【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第6讲 双曲线学案
第6讲 双曲线
[学生用书P159]
1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实、
虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b(a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长)
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
判断正误(正确的打“√”，错误的是“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．m>－1 B.m<－2
C．－2
－1或m<－2
解析：选D.因为方程－＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)>0，即m>－1或m<－2.
(教材习题改编)双曲线－＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为( )
A．20 B.16
C．12 D．8
解析：选A.设P到另一个焦点的距离为d，
则|d－4|＝2×8＝16，所以d＝20，故选A.
(教材习题改编)双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选B.2a＝
＝4.所以a＝2，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为－＝1.故选B.
(教材习题改编)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B.5
C. D．2
解析：选A.由题意知＝2a，又c2＝a2＋b2，
所以|bc|＝2ac.即b＝2a.
所以c2＝a2＋b2＝5a2，所以＝5，
即e2＝5，所以e＝.
(教材习题改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
解析：设双曲线的方程为：－＝±1(a>0)，把点A(3，－1)代入，得a2＝8，故所求方程为－＝1.
答案：－＝1
双曲线的定义(高频考点)
[学生用书P160]
双曲线的定义是每年高考的重点，题型多为选择题，难度适中．主要命题角度有：
(1)利用定义求轨迹方程；
(2)利用定义解决“焦点三角形”问题．
[典例引领]
角度一 利用定义求轨迹方程
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．
【解析】 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，所以
|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
【答案】 x2－＝1(x≤－1)
角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题
已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________．
【解析】 由双曲线的定义有
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
所以|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
【答案】
1.本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2
＝＝，
所以|PF1|·|PF2|＝8，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝2.
2.本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
解：不妨设点P在双曲线的右支上，则
|PF1|－|PF2|＝2a＝2，由于·＝0中，所以⊥，所以在△F1PF2，有
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2.
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
[通关练习]
已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：如图，设双曲线的右焦点为E，则E(4，0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.
答案：9
双曲线的标准方程[学生用书P161]
[典例引领]
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3)经过两点P(－3，2)和Q(－6，－7)．
【解】 (1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝，
所以b＝6，c＝10，a＝8.
所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
所以，解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值．与已知双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
[通关练习]
设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是______________．
解析：法一：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
根据双曲线的定义知2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝9①，又点(，4)在双曲线上，所以－＝1②，联立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
双曲线的几何性质(高频考点)
[学生用书P161]
双曲线的几何性质是每年高考的热点，题型为选择题、填空题，难度中等．主要命题角度有：
(1)双曲线的离心率问题；
(2)双曲线的渐近线问题；
(3)由离心率或渐近线确定标准方程；
(4)与双曲线有关的范围问题．
[典例引领]
角度一 双曲线的离心率问题
(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B.(，2)
C．(1，) D．(1，2)
(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
【解析】 (1)依题意得，双曲线的离心率e＝，因为a>1，所以e∈(1，)，选C.
(2)双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝＝，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.
【答案】 (1)C (2)
角度二 双曲线的渐近线问题
(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B.y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a
＝____________．
【解析】 (1)由e＝，得＝，
所以c＝a，b＝＝a.
而－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
所以所求渐近线方程为y＝±x.
(2)由题意可得＝，所以a＝5.
【答案】 (1)C (2)5
角度三 由离心率或渐近线确定标准方程
(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．－＝1
【解析】 根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝ ①，又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a2＋b2＝9 ②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.
【答案】 B
角度四 与双曲线有关的范围问题
已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D．
【解析】 由题意知a＝，b＝1，c＝，所以
F1(－，0)，F2(，0)，
所以 ＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
因为 ·＜0，所以 (－－x0)(－x0)＋y＜0，
即x－3＋y＜0.
因为 点M(x0，y0)在双曲线上，所以－y＝1，即x＝2＋2y，
所以2＋2y－3＋y＜0，所以－＜y0＜.故选A.
【答案】 A
(1)双曲线离心率的求法
求双曲线的离心率有两种思路：一是根据双曲线的定义及性质分别求出a与c；二是根据已知构造关于a，c的方程或不等式，进而转化为关于e的方程或不等式求解，注意正确利用a，b，c的关系式．
(2)双曲线的离心率与渐近线斜率的关系
①已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意e＝及判断焦点的位置．
②已知渐近线方程y＝mx(m>0)求离心率时，若焦点不确定时，m＝或m＝，因此离心率有两种可能．
[注意] 如果已知双曲线方程－＝1或－＝1，求其渐近线方程，只要将方程等号右端“1”改写成“0”，即得渐近线方程．
(3)与双曲线有关的范围问题的解题思路
①若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．
②若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．
[通关练习]
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，) B.(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得＞2，所以e＝＝＞＝.
