2010年数学试题分类汇编江苏卷

2010年数学试题分类汇编江苏卷

‎2010年数学试题分类汇编江苏卷 一、填空题 ‎1、设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：‎ ‎①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；‎ ‎②若S为封闭集，则一定有；‎ ‎③封闭集一定是无限集；‎ ‎④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.‎ 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）‎ ‎2、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=___________.‎ ‎3、（本小题满分12分）‎ ‎ 设为实数，函数。‎ ‎ (Ⅰ)求的单调区间与极值；‎ ‎(Ⅱ)求证：当且时，。‎ ‎4、（本小题满分16分）‎ 设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。‎ ‎(1)设函数，其中为实数。‎ ‎(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。‎ ‎(2)已知函数具有性质。给定设为实数，‎ ‎，，且，‎ 若||<||，求的取值范围。‎ ‎5、将边长为‎1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是________。‎ ‎6、已知函数,则满足不等式的x的范围是_____。‎ ‎7、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=________________‎ ‎8、已知定义域为的函数满足：①对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论：‎ ‎①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得 ‎”。‎ 其中所有正确结论的序号是 。‎ ‎9、‎ 二、解答题 ‎10、（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。‎ ‎(1)求证：PC⊥BC；‎ ‎(2)求点A到平面PBC的距离。‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。‎ ‎11、（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。‎ ‎(3)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ ‎(4)设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎12、（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。‎ ‎(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；‎ ‎(2)设实数t满足()·=0，求t的值。‎ ‎[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。‎ 三、填空题 ‎13、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是___________‎ ‎14、‎ ‎15、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是_____________‎ ‎16、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值________。‎ ‎17、执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 ．‎ 开始 否 输出s 结束 是 ‎18、图2是求 的值的程序框图，则正整数 ．‎ ‎19、某射手射击所得环数的分布列如下：‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知的期望E=8.9，则y的值为 .‎ ‎20、某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。‎ ‎21、3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __.‎ ‎22、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。‎ ‎①； ②； ③事件与事件相互独立；‎ ‎④是两两互斥的事件； ⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关 ‎23、本小题满分10分）‎ 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。‎ ‎（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；‎ ‎（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。‎ ‎[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ ‎24、已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。‎ ‎25、观察下列等式：‎ ‎ ① cos‎2a=2-1;‎ ‎② cos‎4a=8- 8+ 1;‎ ‎③ cos‎6a=32- 48+ 18- 1;‎ ‎④ cos‎8a=128- 256+ 160- 32+ 1;‎ ‎⑤ cos‎10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1．‎ 可以推测，m – n + p = ．‎ ‎26、已知为第三象限的角，,则 .‎ ‎27、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。‎ ‎28、已知为第二象限的角，,则 .‎ 四、解答题 ‎29、（本小题满分12分）‎ ‎ 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且 ‎。‎ ‎ (Ⅰ)求角的值；‎ ‎(Ⅱ)若，求（其中）。‎ ‎30、（本小题满分14分）‎ 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=‎4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。‎ ‎(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；‎ ‎(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为‎125m，试问d为多少时，-最大？‎ 五、填空题 ‎31、在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．‎ ‎32、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________‎ ‎33、设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则= 。‎ ‎34、若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ，‎ ‎ ．‎ 六、解答题 ‎35、（本小题满分16分）‎ 设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。‎ ‎（1）求数列的通项公式（用表示）；‎ ‎（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。‎ 七、填空题 ‎36、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________‎ ‎37、已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。‎ ‎38、若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于　　　　　　　　。‎ ‎39、已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .‎ 八、解答题 ‎40、（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B‎1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。‎ ‎[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。‎ ‎41、（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。‎ ‎[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。‎ ‎42、（本小题满分10分）‎ 设a、b是非负实数，求证：。‎ ‎[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。‎ ‎43、.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ A． ‎ ‎（本小题满分10分）‎ AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。‎ 以下是答案 一、填空题 ‎1、①②‎ 解析：直接验证可知①正确.‎ 当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确 对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误 取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1ÏT，故T不是封闭集，④错误 ‎2、1‎ ‎[解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.‎ ‎3、‎ ‎4、[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。‎ ‎（1）(i)‎ ‎∵时，恒成立，‎ ‎∴函数具有性质；‎ ‎(ii)（方法一）设，与的符号相同。‎ 当时，，，故此时在区间上递增；‎ 当时，对于，有，所以此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，而，‎ 对于，总有，，故此时在区间上递增；‎ ‎（方法二）当时，对于，‎ ‎ 所以，故此时在区间上递增；‎ 当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：‎ ‎，而 ‎ 当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。‎ 综上所述，当时，在区间上递增；‎ ‎ 当时，在上递减；在上递增。‎ ‎(2)（方法一）由题意，得：‎ 又对任意的都有>0，‎ 所以对任意的都有，在上递增。‎ 又。‎ 当时，，且，‎ ‎ ‎ 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。‎ ‎（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。‎ ‎①当时，有，‎ ‎，得，同理可得，所以由的单调性知、，‎ 从而有||<||，符合题设。‎ ‎②当时，，‎ ‎，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。‎ ‎③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。