解析几何中的长度、面积问题

解析几何中的长度、面积问题

解析几何中的长度、面积问题 近几年解析几何中的“长度与面积问题”在全国各地的高考试卷中频频出现，此类问题 有综合性强、运算量大、思想方法多、思维能力要求高等特点.对这类问题，要采取恰当的 处理方法，才能快速、有效地找到解题，少走弯路。那么如何计算和处理线段长度 ( 包括 弦长、两点间的距离 )，我总结了以下几条途径： 一、与圆相关的线段长度的计算和处理，应借助于圆心和半径．必要时利用平面几何的某 些结论，比如大家熟悉的圆的弦长、切线长的计算。 例 (2016· 淮阴中学 ) 已知圆 M： x2 + y - 4  2 = 4，点 P 是直线 l： x - 2y = 0 上的一动点， 过点 P 作圆 M 的切线 PA， PB，切点为 A， B. (1) 当切线 PA 的长度为 2 3  时，求点 P 的坐标. (2) 若 △ PAM 的外接圆为圆 N ，试问：当 P 运动时，圆 N 是否过定点?若存在，求出所有 的定点的坐标；若不存在，请说明理由. (3) 求线段 AB 长度的最小值. 【解答】 (1) P(0， 0) 或 P 16 5 , 8 5   . (2) 定点 (0， 4)， 8 5 , 4 5   . (3) 因为圆 N 方程为 x - b  2 + y - b + 4 2   = 4b2 + (b - 4)2 4 ，即 x2 + y2 - 2bx - (b + 4)y + 4b = 0， ①圆 M： x2 + (y - 4)2 = 4，即 x2 + y2 - 8y + 12 = 0， ②，② - ①得圆 M 与圆 N 的相交弦 AB 所 在 的 直 线 方 程 为 2bx + (b - 4)y + 12 - 4b = 0， 点 M 到 直 线 AB 的 距 离 d = 4 5b2 - 8b + 16  ， 相 交 弦 长 即 AB = 2 4 - d2  = 4 1 - 4 5b2 - 8b + 16   = 4 1 - 4 5 b - 4 5   2 + 64 5    ，当 b = 4 5  时， AB 有最小值 11  . 练 1、已知在平面直角坐标系中，点 A(2， 0)， B(0, 1) 到直线 l 的距离分别为 1, 2，则这 样的直线 l 共有 ___3__ 条． 2、若圆 x2 + y2 = 4 与圆 x2 + y2 + ax + 2ay - 9 = 0(a > 0) 相交，公共弦的长为 2，则 a = 10  2 . 3、已知圆 C1： (x - 2)2 + (y - 3)2 = 1，圆 C2： (x - 3)2 + (y - 4)2 = 9， M， N 分别是圆 C1， C2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM + PN 的最小值为 5 2  - 4． 二、圆锥曲线上涉及到焦点的距离，可以考虑圆锥曲线的定义和统一定义，从而实现从难 到易、化繁为简的目的． 21．（重庆 2015 理， 21）如图，椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 a > b > 0  的左、右焦点分别为 F1, F2,过 F2 的直线交椭圆于 P, Q 两点，且 PQ ⊥ PF1 （1）若 PF1  = 2 + 2  , PF2  = 2 - 2 ，求椭圆的标准 方程 （2）若 PF1  = PQ  ,求椭圆的离心率 e. (2) 解法一:如图 (21) 图， 设点 P(xo, yo) 在椭圆上，且 PF1 ⏊ PF2，则 x0 2 a2 + y0 2 b2 = 1, x0 2 + y0 2 = c2 求得 x0 = ± c a  a2 - 2b2  , y0 = ± b2 c  由 PF2 > PF2  ,得 x0 > 0, 从而 PF1  2 = c a  a2 - 2b2  + c  2 + b2 c   = 2(a2 - b2) + 2a a2 - 2b2  = (a + a2 - 2b2  )2 由椭圆的定义， PF1  + PF2  = 2a, QF1  + QF2  = 2a, 从而由 PF1  = PQ  = PF2  + QF2  , QF1  = 4a - 2 PF1  又由 PF1 ⏊ PF2, PF1  = PQ1  知 QF1  = 2  PF1  , 因此 2 + 2    PF1  = 4a 于是 2 + 2    (a + a2 - 2b2  ) = 4a 解得 e = 1 2  1 + 4 2 + 2  - 1  2        = 6  - 3  解法二：如图（21）图由椭圆的定义， PF1  + PF2  = 2a, QF1  + QF2  = 2a, 从而由 PF1  = PQ  = PF2  + QF2  ,有 QF1  = 4a - 2 PF1  又由 PF1 ⏊ PF2, PF1  = PQ  知 QF1  = 2  PF1  ,因此 4a - 2 PF1  = 2  PF1  , PF1  = 2(2 - 2  )a, 从而 PF2  = 2a - PF1  = 2a - (2 - 2  )a = 2( 2  - 1)a 由 PF1 ⏊ PF2,知 PF1  2 + PF2  2 = (2c)2 = 4c2,因此 e = c a  = PF1  2 + PF2  2  2a  = (2 - 2  )2 + ( 2  - 1)2  = 9 - 6 2   = 6  - 3  练（1） (2016· 金陵中学 ) 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点 分别为 F1， F2，这两条曲线在第一象限的交点为 P， △ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角 形.