2．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，
且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B.2
C. D．
解析：
选D.不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
所以M点的坐标为(2a，a)．
因为M点在双曲线上，所以－＝1，a＝b，
所以c＝a，e＝＝.故选D.
3．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为____________．
解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(4，)，所以λ＝16－4×()2＝4，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
直线与双曲线的位置关系[学生用书P162]
[典例引领]
已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
【解】 (1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
所以k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又因为·>2，得x1x2＋y1y2>2，
所以>2，即>0，
解得0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，
因为一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.
所以由焦点到渐近线的距离为，
得＝，又因为c2＝a2＋b2，
所以b2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0>0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
所以解得
所以t＝4，点D的坐标为(4，3)．
应用双曲线定义需注意的问题
(1)在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是射线或不存在．
(2)求双曲线方程时，一是注意标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．
双曲线方程的常见设法
(1)与双曲线－＝1共渐近线的双曲线可设为－＝λ(λ≠0)；
(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)；
(3)若双曲线过两个已知点，则设为＋＝1(mn<0)；
(4)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为＋＝1(b2<λ25，
所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
2．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝( )
A．2 B.4
C．6 D．8
解析：选B.由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.
3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( )
A. B.
C. D．
解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以
eq o(AP,sup6(→))·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
4．(2017·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：选D.由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan 60°＝，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.
5．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D．
解析：选B.因为∠F1AF2＝90°，
故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，
故10a2＝4c2，故＝，
故e＝＝.
6．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为____________．
解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
7．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．
解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，
所以＝.又b2＝c2－a2，所以＝，
即e2－1＝，所以e2＝，所以e＝.
答案：
8．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.
答案：2
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且点(4，－)，点M(3，m)都在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
因为双曲线过点(4，－)，
所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：设F1(－2，0)，F2(2，0)，
则＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)．
所以·
＝(3＋2)×(3－2)＋m2
＝－3＋m2，
因为M点在双曲线上，
所以9－m2＝6，即m2－3＝0，
所以·＝0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝|m|＝，
所以S△F1MF2＝×4×＝6.
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB的长．
解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，
所以解得c＝3，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，
所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．
联立
得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
所以|AB|＝ × ＝.
1．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A. B.1
C．2 D．4
解析：选C.由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)B(x2，－x2)，所以AB中点坐标为，所以－＝2，即x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2，故选C.
2．已知点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )
A．2 B.4
C. D．
解析：选C.由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，
|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2，
|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，
因为|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，
所以a＝k，所以|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，
又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，
即13a2＝c2，所以e＝＝.
3．过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B.13
C．16 D．19
解析：选B.由题可知，|PM|2－|PN|2＝
(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，
因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝
(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝
2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.
4．(2018·东北四市模拟)F为双曲线－＝1(a>b>0)的左焦点，过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝，则双曲线的离心率为________．
解析：设双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，l1：y＝x，l2：y＝－x，由于kFA＝1，则FA的方程为y＝x＋c，
由，可得A(－，)，
由，可得B(，)，
因为＝，所以点A为FB的中点，故＝，则b＝3a，即b2＝9a2，
所以c2－a2＝9a2，即 e2＝10，所以e＝.
答案：
5．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1，
则解得a＝7，m＝3.
所以b＝6，n＝2.
所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2，
所以cos∠F1PF2＝
＝＝.
6．一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线－＝1(a>0，b>0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于R点，且·＝－3，＝3，求直线和双曲线的方程．
解：因为e＝，所以b2＝2a2，
所以双曲线方程可化为2x2－y2＝2a2.
设直线l的方程为y＝x＋m.
由
得x2－2mx－m2－2a2＝0，
所以Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，
所以直线l一定与双曲线相交．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2，
因为＝3，xR＝＝0，
所以x1＝－3x2，
所以x2＝－m，－3x＝－m2－2a2.
消去x2，得m2＝a2.
·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)
＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
＝m2－4a2＝－3，
所以m＝±1，a2＝1，b2＝2.
直线l的方程为y＝x±1，双曲线的方程为x2－＝1.
