【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第47讲两直线的位置关系、距离公式学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第47讲两直线的位置关系、距离公式学案

第47讲　两直线的位置关系、距离公式 考试说明 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.‎ ‎2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. ‎ ‎3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.‎ 考情分析 ‎ ‎ 考点 考查方向 考例 考查热度 两直线平 行与垂直 平行与垂直性质的运用 ‎2016全国卷Ⅲ16,2016全国卷Ⅲ20(1)‎ ‎★★☆‎ 距离问题 运用点到直线的距离公式解决问题 ‎2016全国卷Ⅱ 4,2014全国卷Ⅰ20,2014全国卷Ⅰ4‎ ‎★★★‎ 真题再现 ‎■ [2017-2013 课标全国真题再现 ‎[2016·全国卷Ⅰ 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎[解析 B　不妨设直线l经过椭圆的焦点F(c,0)和顶点(0,b),则直线l的方程为+=1,椭圆中心到直线l的距离为=×2b.又a2=b2+c2,所以离心率e==.‎ ‎■ [2017-2016 其他省份类似高考真题 ‎[2016·上海卷 已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2的距离是　　　　. ‎ ‎[答案 ‎ ‎[解析 由两平行线间的距离公式得d==.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1. 1= 2且b1≠b2　 1· 2=-1　 1≠ 2‎ ‎2.交点坐标　(1)相交　交点的坐标　(2)无公共点　平行 ‎3.　　‎ 对点演练 ‎1.2　[解析 由题意,知=2,解得a=2.‎ ‎2.2x+y-7=0　[解析 直线x-2y-3=0的斜率为,故所求直线斜率为-2,由点斜式方程,得y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.‎ ‎3.3x+19y=0　[解析 过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,代入原点坐标,求得λ=-,故所求直线方程为x-3y+4- (2x+y+5)=0,即3x+19y=0.‎ ‎4.　[解析 ∵圆(x+1)2+y2=2的圆心为(-1,0),∴圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=2x+3的距离d==.‎ ‎5.±1　[解析 由题意,得(a+2)(a-1)+(1-a)(‎2a+3)=0,则a2=1,∴a=±1.‎ ‎6.　[解析 因为直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0平行,所以m=6,所以6x-8y+5=0,即3x-4y+=0,则两条平行直线之间的距离d==.‎ ‎7.1　[解析 ∵直线l1的斜率 1=-1,l1∥l2,∴a2=1,且a≠-1,所以a=1.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨 (1)先根据两条直线垂直的充要条件确定出m的值,然后判断其与条件p之间的关系;(2)首先分析出三条直线不能构成三角形的条件,然后分情况解答即可.‎ ‎(1)A　(2)D　[解析 (1)若直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直,则1-m2=0,所以m=±1,故p是q的充分不必要条件.‎ ‎(2)因为三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,所以直线mx-y-1=0与直线2x-3y+1=0或直线4x+3y+5=0平行,或直线mx-y-1=0过直线2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点,所以m=或m=-或m=-,所以实数m的取值集合为-,-,,故选D.‎ 变式题　(1)A　(2)A　[解析 (1)由直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行,得a(a-1)=2,且‎4a+4≠0,∴a=2,∴a=2是直线ax+y-2=0与直线2x+(a-1)y+4=0平行的充要条件.‎ ‎(2)直线x+2y-3=0的斜率为-,因为倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,所以tan α=2,则cos-2α=cos1008π+-2α=cos-2α=sin 2α===,故选A.‎ 例2　[思路点拨 (1)首先利用两条直线的平行条件求出b的值,然后利用两条平行线间的距离公式求c的值,进而可得b+c的值;(2)首先根据方程组确定经过两点(a,a2),(b,b2)的直线方程,然后求坐标原点到此直线的距离即可.‎ ‎(1)D　(2)1　[解析 (1)l2:3x+y+=0,故=4,得b=8,所以=3,得c=40或c=-20,故b+c=-12或48.‎ ‎(2)根据可得点(a,a2),(b,b2)都在直线xcos θ+ysin θ-1=0上,因此,原点到经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的距离d==1.‎ 变式题　(1)B　(2)A　[解析 (1)设任一整点坐标为(m,n),则它到直线25x-15y+12=0的距离d==.由于m,n∈ ,故5(‎5m-3n)是5的倍数,只有当‎5m-3n=-2时,5(‎5m-3n)=-10与12的和的绝对值最小,其值为2,从而所求的最小值为.‎ ‎(2)依题意知,线段AB的中点M在到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离都相等的直线(设为l)上,则M到原点的距离的最小值为原点到直线l的距离.设点M所在直线l 的方程为x+y+m=0.根据平行线间的距离公式得=,即|m+7|=|m+5|,得m=-6,即l:x+y-6=0.根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为=3.