若 PF1 = 10，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1， e2，则 e1·e2 的取值范围是 1 3 , + ∞  . (2) 已知双曲线 x2 a2 - y2 b2 = 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，过 F1 作圆 x2 + y2 = a2 的切线分 别交双曲线的左、右两支于点 B、 C，且 BC = CF2， 则双曲线的渐近线方程为 y = ± ( 3  + 1)x． （3）已知定点 A(1, -1), F 为椭圆 x2 4  + y2 3  = 1 的右焦点，点 P 为椭圆上的动点，则 PA + 2PF 的最小值为 3 三、分量法 水平线段和竖直线段的长度计算，比起一般线段长度的计算要简单的多，因此，设法把斜 线段的长转化为水平 ( 或竖直 ) 线段的长可以起到从难到易、化繁为简的效果，特别对于线 段长度的比例运算，更是有立竿见影的作用． 例： (2016· 苏北四市期末 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C： x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的离心率 e = 1 2 ，左顶点为 A(-4， 0)， 过点 A 作斜率为 k(k ≠ 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E. (1) 求椭圆 C 的方程. (2) 已知点 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q，对于任意的 k(k ≠ 0) 都有 OP ⊥ EQ? 若存 在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. (3) 若过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M，求 AD + AE OM  的最小值. 【解答】 (1) x2 16  + y2 12  = 1.(2) Q 的坐标为 (-3， 0) (3) 因为 OM ∥ l，所以 OM 的方程可设为 y = kx， 由 x2 16  + y2 12  = 1 y = kx  得点 M 的横坐标为 xM = ± 4 3  4k2 + 3 ， 由 OM ∥ l，得 AD + AE OM  = xD - xA  + xB - xA  xM   = xD - 2xA xM   = -16k2 + 12 4k2 + 3  + 8 4 3  4k2 + 3   = 1 3  ⋅ 4k2 + 9 4k2 + 3  = 1 3 ( 4k2 + 3  + 6 4k2 + 3 ) ≥ 2 2 ，当且仅当 4k2 + 3  = 6 4k2 + 3 ，即 k = ± 3  2  时取等号，所以当 k = ± 3  2  时， AD + AE OM  取得最小值为 2 2  . 例：（四川 2015 理， 20）如图，椭圆 E： x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的离心率是 2  2 ，过点 P （0, 1）的动直线 l 与椭圆相交于 A， B 两点，当直线 l 平行与 x 轴时，直线 l 被椭圆 E 截 得的线段长为 2 2  . (1) 求椭圆 E 的方程； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得 QA  QB   = PA  PB   恒成 立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） x2 4  + y2 2  = 1；（2）存在， Q 点的坐标为 Q(0, 2). (2) 当直线 ι 与 x 轴平行时，设直线 ι 与椭圆相交于 C、 D 两点. 如果存在定点 Q 满足条件，则 QC  QD   = PC  PD   = 1, 即 QC  = QD  所以 Q 点在 y 轴上，可设 Q 点的坐标为 (0, n), 当直线 1 与 x 轴垂直时，设直线 1 与椭圆相交于 M、 N 两点 则 QM  QN   = PM  PN  ,有 y0 - 2    y0 + 2     = 2  - 1 2  + 1 ,解得 y0 = 1, 或 y0 = 2 所以，若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点的坐标只可能为 Q(0,, 2) 下面证明:对任意的直线 ι，均有 QA  QB   = PA  PB   当直线 ι 的斜率不存在时，由上可知，结论成立. 当直线 ι 的斜率存在时，可设直线 ι 的方程为 y = kx + 1, A B 的坐标分别为 x1, y1  , x2, y2  联立 x2 4  + y2 2  = 1 y = kx + 1  ,得 2k2 + 1  x2 + 4kx - 2 = 0 其判别式 △16k2 + 8(2k2 + 1) > 0 所以， x1 + x2 = - 4k 2k2 + 1 , x1x2 = - 2 2k2 + 1  因此 1 x1  + 1 x2  = x1 + x2 x1x2  = 2k 易知，点 B 关于 y 轴对称的点的坐标为 B(-x2, y2) 又 kQA = kQB, 即 Q, A, B 三点共线 所以 QA  QB   = QA  QB   = x1  x2   = PA  PB   故存在与 P 不同的定点 Q(0, 2), 使得 QA  QB   = PA  PB   恒成立 四、向量法，解析几何的“长度问题”如果能与向量结合，利用向量知识与方法可将长 度问题向量化，就能收到事半功倍的解题效果。下面就解析几何中比较常见的长度比值问 题的向量方法与传统方法做比较并进行探讨． 例、（安徽 08， 22）设椭圆 C： x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 过点 M （ 2 ， 1），且左焦点为 F1( 2  , 0). （1）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）当过点 P （4， 1）的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A， B 时，在线段 AB 上取点 Q，满足 |AP  | ∙ |QB  | = |AQ  | ∙ |PB  |， 证明：点 Q 总在某定直线上。 