高考数学一轮复习练案50第八章解析几何第一讲直线的倾斜角斜率与直线的方程含解析
[练案50]第八章 解析几何
第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
A组基础巩固
一、单选题
1．(2019·秦皇岛模拟 )倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是( D )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－＝0
C.x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0
[解析] 由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.
2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( D )
A．k1
α3，所以00知，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选A、B、D.
10．下列说法正确的是( AB )
A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)
C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝
D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0
[解析] A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确，B中(，)在直线y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，所以B正确，C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误，D选项错误，还有一条截距都为0的直线y＝x.
11．(2019·福建六校联考改编)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( BD )
[解析] 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.结合选项知B符合，当a>0，b<0时，－a<0，－b>0，选项D符合，当a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0时都不符合，故选B、D.
三、填空题
12．经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程为__3x＋4y＋15＝0__.
[解析] 由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)．
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因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
13．(2019·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为__x＋y－1＝0或3x＋2y＝0__.
[解析] 当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，
则有3＝－2k，即k＝－，
此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.
当截距不为0时，设所求直线方程为＋＝1，
则有＋＝1，即a＝1，即x＋y－1＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.
14．如图，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线BC的方程为__x－2y－1＝0__.
[解析] 设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，
∵A(5，－2)，B(7,3)，
又M是AC的中点，∴5＋m＝0，m＝－5，
N是BC的中点，
∴3＋n＝0，n＝－3，
∴点C的坐标为(－5，－3)，
则kBC＝＝，
∴BC的方程为y－3＝(x－7)，即x－2y－1＝0.
B组能力提升
1．(2019·济宁模拟)直线xsin＋ycos＝0的倾斜角是( D )
A．－ B．
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C． D．
[解析] 由题意得直线方程为y＝－tan·x，
∴k＝－tan＝tan.∵0≤α<π，∴α＝.
2．(2020·太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( B )
A． B．－
C．－ D．
[解析] 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.
3．(2019·安徽五校联考)已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是( B )
A．[，2] B．(－∞，]∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1,2]
[解析] 直线kx－y＋1－k＝0恒过P(1,1)，kPA＝2，kPB＝，故k的取值范围是(－∞，]∪[2，＋∞)．故选B.
4．(2019·山西模拟)若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为__16__.
[解析] 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以1＝2(＋)≥4，即ab≥16.当且仅当a＝b＝－4时等号成立．即ab的最小值为16.
5．(2019·福建期末)已知直线l：y＝(1－m)x＋m(m∈R)．
(1)若直线l的倾斜角α∈[，]，求实数m的取值范围；
(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．
[解析] (1)由已知直线l斜率k＝1－m，
∵倾斜角α∈[，]，
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由k＝tanα可得1≤k≤，
∴1≤1－m≤，解得1－≤m≤0.
(2)直线l：y－1＝(1－m)(x－1)过定点(1,1)，
不妨设其方程为＋＝1(a>0，b>0)
则＋＝1≥，即ab≥4，
∴S△AOB＝ab≥2(当且仅当a＝b＝2时取等号)
∴△AOB面积的最小值为2，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.
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