三上学期第一次段考数学试卷（文科） Word版含解析

数学文·河南省信阳市息县一中2017届高三上学期第一次段考数学试卷（文科） Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河南省信阳市息县一中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}‎ ‎2．复数=（　　）‎ A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i ‎3．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）‎ A．8 B．9 C．27 D．36‎ ‎4．函数y=x2lg的图象（　　）‎ A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线y=x对称 D．关于y轴对称 ‎5．函数y=的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数f（x）=，若对于任意x∈R，不等式f（x）≤﹣t+1恒成立，则实数t的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1]∪[2，+∞） B．（﹣∞，1]∪[3，+∞） C．[1，3] D．（﹣∞，2]∪[3，+∞）‎ ‎7．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　）‎ A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x ‎8．圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．2‎ ‎9．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣1 B．3 C．7 D．8‎ ‎11．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．‎ 学生序号 ‎ ‎1 ‎ ‎ 2‎ ‎3 ‎ ‎ 4‎ ‎5 ‎ ‎ 6‎ ‎7 ‎ ‎ 8‎ ‎9 ‎ ‎ 10‎ ‎ 立定跳远（单位：米）‎ ‎ 1.96‎ ‎1.92‎ ‎ 1.82‎ ‎ 1.80‎ ‎ 1.78‎ ‎ 1.76‎ ‎ 1.74‎ ‎ 1.72‎ ‎ 1.68‎ ‎ 1.60‎ ‎ 30秒跳绳（单位：次）‎ ‎ 63‎ a ‎ ‎ 75‎ ‎60 ‎ ‎ 63‎ ‎72 ‎ ‎70‎ a﹣1 ‎ ‎ b ‎65 ‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（　　）‎ A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 ‎12．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）‎ A．12π B．π C．8π D．4π ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小85分，共20分）‎ ‎13．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为　　．‎ ‎14．函数f（x）=（x≥2）的最大值为　　．‎ ‎15．己知双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐进线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=　　，b=　　．‎ ‎16．在△ABC中，∠A=，a=c，则=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6題，共70分.解答应写出文字说明，演算步步或证明过程）‎ ‎17．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎18．某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；‎ ‎（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．‎ 附：K2=‎ P（K2＞k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎19．已知函数f（x）=x2+a|x﹣1|，a为常数．‎ ‎（1）当a=2时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值和最大值；‎ ‎（2）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎20．设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．‎ ‎21．已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎22．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．‎ ‎（Ⅰ）求a；‎ ‎（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省信阳市息县一中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，‎ ‎∴A∩B={x|2＜x＜3}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．复数=（　　）‎ A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．‎ ‎【解答】解： ===i，‎ 故选：A ‎　‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）‎ A．8 B．9 C．27 D．36‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，‎ 当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，‎ 当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，‎ 当k=3时，不满足进行循环的条件，‎ 故输出的S值为9，‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．函数y=x2lg的图象（　　）‎ A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线y=x对称 D．关于y轴对称 ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】先判断出函数为奇函数，再根据奇函数的图象的性质得到答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2lg，‎ ‎∴其定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），‎ ‎∴f（﹣x）=x2lg=﹣x2lg=﹣f（x），‎ ‎∴函数为奇函数，‎ ‎∴函数的图象关于原点对称，‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．函数y=的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】当x＞0时，，当x＜0时，，作出函数图象为B．‎ ‎【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．‎ 当x＞0时，，‎ 当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．‎ 故选B ‎　‎ ‎6．已知函数f（x）=，若对于任意x∈R，不等式f（x）≤﹣t+1恒成立，则实数t的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，1]∪[2，+∞） B．（﹣∞，1]∪[3，+∞） C．[1，3] D．（﹣∞，2]∪[3，+∞）‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】这是一个不等式恒成立问题，只需即可，再求分段函数的最大值，解出关于t的不等式即为所求．‎ ‎【解答】解：对于f（x），当x≤1时，y=﹣在（﹣∞，]递增，在（]上递减，故此时ymax=f（）=；‎ 当x＞1时，y=log0.5x是减函数，此时y＜log0.51=0，；综上原函数的最大值为，‎ 故不等式f（x）≤﹣t+1恒成立，只需﹣t+1即可，解得t≤1或t≥3．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　）‎ A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．‎ ‎【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；‎ ‎∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；‎ B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；‎ C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；‎ D.；‎ ‎∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．2‎ ‎【考点】圆的标准方程；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．‎ ‎【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），‎ ‎∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：‎ d==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．‎ ‎【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，‎ 基本事件总数n==10，‎ 甲被选中包含的基本事件的个数m==4，‎ ‎∴甲被选中的概率p===．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣1 B．3 C．7 D．8‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．‎ ‎【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，‎ 令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，‎ 可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．‎ 学生序号 ‎ ‎1 ‎ ‎ 2‎ ‎3 ‎ ‎ 4‎ ‎5 ‎ ‎ 6‎ ‎7 ‎ ‎ 8‎ ‎9 ‎ ‎ 10‎ ‎ ‎ ‎ 1.96‎ ‎1.92‎ ‎ 1.82‎ ‎ 1.80‎ ‎ 1.78‎ ‎ 1.76‎ ‎ 1.74‎ ‎ 1.72‎ ‎ 1.68‎ ‎ 1.60‎ 立定跳远（单位：米）‎ ‎ 30秒跳绳（单位：次）‎ ‎ 63‎ a ‎ ‎ 75‎ ‎60 ‎ ‎ 63‎ ‎72 ‎ ‎70‎ a﹣1 ‎ ‎ b ‎65 ‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（　　）‎ A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，‎ 故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，‎ 又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，‎ 则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，‎ 剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，‎ 故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）‎ A．