解析：（1） x2 4  + y2 2  = 1 （2）设点 Q （x, y)， B(x2, y2)，由题设 |PA  |、 |PB  |、 |AQ  |、 |QB  | 均不为 0，且 |PA  |AQ  | ，又 P, A, Q, B 四点共线，可设 PA  = - λAQ  ， PB  = λBQ  (λ ≠ 0, ± 1)，于是 x1 = 4 - λx 1 - λ ， y1 = 1 - λy 1 - λ  ① x2 = 4 + λx 1 + λ , y2 = 1 + λy 1 + λ  ②， 由于 A(x1， y1), B((x2， y2) 在椭圆上，将①②分别代入 C 的方程 x2 4  + y2 2  = 1，整理得： x2 + 2y2 - 4  λ2 - 4(2x + y - 2)λ + 4 = 0 ③ ， x2 + 2y2 - 4  λ2 + 4(2x + y - 2)λ + 4 = 0 ④，由④ - ③得 8 2x + y - 2  λ = 0 ∵ λ ≠ 0， ∴ 2x + y - 2 = 0，即点 Q(x, y) 总在直线 2x + y - 2 = 0 上。 例：【2014 全国 2，文 20】设 F1, F2 分别是椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的左右焦点， M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. （Ⅰ）若直线 MN 的斜率为 3 4 ，求 C 的离心率； （Ⅱ）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 |MN| = 5|F1N|，求 a, b. （Ⅱ）由题意，原点 O 为 F1F2 的中点， MF//y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0, 2) 是线 段 MF1 的中点，故 b2 a  = 4, 即 b2 = 4a, ①由 |MN| = 5 F1N  得 |FD| = 2 F1N  设 N(x1, y1), 由 题意得， y1 < 0， 则 2(-c - x1) = c -2y1 = 2 即 x1 = - 3 2 c y1 = - 1  ,代入 C 的方程，得 9c2 4a2 + 1 b2 = 1 ②将①及 c = a2 - b2  代入②得 9(a2 - 4a) 4a2 + 1 4a , 解得 a = 7, b2 = 4a = 28，故 a = 7, b = 2 7  例：（山东 2015 文， 21）平面直角坐标系 xoy 中， 已知椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1 a > b > 0  的离心率为 3  2 ，左、右焦点分别是 F1, F2，以 F1 为圆 心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上. ( Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设椭圆 E : x2 4a2 + y2 4b2 = 1， P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y = kx + m 交椭圆 E 于 A, B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. 求 OQ  OP   的值； [ 答案 ] (I)x2 4  + y2 = 1; （Ⅱ）（i） OQ  OP   = 2; (ii)6 3  （Ⅱ）由 (I) 知椭圆 E 的方程式为 x2 16  + y2 4  = 1 (i) 设 P(x0, y0), OQ  OP   = λ, 由题意知 Q(-λx0, -λy0) 因为 x0 2 4  + y0 2 = 1, 又 (-λx0)2 16  + (-λy0)2 4  = 1, 即 λ2 4 (x0 2 4  + y0 2) = 1 所以 λ = 2，即 OQ  OP   = 2 练 1、如图，已知过点 N(-2, 0) 的直线 l 与椭圆 x2 2  + y2 = 1 交于不同的两点 A, B （点 A 在 N 与 B 之 间）， 点 M 是 弦 AB 的 中 点 ， 则 |MN| |MA|  的 取 值 范 围 为 A B l M ON y x （ 2 ， + ∞  ） 2、已知曲线 C : x2 + y2 m  = 1(m ≠ 0)，直线 l 的斜率为 2  ，且过点 M(0, -2)，若直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A, B，且 |MA| ∙ |MB| = 9 2 ，曲线 C 的方程为 x2 - y2 14  = 1 从上面所举的例子可看到，向量的方法处理解析几何问题中同条直线上距离比值问题 是个不错的选择．但有时会遇到是选择横坐标相等还是选择纵坐标相等的问题，选择时应 以简便为原则．另外，如不具备线段在同一条直线上这一特点，必须另寻他法。 五、公式法，虽然用弦长公式和两点间距离公式计算长度，有时显得死板和复杂，但他 们毕竟是计算线段长度最基本的公式，因此在上述方法都不适用的情况下，使用这两个公 式计算线段长度和两点间距离，是十分有效的。 例 ： （ 江 苏 2015 , 18 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 x2 a2 + y2 b2 = 1 a > b > 0  的离心率为 f(x) = x3 + ax2 + b(a, b ∈ R)，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过 F 的直线与椭圆交于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线 分别交直线 l 和 AB 于点 P， C，若 PC = 2AB，求直线 AB 的方程. (2) 当 AB ⊥ x 轴时， AB = 2  ,又 CP = 3, 不合题意. 