‎ 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。‎ ‎5、[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。‎ 设剪成的小正三角形的边长为，则：‎ ‎（方法一）利用导数求函数最小值。‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，递减；当时，递增；‎ 故当时，S的最小值是。‎ ‎（方法二）利用函数的方法求最小值。‎ 令，则：‎ 故当时，S的最小值是。‎ ‎6、[解析] 考查分段函数的单调性。‎ ‎7、a=－1‎ ‎[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。‎ ‎8、①②④‎ ‎【解析】对①，因为，所以，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。‎ ‎【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。‎ ‎9、‎ 二、解答题 ‎10、（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900，得CD⊥BC，‎ 又PDDC=D，PD、DC平面PCD，‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD，故PC⊥BC。‎ ‎（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：‎ 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，‎ 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2，BC=1，得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1，所以。‎ 由PC⊥BC，BC=1，得的面积。‎ 由，，得，‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎11、（1）（方法一）由题设知，则 所以 故所求的两条对角线的长分别为、。‎ ‎（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:‎ E为B、C的中点，E（0，1）‎ 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）‎ ‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；‎ ‎（2）由题设知：=(－2,－1)，。‎ 由()·=0，得：，‎ 从而所以。‎ 或者：，‎ ‎12、(1）（方法一）由题设知，则 所以 故所求的两条对角线的长分别为、。‎ ‎（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:‎ E为B、C的中点，E（0，1）‎ 又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）‎ ‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；‎ ‎（2）由题设知：=(－2,－1)，。‎ 由()·=0，得：，‎ 从而所以。‎ 或者：，‎ 三、填空题 ‎13、[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，‎ 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。‎ ‎14、【解析】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：‎ ‎，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为。‎ ‎【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。‎ ‎15、[解析]考查流程图理解。输出。‎ ‎16、14.12‎ ‎【解析】‎ 程序运行如下:‎ ‎,‎ 输出12。‎ ‎【规律总结】这类问题，通常由开始一步一步运行，根据判断条件，要么几步后就会输出结果，要么就会出现规律，如周期性，等差或等比数列型.‎ ‎17、‎ ‎【解析】当x=10时，y=，此时|y-x|=6；‎ 当x=4时，y=，此时|y-x|=3；当x=1时，y=，此时|y-x|=；‎ 当x=时，y=，此时|y-x|=，故输出y的值为。‎ ‎【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图能力。‎ ‎18、‎ ‎19、【答案】0.4‎ ‎【解析】由表格可知：‎ 联合解得.‎ ‎20、0．128‎ ‎【解析】由题意知，所求概率为。‎ ‎【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。‎ ‎21、‎ ‎ [解析]考查古典概型知识。‎ ‎22、②④‎ ‎【解析】易见是两两互斥的事件，而 ‎。‎ ‎【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化，可知事件B的概率是确定的.‎ ‎23、解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且 ‎ P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，‎ ‎ P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。‎ ‎ 由此得X的分布列为：‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎（2）设生产的4件甲产品中一等品有件，则二等品有件。‎ ‎ 由题设知，解得，‎ ‎ 又，得，或。‎ 所求概率为 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。‎ ‎24、‎ ‎【解析】由题意知，，因为，所以，由三角函数图象知：‎ 的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。‎ ‎25、962‎ ‎【解析】因为所以；观察可得，‎ ‎，所以m – n + p =962。‎ ‎【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。‎ ‎26、‎ ‎27、[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，‎ 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为 ‎28、‎ ‎【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.‎ ‎【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所 四、解答题 ‎29、‎ ‎30、[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。‎ ‎（1），同理：，。‎ ‎ AD—AB=DB，故得，解得：。‎ 因此，算出的电视塔的高度H是‎124m。‎ ‎（2）由题设知，得，‎ ‎，（当且仅当时，取等号）‎ 故当时，最大。‎ 因为，则，所以当时，-最大。‎ 故所求的是m。‎ 五、填空题 ‎31、‎ ‎【解析】由题意知，解得，所以通项。‎ ‎【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。‎ ‎32、[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 ‎ 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，‎ 所以。‎ ‎33、4‎ ‎【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。‎ 因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。‎ ‎【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.‎ ‎34、‎ 六、解答题 ‎35、[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。‎ ‎（1）由题意知：， ‎ ‎，‎ 化简，得：‎ ‎，‎ 当时，，适合情形。‎ 故所求 ‎（2）（方法一）‎ ‎， 恒成立。‎ ‎ 又，，‎ 故，即的最大值为。‎ ‎（方法二）由及，得，。‎ 于是，对满足题设的，，有 ‎。‎ 所以的最大值。‎ 另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。‎ 于是，只要，即当时，。‎ 所以满足条件的，从而。‎ 因此的最大值为。‎ 七、填空题 ‎36、=2，MF=4。‎ ‎ [解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。‎ ‎37、‎ ‎【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时，当P在椭圆顶点处时，取到为 ‎，故范围为.因为在椭圆的内部，则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.‎ ‎38、1‎ ‎【解析】由题意知，解得b=1。‎ ‎【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。‎ ‎39、‎ ‎【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.‎ ‎【解析1】如图，,‎ 作轴于点D1,则由，得 ‎,所以,‎ 即,由椭圆的第二定义得 又由,得 ‎【解析2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，，代入 ‎，‎ 八、解答题 ‎40、解：由题设得 由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。‎ 计算得△ABC面积的面积是1，△A1B‎1C1的面积是，则由题设知：。‎ 所以k的值为2或-2。‎ ‎41、解：，圆ρ=2cosθ的普通方程为：，‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：，‎ 又圆与直线相切，所以解得：，或。‎ ‎42、（方法一）证明：‎ 因为实数a、b≥0，‎ 所以上式≥0。即有。‎ ‎（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得 当时，，从而，得；‎ 当时，，从而，得；‎ 所以。‎ ‎43、[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。‎ ‎（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC， ‎ 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ‎ ‎∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，‎ 所以∠DCO=300，∠DOC=600，‎ 所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。‎ ‎（方法二）证明：连结OD、BD。‎ 因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。‎ 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。‎ 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，‎ 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。‎ 即2OB=OB+BC，得OB=BC。‎ 故AB=2BC。‎