12π B．π C．8π D．4π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，‎ 正方体的体对角线为=2，‎ 即为球的直径，所以半径为，‎ 所以球的表面积为=12π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小85分，共20分）‎ ‎13．已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为　　．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），‎ ‎∴与夹角θ满足：‎ cosθ===，‎ 又∵θ∈[0，π]，‎ ‎∴θ=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．函数f（x）=（x≥2）的最大值为　2　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．‎ ‎【解答】解：；‎ ‎∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；‎ ‎∴x=2时，f（x）取最大值2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．己知双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐进线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=　1　，b=　4　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得：﹣2=﹣，a+b=5，联立解出即可得出．‎ ‎【解答】解：∵双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐进线为2x+y=0，一个焦点为（，0），‎ ‎∴﹣2=﹣，a+b=5，‎ 故答案分别为：1；4．‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，∠A=，a=c，则=　1　．‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，‎ 由正弦定理可得：，‎ ‎=，sinC=，C=，则B==．‎ 三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，‎ 则=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6題，共70分.解答应写出文字说明，演算步步或证明过程）‎ ‎17．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}是公差为d的等差数列，‎ ‎{bn}是公比为q的等比数列，‎ 由b2=3，b3=9，可得q==3，‎ bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；‎ 即有a1=b1=1，a14=b4=27，‎ 则d==2，‎ 则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；‎ ‎（2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，‎ 则数列{cn}的前n项和为 ‎（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+‎ ‎=n2+．‎ ‎　‎ ‎18．某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；‎ ‎（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．‎ 附：K2=‎ P（K2＞k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）利用2×2列联表中的数据计算观测值x2，对照表中数据即可得出结论；‎ ‎（2）利用列举法求出从这5名学生中任取3人的基本事件数，计算对应的概率即可．‎ ‎【解答】解：（1）将2×2列联表中的数据代入公式，计算得 x2==≈4.762，‎ 因为4.762＞3.841，‎ 所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；‎ ‎（2）这5名数学系学生中，2名喜欢甜品的记为A、B，‎ 其余3名不喜欢甜品的学生记为c、d、e，‎ 则从这5名学生中任取3人的结果所组成的基本事件为 ABc，ABd，ABe，Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共10种；‎ ‎3人中至多有1人喜欢甜品的基本事件是 Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共7种；‎ 所以，至多有1人喜欢甜品的概率为P=．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=x2+a|x﹣1|，a为常数．‎ ‎（1）当a=2时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值和最大值；‎ ‎（2）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】（1）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数求最值；‎ ‎（2）去掉绝对值符号，化为分段函数，配方利用二次函数的单调性，使函数在两段上都递增，且x≥1时的最小值大于x≤1时的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）当a=2时， =‎ 所以当x∈[1，2]时，[f（x）]max=6，[f（x）]min=1‎ 当x∈[0，1]时，[f（x）]max=2，[f（x）]min=1‎ 所以f（x）在[0，2]上的最大值为6，最小值为1． ‎ ‎（2）因为=‎ 而f（x）在[0，+∞）上单调递增 所以当x≥1时，f（x）必单调递增，得即a≥﹣2‎ 当0≤x＜1时，f（x）亦必单调递增，得即a≤0‎ 且11+a﹣a≥11﹣a+a恒成立，‎ 故所求实数a的取值范围为[﹣2，0]．‎ ‎　‎ ‎20．设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x0=1，转化为关于k的等式求得k的值．‎ ‎【解答】解：（1）由+=，‎ 得+=，‎ 即=，‎ ‎∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），‎ 设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），‎ ‎∵∠MOA=∠MAO，‎ ‎∴x0=1，‎ 再设H（0，yH），‎ 联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．‎ ‎△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．‎ 由根与系数的关系得，‎ ‎∴，，‎ MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣（x﹣x0），‎ 令x=0，得yH=（k+）x0﹣2k，‎ ‎∵BF⊥HF，‎ ‎∴，‎ 即1﹣x1+y1yH=1﹣ [（k+）x0﹣2k]=0，‎ 整理得： =1，即8k2=3．‎ ‎∴k=﹣或k=．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的极值；‎ ‎（Ⅱ）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（Ⅱ）根据函数的单调性判断即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）==，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，‎ ‎∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，‎ ‎∴f（x）极大值=f（e）=，无极小值；‎ ‎（Ⅱ）∵f（x）在（，+∞）递减，‎ ‎∴＞，‎ ‎∴2017ln2016＞2016ln2017，‎ ‎∴20162017＞20172016．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎22．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．‎ ‎（Ⅰ）求a；‎ ‎（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；‎ ‎（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．‎ ‎∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；‎ 由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，‎ ‎∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．‎ 由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．‎ ‎（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，‎ 则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）‎ ‎=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），‎ 当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=3时，化简函数f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，画出直线y=4，数形结合求得不等式f（x）≤4的解集．‎ ‎（Ⅱ）由条件求得（2x﹣1）﹣（x﹣a）≤0，分类讨论求得x的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣3|=，‎ 如图所示：由于直线y=4和函数f（x）的图象交于点（0，4）、（2，4），‎ 故不等式不等式f（x）≤4的解集为[0，2]．‎ ‎（Ⅱ）由 f（x）=|x﹣1+a|，可得|2x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1+a|．‎ 由于|2x﹣1|+|x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（x﹣a）|=|x﹣1+a|，当且仅当（2x﹣1）•（x﹣a）≤0时，取等号．‎ 故有（2x﹣1）﹣（x﹣a）≤0．‎ 当a=时，可得x=，故x的范围为{}；当a＞时，可得≤x≤a，故x的范围为[，a]；‎ 当a＜时，可得a≤x≤，故x的范围为[a，]．‎ ‎　‎ ‎2016年11月2日