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y = k(x - 1)， A(x1, y1)， B(x2, y2), 将 AB 的方程代入相圆方程，得 (1 + 2k2)x2 -4k2x + 2(k2 - 1) = 0， 则 x1 2 = 2k2 ± 2(1 + k2)  1 + 2k2,则 C 的坐标为 2k2 1 + 2k2 ⋅ -k 1 + 2k2  , 且 AB = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2  = (1 - k2) (x2 - x1)2  = 2 2  (1 + k2) 1 + 2k2, 若 k = 0, 则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而 k ≠ 0, 故直线 PC 的方程为 y + k 1 + 2k2 = - 1 k (x - 2k2 1 + 2k2) 则 P 点的坐标为 -2k, 5k2 + 2 k(1 + 2k2)   ,从而 PC = 2(3k2 + 1) 1 + k2  k  (1 + 2k2)  - 因为 PC = 2AB, 所以 2(3k2 + 1) 1 + k2  k  (1 + 2k2)  = 4 2  (1 + k2) 1 + 2k2 解得 k = ± 1 练 1.(2016· 南通二模 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(-2， 0) 的直线与圆 x2 + y2 = 1 相 切于点 T，与圆 (x - a)2 + (y - 3  )2 = 3 相交于点 R， S，且 PT = RS，则正数 a 的值为 4 . 2. (2016· 江苏高考预测题 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1： x2 + y2 = 4， 圆 C2： x2 + y2 = 16，点 M (1， 0)，动点 P， Q 分别在圆 C1 和圆 C2 上，满足 MP ⊥ MQ， 则线段 PQ 的取值范围是 19  - 1, 19  + 1  . 上述几种途径中，实际上体现了数学中的重要想方法一一转化与化归．转化与化归作 为中学数学中最重要的思想方法之一，在解决数学问题中起着非常有效的作用，对培养学 生灵活运用所学知识解决问题的能力很有好处．在解决求线段长度的过程中同样可通过转 化从而达到问题的简单化．总之，虽然长度的计算和处理具有多样性和复杂性，但只要在 平时的解题过程中重视对基本公式、基本方法和基本数学思想的归纳和总结，这一问题也 就容易解决了。 下面来谈一谈解析几何中的面积问题。面积常以定值、范围、最值的形式出现在解答 题中 ( 如 2016 年全国卷 I 20 题考查的是四边形面积的范围， 2014 年全国卷 I 20 题考查三角 形的面积的最大值 )．它具有综合性强、涉及知识面广，而且常含有变量的基本特征．在求 解时，往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、整体代换等数学思想 方法，将它转化为解不等式或求函数最值，常利用函数单调性的思想来解决．下面我以椭 圆内三角形和四边形为例，来简单的归纳一下面积的解题策略。 求解椭圆内多边形面积 例题 已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 1 2 ，以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴 为半径的圆与直线 x - y + 6  = 0 相切. 求椭圆的标准方程 若直线 l : y = kx + m 与椭圆相交于 A， B 两点，且 kOA ∙ kOB = - b2 a2，试判断 △ AOB 的面积是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由 利用常见面积公式： S = 1 2 AB ∙ d，其中底长可用弦长公式 AB = 1 + k2  |x1 - x2| 求 得，高可用点到直线距离公式求得，从而算出面积。 又如：（浙江 2015 理， 19）已知椭圆 x2 2  + y2 = 1 上两个不同的点 A, B 关于直线 y = mx + 1 2  对称． （1）求实数 m 的取值范围； （2）求 △ AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）． 【答案】（1） m ＜ - 6  3  或 m ＞ 6  3 ；（2） 2  2 . 试 题 解 析 (1) 由 题 意 知 m ≠ 0 ， 可 设 直 线 AB 的 方 程 为 y = - 1 m  x + b ， 由 x2 2  + y2 = 1 y = - 1 m x + b      消去 y，得 1 2  + 1 m2  x2 - 2b m x + b2 - 1 = 0, ∵ 直线 y = - 1 m x + b 与椭圆 x2 2  + y2 = 1 有两个不同的交点， ∴ ∆ = - 2b2 + 2 + 4 m2 > 0, ①将 AB 中点 M 2mb m2 + 2 : m2b m2 + 2   代入直线方程 y = mx + 1 2  解得 b = - m2 + 2 2m2,②. 由①②得 m < - 6  3  或 m > 6  3  (2) 令 t = 1 m  ∈ (- 6  2 : 0) ⋃ (0 : 6  2 ), 则 AB  = t2 + 1  ⋅ -2t2 + 2t2 + 3 2   t2 + 1 2  ,且 O 到直线 AB 的距离为 d = t2 + 1 2  t2 + 1 ，设 △ AOB 的面积为 S(t)， ∴ S(t) = 1 2  AB  ⋅ d = 1 2  -2(t2 - 1 2 )2 + 2  ≤ 2  2 ，当且仅当 t2 = 1 2  时，等号成立， 故 △ AOB 面积的最大值为 2  2 . 