‎ 例3　[思路点拨 (1)利用中点坐标公式求解;(2)首先在所求直线上任取一点(x,y),然后求出该点关于点M(-1,2)的对称点,并代入已知直线即可求得对称直线的方程(或利用关于点对称的两条直线的平行关系,结合点到直线的距离求解).‎ ‎(1)D　(2)B　[解析 (1)因为点M,P关于点N对称,所以n==5,-3=,得m=3,故选D.‎ ‎(2)方法一:设所求直线上的一点的坐标为(x,y),则其关于点M(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),∵点(-2-x,4-y)在直线2x-y+3=0上,∴2(-2-x)-(4-y)+3=0,即2x-y+5=0,故选B.‎ 方法二:根据对称性知,所求直线与已知直线平行,因此可设所求直线的方程为2x-y+λ=0(λ≠3),则点M到两条直线的距离相等,即=,解得λ=5,所以所求直线方程为2x-y+5=0,故选B.‎ 例4　[思路点拨 根据点关于直线的对称性利用已知直线与两个对称点所在直线互相垂直的斜率关系,以及两个对称点的中点在已知直线上,建立方程组进行求解.‎ ‎(1)(5,2)　(2)C　[解析 (1)设点B(x,y),则满足∴故点B的坐标为(5,2).‎ ‎(2)依题意可知,直线MN与直线y=x垂直且线段MN的中点在直线y=x上,所以解得故选C.‎ 例5　[思路点拨 (1)直线l1上任意一点关于直线l的对称点都在直线l2上,且两对称点连线的中点在直线l上,利用中点坐标公式和垂直关系求解;(2)因为l1与l2平行,所以,它们的对称轴上的点到这两条直线的距离相等,设对称轴上的动点为P(x,y),利用这个相等关系即可得出对称轴方程.‎ ‎(1)x+2y-6=0　(2)3x-y+4=0　[解析 (1)方法一:解方程组得直线l1与直线l的交点A,.在直线l1上取一点B(2,0),设点B关于直线l的对称点为C(x,y),则解得即C(-2,4).‎ 又直线l2过A,和C(-2,4)两点,‎ 故由两点式得直线l2的方程为=,即x+2y-6=0.‎ 方法二:设M(x0,y0)是直线l1上任意一点,它关于直线l的对称点为N(x,y),‎ 则线段MN的中点坐标为,,直线MN的斜率为.‎ 由题意,得解得 ‎ 因为M(x0,y0)在直线l1上,所以2x0+y0-4=0,即2(y-2)+(x+2)-4=0,‎ 所以直线l2的方程为x+2y-6=0.‎ ‎(2)依题意l1∥l2,所以对称轴l上的点P(x,y)到两直线的距离相等,即=,化简得3x-y+4=0,即为所求直线l的方程.‎ 例6　[思路点拨 (1)先求出原点O关于直线l的对称点M,由点M在反射光线所在的直线上,利用点斜式可得反射光线所在直线的方程;(2)首先根据点(3,-2)与点(-1,2)求得折痕所在直线方程,然后利用点关于直线的对称方法可求得点(m,n),从而求得结果.‎ ‎(1)y=3　(2)24　[解析 (1)设原点O关于直线l的对称点为M(x,y),由解得所以反射光线所在直线的方程为y-3=(x-4),即y=3,所以所求直线方程为y=3.‎ ‎(2)设折痕所在的直线为直线l,则点(3,-2)与点(-1,2)关于直线l对称,所以直线l的方程为x-y-1=0.同理点(7,3)与点(m,n)也关于直线l对称,可得--1=0,×1=-1,得m=4,n=6,因此mn=24.‎ 强化演练 ‎1.A　[解析 因为点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),所以所求直线方程为x-3y-2=0,故选A.‎ ‎2.C　[解析 由题意可知,A,B所在直线与直线4x+3y=11垂直,且线段AB的中点在直线4x+3y=11上,则有解得故选C.‎ ‎3.C　[解析 直线l1:y-2=( -1)x恒过定点(0,2),设点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(a,b),所以解得所以直线l2恒过定点(1,1).故选C.‎ ‎4.y=3x-17　[解析 因为所求直线上任意一点(x,y)关于点M(3,2)的对称点为点(6-x,4-y),所以4-y=3(6-x)+3,即y=3x-17.故所求直线的方程为y=3x-17.‎ ‎5.　[解析 根据中点坐标公式,得解得所以P的坐标为(4,1),则点P(4,1)到原点的距离d==. ‎ ‎6.6x-y-6=0　[解析 设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以得又反射光线经过点N(2,6),所以反射光线所在直线M'N的方程为y=(x-1),即6x-y-6=0.‎ ‎【备选理由】例1是两条直线的位置关系与基本不等式的综合问题;例2是距离与导数的综合问题;例3是直线中的对称与三角函数的综合问题.‎ ‎1　[配合例1使用 已知b>1,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-(b-1)y-1=0互相垂直,则a的最小值等于 (　　)‎ A.2-1 B.2+1‎ C.2+2 D.2-2‎ ‎[解析 C　因为直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-(b-1)y-1=0互相垂直,所以(b2+1)-a(b-1)=0,又因为b>1,所以a=+=b-1++2≥2+2,当且仅当b=+1时,等号成立.故选C.‎ ‎2　[配合例2使用 已知曲线y=在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2,则直线l的方程为 (　　)‎ A.2x+y+2=0‎ B.2x+y+2=0或2x+y-18=0‎ C.2x-y-18=0‎ D.2x-y+2=0或2x-y-18=0‎ ‎[解析 B　y'==-,当x=2时,-=-2,因此 l=-2.设直线l的方程为y=-2x+b,即2x+y-b=0,由题意,得=2,解得b=18或b=-2,所以直线l的方程为2x+y-18=0或2x+y+2=0.故选B.‎ ‎3　[配合例5使用 已知角θ和α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,角θ的终边在直线l:y=2x上,角α的终边在直线l关于直线y=x的对称直线m上,则sin2α=　　　　. ‎ ‎[答案 ‎ ‎[解析 因为直线y=2x关于直线y=x的对称直线m的方程为y=x,所以tan α=,即=,故cos α=2sin α,代入sin2α+cos2α=1,可得sin2α+4sin2α=1,解得sin2α=.‎