割补法：拆分三角形 S = 1 2 m ∙ |x1 - x2|，可以将三角形面积拆分成同底的两个三角形面 积的和或差来计算，其实无论 A， B 在 y 轴的同侧还是异侧，均有以上公式。另外，拆分 三角形时关键是选取一条平行于坐标轴的线段作为公共底边。同样，四边形面积也可拆分 成两个三角形面积，再利用上述公式分别求解。 又如：（湖北 2015 文， 22）一种作图工具如图 1 所示． O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可 绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DN = ON = 1， MN = 3．当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周（D 不动 时， N 也不动）， M 处的笔尖画出的曲线记为 C．以 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建 立如图 2 所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设动直线 l 与两定直线 l1: x - 2y = 0 和 l2: x + 2y = 0 分别交于 P, Q 两点．若直线 l 总与 曲线 C 有且只有一个公共点，试探究： ΔOQP 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最 小值；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ） x2 16  + y2 4  = 1；（Ⅱ）存在最小值 8. (II) (1) 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x = 4 或 x = 4，都有 S△ OPQ = 1 2  × 4 × 4 = 8 (2) 当直线 l 的斜率存在时，设直线 ι : y = ιkx + m (k ≠ 土 1 2 ) 由 y = kx + m x2 + 4y2 = 16 消去 y，可得 1 + 4k2  x2 + 8kmx + 4m2 - 16 = 0 因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点， 所以 ∆ = 64k2m2 - 4(1 + 4k2) (4m2 - 16) = 0 即 m2 = 16k2 +4. ① 又由 y = kx + m x - 2y = 0 可得 P( 2m 1 - 2k , m 1 - 2k ) 同理可得 Q( -2m 1 + 2k , m 1 + 2k ) 由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d = m  1 + k2  和 PQ  = 1 + k2  xP - xQ  , 可得 S△ OPQ = 1 2  PQ  ⋅ d = 1 2  m  xP - xQ  = 1 2  ⋅ m  2m 1 - 2k  + 2m 1 + 2k   = 2m2 1 - 4k2  将①代入②得， S△ OPQ = 2m2 1 - 4k2  = 8 4k2 + 1 4k2 - 1   当 k2 ＞ 1 4 , S△ OPQ = 8( 4k2 + 1 4k2 - 1 ) = 8(1 + 2 1 - 4k2) ＞ 8 当 0 ≤ k2 ＜ 1 4  时， S△ OPQ = 8( 4k2 + 1 4k2 - 1 ) = 8(1 + 2 1 - 4k2) 因 0 ≤ k2 ＜ 1 4 ,则 0 ＜ 1 - 4k2 ≤ 1, 2 1 - 4k2 ≥ 2,, 所以 S△ OPQ = 8(-1 + 2 1 - 4k2) ≥ 8 当且仅当 k = 0 时取等号. 所以当 k = 0 时， S△ OPQ 的最小值为 8. 综合 (1) (2) 可知，当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时， AOPQ 的面积取得最小值 8. 再如：（四川 2014 文， 20）已知椭圆 C： F(-2, 0) （F(-2, 0)）的左焦点为 F(-2, 0)，离 心率为 6  3 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 O 为坐标原点， T 为直线 2 3  上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P， Q. 当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积. 【答案】 (1) 2 3 ；（2） 2 3  利用面积公式 S = 1 2 OA ∙ OB ∙ sin ∠ AOB，这个方法要借助极坐标来寻找边角的关系，后 面能否顺利完成就看三角恒等变形的功底如何。 利用面积公式 S = 1 2 |x1y2 - x2y1| 又如：（上海 2015 理， 21）已知椭圆 x2 + 2y2 = 1，过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交 于 A、 B 和 C、 D，记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 S. （1）设 A x1, y1  ， C x2, y2  ，用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离， 并证明 S = 2 x1y1 - x2y1  ； （2）设 l1 与 l2 的斜率之积为 - 1 2 ，求面积 S 的值. 【答案】（1）略（2） S = 2  [ 解析 ] 证明: (1) 直线 l1: y1x - x1y = 0，点 C 到 l1 的距离 d = y1x2 - x1y2  x1 2 + y1 2 . AB  = 2 OA  = 2 x1 2 + y1 2  , 所以 S = 2S△ ABC = 2 × 1 2  AB  ⋅ d = 2 x1y2 - x2y1  解: (2) 设 ι1: y = kx，则 ι2: y = - 1 2k x. 设 A(x1, y1), C(x2, y2) 由 y = kx x2 + 2y2 = 1 ,得 x1 2 = 1 2k . 同理对 x2 2 = 1 1 + 2(- 1 2k )2  = 2k2 2k2 + 1  由 (1), S = 2 x1, y1 - x2y2  = 2 x1 ⋅ x2 2k  + x2 ⋅ kx1  = 2k2 + 1 k   ⋅ x1x2  = (2k2 + 1) 2  k  k  1 + 2k2  ⋅ 2k2 + 1 , 整理得 S = 2  椭圆内多边形面积的范围或最值问题，求解时可用整体代换、基本不等式或函数单调性来 解决。 例题：如图，已知椭圆 x2 4  + y2 = 1，点 A， B 是它的两个顶点，过原点且斜率为 k 的直线 l 与线段 AB 相交于点 D，且与椭圆相交于 E， F 两点． 探索（1）如何求三角形 ABF 的面积 （2）如何求四边形 OAFB 面积最大值 （3）求四边形 AEBF 面积的最大值． 一般来说，求解椭圆内多边形面积的范围或最值，常用以 下 方法： 转化为二次函数求最值 例：（2015 山东文 21）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： x2 α2 + y2 b2 = 1(α > b > 0) 的离心率为 3  2 ，且点（ 3  ， 1 2 ）在椭圆 C 上. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设椭圆 E： x2 4a2 + y2 4b2 = 1， P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y = kx + m 交椭圆 E 于 A, B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. （i）求 |OQ| |OP|  的值； (ii) 求△ ABQ 面积的最大值. [ 答案 ] (I)x2 4  + y2 = 1; (II) OQ  OP   = 2; (ii)6 3  (I) 由 (I) 知椭圆 E 的方程为 x2 16  + y2 4  = 1 (1) 设 P(x0, y0),) OQ  OP   = λ, 由题意知 Q(-λx0, -λy0) 因为 x0 2 4  + y0 2 = 1, 又 (-λx0)2 16  + (-λy0)2 4  = 1, 即 λ2 4 (x0 2 4  + y2 0) = 1 所以 λ = 2，即 OQ  OP   = 2 (ii) 设 A(x1, y1)B(x2, y2), 将 y = kx + m 代入椭圆 E 的方程， 可得 (1 + 4k2)x2 +8kmx + 4m2 - 16 = 0， 由 ∆ ≥ 0, 可得 m2 < 4 + 16k2 .............① 则有 x1 + x2 = - 8km 1 + 4k2 ⋅ x1x2 = 4m216 1 - 4k2;所以 x1 - x2  = 4 (16k2 + 4 - m2)m2  1 + 4k2. 因为直线 y = kx + m 与 y 轴交点的坐标为 (0, m), 所 以 △ OAB 的 面 积 S = 1 2  m  x1 - x2  = 2 m  16k2 + 4 - m2  1 + 4k2 = 2 (16k2 + 4 - m2)m2  1 + 4k2 = 2 (4 - m2 1 + 4k2) m2 1 + 4k2  设 m2 1 + 4k2 = t. 将直线 y = kx + m 代入椭园 C 的方程， 可得 (1 + 4k2)x2 +8kmx + 4m2 - 4 = 0, 由 0 ≥ 0. 可得 m2 < 1 + 4k2... .... .. .......② 由①②可知 0 < t ≤ 1, S = 2 (4 - t)t  = 2 -t2 + 4t  .故 S ≤ 2 3  当且仅当 t = 1, 即 m2 = 1 + 4k2 时取得最大值 2 3  2、转化为基本不等式求最值 例 、 （ 2014 全 国 卷 1 理 20 ） 已 知 点 AC 1 : x2 4  + y2 9  = 1 , 椭 圆 E : l 的 离 心 率 为 x = 2 + t, y = 2 - 2t, ； F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 t， O 为坐标原点 （I）求 E 的方程； （II）设过点 A 的动直线 C 与 E 相交于 P, Q 两点。当 l 的面积最大时，求 C 的直线方程. 【答案】（I） x2 4  + y2 = 1；（II） y = 7  2 x - 2 或 y = - 7  2 x - 2. (II) 当 1 ⊥ x 轴时不合题意，故设直线 1 : y = kx - 2, P(x1， y1).Q(x2， y2). 将 y = kx - 2 代入 x2 4  + y2 = 1 得 (1 + 4k2)x2 - 16kx + 12 = 0. 当 ∆ = 16(4k2 - -3) > 0, 即 k2 > 3 4  时, l2 = 8k ± 2 4k2 - 3  4k2 + 1 ,从而 |PQ| = k2 + 1  x1 - x2  = 4 k2 + 1  ⋅ 4k2 - 3  4k2 + 1 , 又点 O 到直线 PQ 的距高 d = 2 k2 + 1  所以 △ OPQ 的面积 S△ OPQ = 1 2 d ⋅ PQ  = 4 k2 + 1  ⋅ 4k2 - 3  4k2 + 1 , 设 4k2 - 3  = t，则 t > 0， S△ OPQ = 4t t2 + 4  = 4 t + 4 t  ,因为 t + 4 t  ≥ 4, 当且仅当 t = 2 时， k = ± 7  2  时取等号，且满足 ∆ > 0. 所以，当 S△ OPQ 的面积最大时， l 的方程为 y = 7  2 x - 2 或 y = - 7  2 x - 2 3、转化为导数求最值 例 1： (2012 浙江理 21) 如图，椭圆 C： x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 1 2 ，其左焦点到 点 P(2， 1) 的距离为 10 ．不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，且线段 AB 被直 线 OP 平分． ( Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程； ( Ⅱ ) 求△ ABP 的面积取最大时直线 l 的方程． ∴ 所求椭圆 C 的方程为: x2 4  + y2 3  = 1 (II) 易得直线 OP 的方程， y = 1 2 x, 设 A(xA, yA)B(xB, yB), R(xO, yO) 其中 yo = 1 2 xo. ∵ A, B 在椭圆上 ∴ xA2 4  + yA2 3  = 1 xB2 4  + yB2 3  = 1      ⇒ kAB = xA - yB xA - xB  = - 3 4  xA + xB yA + yB  = - 3 4  ∙ 2x0 y0  = - 3 2  设直线 AB 的方程为 ι : y = -3 2 x + m(m ≠ 0), 代入椭圆, x2 4  + y2 3  = 1 y = - 3 2 x + m      ⇒ 3x2 - 3mx + m - 3 = 0 显然 △ = (3m)2 - 4 × 3(m2 -3) = 3(12 - m) > 0. ∴ - 12  ＜ m ＜ 12  且 m ≠ 0, 由上又有: xa + xb = m， ya + yb = m2 - 3 3  ∴ AB  = 1 + kab  xz - xb  = 1 + kab  (xa + xb)2  = 1 + kab  4 - m2 3   ∴ 点 P(2, 1) 到直线 l 的距离为 d = -3 + 1 - m  1 + kab  - m + 2  1 + kab  ∴ S△ ABP = 1 2 d AB  = 1 2  m + 2  4 - m2 3   = 1 2  (m + 2)2(4 - m2 3 )  ，令 f(m) = (m + 2)2(4 - m2 3 )，求导可得 m = - 3 时， Smax = 1 2 ， 此时 l : y = - 3 2 x + 1 2  例 2、 (2015 苏锡常镇二模 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的顶点都在 椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 上，对角线 AC 与 BD 分别过椭圆的左焦点 F1(-1, 0) 和右焦点 F2(1, 0)，且 AC ⊥ BD，椭圆的一条准线方程为 x = 4 （1）求椭圆方程； （2）求四边形 ABCD 面积的取值范围 解: (1) 由题意: c = 1, a2 c  = 4, 则 a = 2， c = l, 则 b2 = a2 - c2 = 3 故此时相圆方程为 x2 4  + y2 3  = 1 (2) 设四边形 ABCD 面积为 S 若 AC 与 BD 中有一条与 x 轴重合或平行， S = 1 2  × 2 × b2 a  × 2a = 2b2 = 6 若 AC 与 BD 斜率均存在，不妨设 AC 的斜率为 k， 设 AC : y = k(x + 1) 与椭圆相交于 A(x1, y1)C(x2, y2)， 则 y = k(x + 1) 3x2 + 4y2 - 12 = 0 得 3x2 + 4k2(x + 1)2 - 12 = 0， 即 (3 + 4k2)x2 + 8k2x + 4k2 - 12 = 0， x1 + x2 = -8k2 3 + 4k , x1x2 = 4k2 - 12 3 + 4k2 AC = 1 + k2  x2 - x1  = 1 + k2  × (x1 + x2)2 - 4x1x2  = 12(1 + k2) 3 + 4k2 同理可得: BD = 12(1 + k2) 3k2 + 4 , S = 1 2  × AC × BD = 72 × (1 + k2)2 (3k + 4) (3 + 4k2)  令 t = 1 1 + k2 ∈ (0, 1), S = g(t) = 72 × 1 -t2 + t + 12 , g(t) 上 (0, 1 2      为减函数，在 1 2 , 1   上为增函数， g(0) = g(1)， S ∈ g( 1 2 ), g(0)   = 288 49 , 6   综上:四边形 ABCD 面积的取值范围为 288 49 , 6   变式：如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为 A， B，右焦点为 F， 且 AF  ∙ FB  = 1, |OF  | = 1 求椭圆的方程 过椭圆右焦点作直线 l1, l2，直线 l1 与椭圆分别交于 M， N，直线 l2 与椭圆交于 P， Q，且 |MP  |2 + |NQ  |2 = |NP  |2 + |MQ  |2,求四边形 MPNQ 面积的最小值. 【答案】（1） x2 2  + y2 = 1，（2） 16 9  面积的最值问题只是解析几何的冰上一角．解析几何变换多，思 维量大，需要我们在平时的教学中不断积累经验，反思方法; 其次， 在备考过程中，要重视历年高考试题的研究，特别是对一些优秀试题， 要潜心研究，不但要探讨其解法，而且要尝试对其进行改编、整合， 并及时将信息反馈给学生． 作 业 ： 1. （ 2014 全 国 ， 文 20 ） 已 知 点 C 1 : x2 4  + y2 9  = 1 ， 圆 l : x = 2 + t, y = 2 - 2t, ，过点 t 的动直线 C 与圆 l 交于 C 两点，线段 l 的中点为 l， A 为坐标原点. 求 PA  的轨迹方程； 当 MB = MC 时，求 △ ABC 的方程及 △ POM 的面积 【答案】（1） (x - 1)2 + (y - 3)2 = 2; （2） l 的方程为 y = - 1 3 x + 8 3 ; △ POM 的面积为 16 5 . 2．（北京 2014 文， 19）已知椭圆 C： x2 + 2y2 = 4. A B N Q O M P y x l1 l2 （1）求椭圆 C 的离 C 心率； （2）设 O 为原点，若点 A 在直线 y = 2，点 B 在椭圆 C 上，且 OA ⏊ OB，求线段 AB 长度 的最小值. 【答案】（1） 2  2 ，（2） 2 2  3. （湖北卷 2014 文， 17）已知圆 O : x2 + y2 = 1 和点 A(− 2, 0)，若定点 B(b, 0) (b ≠ − 2) 和常数 λ 满足：对圆 O 上那个任意一点 M，都有 |MB| = λ|MA|，则: 【答案】（1） b = (- 1 2 ) （2） λ = ( 1 2 ) . 4、 (2016· 新海中学 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O： x2 + y2 = 25，圆 O1 的圆心为 (m， 0)，且与圆 O 交于点 P(3， 4). 过点 P 且斜率为 k(k ≠ 0) 的直线 l 分别交圆 O，圆 O1 于点 A， B. (1) 若 k = 1，且 BP = 7 2 ，求圆 O1 的方程. (2) 过点 P 作垂直于直线 l 的直线 l1 分别交圆 O，圆 O1 于点 C， D. 当 m 为常数时，试问： AB2 + CD2 是否是定值?若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由. (4m2) 5．（四川 2014 理， 20）已知椭圆 C： T(-3, ± 1) （T(-3, ± 1)）的焦距为 4，其短轴的两 个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 T(-3, ± 1) 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P， Q. （i）证明： OT 平分线段 PQ （其中 O 为坐标原点）； （ii）当 T(-3, ± 1) 最小时，求点 T 的坐标. 【答案】 (1) T(-3, ± 1)；（2） T(-3, ± 1) 6、 (2013 全国 2 卷理， 20) 平面直角坐标系 xO 中，过椭圆 M : x2 a2 + y2 b2 = 1(a ＞ b ＞ 0）的 右焦点 F 作直 x + y - 3  = 0 交 M 于 A, B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 1 2 ． （Ⅰ）求 M 的方程； （Ⅱ） C, D 为 M 上的两点，若四边形 ABCD 的对角线 CD ⏊ AB，求四边形 ABCD 面积的 最大值。 【答案】 x2 6  + y2 3  = 1  ， 8 6  3   7、 (2016· 课标全国乙 ) 设圆 x2 + y2 + 2x - 15 = 0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1, 0) 且与 x 轴 不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1) 证明 EA + EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2) 设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M， N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交 于 P， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围． 【答案】 (1) x2 4  + y2 3  = 1(y ≠ 0)． (2) [12, 8 3  )． 8、已知椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的一个顶点为 A(0, 1)，直线 l : y = - x + 2 恰好与椭 圆相切. （1）求椭圆的方程. （2）过定点 A 作两条互相垂直的直线交椭圆于 B， C 两点，求 △ ABC 面积的最小值 【答案】 (1)x2 3  + y2 = 1，（2） 9 4  9、 (2015· 镇江期末 ) 如图，已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点 F(1， 0)，离心率为 2  2 ，过点 F 作两条互相垂直的弦 AB， CD，设 AB， CD 的中点分别为 M， N. (1) 求椭圆的方程； (2) 求证：直线 MN 必过定点，并求出此定点的坐标； (3) 若弦 AB， CD 的斜率均存在，求 △ FMN 面积的最大值. 【答案】（1） x2 2  + y2 = 1 （2）定点 P(2 3 , 0) （3） 1 9  10. (2017· 泰州中学 ) 已知椭圆 Γ： x2 4  + y2 = 1. (1) 如图，设椭圆 Γ 的短轴端点分别为 A， B，直线 AM， BM 分别与椭圆 Γ 交于 E， F 两 点，其中点 M(m, 1 2 ) 满足 m ≠ 0 且 m ≠ ± 3  . ①求证：直线 EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关； ②若 △ BME 的面积是 △ AMF 面积的 5 倍，求 m 的值. (2) 若圆 O： x2 + y2 = 4， l1， l2 是过点 P(0， -1) 的两条互相垂直的直线，其中 l1 交圆 O 于 T， R 两点， l2 交椭圆 Γ 于另一点 Q，求 △ TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程. 【答案】（1） m = ± 1 （2） y = ± 1  0 2 x - 1