【数学】安徽省淮南市2020届高三第一次模拟考试试题（理）（解析版）

【数学】安徽省淮南市2020届高三第一次模拟考试试题（理）（解析版）

安徽省淮南市2020届高三第一次模拟考试数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（满分60分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的）‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎2.已知，为虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ）‎ A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】为纯虚数.‎ 则 ‎ 所以 ‎ 故选：A ‎3.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】都是实数，由“”有成立，反之不成立，例如.‎ 所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：B.‎ ‎4.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知的顶点，，且，则的欧拉线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，，则的中点为，,‎ 所以的垂直平分线的方程为：，即.‎ 故选：D.‎ ‎5.淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（ ）‎ A. 960 B. 1080 C. 1560 D. 3024‎ ‎【答案】B ‎【解析】一盆菊花都没有的摆法种数为，只有一盆菊花的摆法种数为，‎ 则至多有一盆菊花的摆法种数为，‎ 故选：B.‎ ‎6.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，‎ 所以为偶函数, 则当时，.‎ 此时，‎ 当时， 当时，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 在上，当时函数有最小值..‎ 由为偶函数，根据选项的图像C符合.‎ 故选：C.‎ ‎7.在中，， ，点满足，点为的外心，则的值为（ ）‎ A. 17 B. 10 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】取的中点，连接，‎ 因为为的外心，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 同理可得，‎ 故选：D.‎ ‎8.已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是（ ）‎ A. B. C. 7 D. 70‎ ‎【答案】C ‎【解析】令得，，，‎ 的展开式通项公式为，‎ 要求展开式中项的系数的最大值则必为偶数，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎9.已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线的焦点在轴上，则； 设，由双曲线的定义可知：， 由题意可得：， 据此可得：，又 ，∴， 由正弦定理有:,即 所以，解得：，‎ 所以的周长为：‎ ‎=‎ 故选：A.‎ ‎10.已知是函数（，）的一个零点，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则函数的单调递增区间是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知，得，，‎ 又，，‎ ‎，即，，‎ ‎，①；‎ 又，‎ 所得图象关于轴对称，，‎ ‎，，将①代入消去得，，‎ ‎，‎ 时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，，‎ ‎，，‎ 故选：D.‎ ‎11.已知是函数的极值点，数列满足，，，记表示不超过的最大整数，则（ ）‎ A. 1008 B. 1009 C. 2018 D. 2019‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 是函数的极值点， 可得：，‎ 即， 累加可得， ‎ ‎， 则. 故选：A.‎ ‎12.己知与 图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】方程即为，‎ 则方程有三个不相等的实根， 令得①，且， ∴函数在上单增，在上单减，‎ 故，且时，，时， ∴方程①的两个根的情况是： （i）若，则与的图象有四个不同的公共点，不合题意； （ii）若且或，则与的图象有三个不同的公共点，‎ 令，则，，此时另一根为，舍去；‎ 令，则，，此时另一根为，舍去； （iii）若且，则与的图象有三个不同的公共点，‎ 令，则，解得. 故选：C.‎ 第Ⅱ卷（满分90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知，，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，‎ 所以 ‎ ‎ 故答案为：.‎ ‎14.若实数，满足，且的最小值为1，则实数的值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】不等式组表示的可行域如图所示：必有 ‎ ， ， ‎ ‎； 由图可得，当目标函数过点时，有最小值； ， 解得， 故答案为：.‎ ‎15.已知函数，满足（，均为正实数），则的最小值为_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相加得：，，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎16.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意不妨设直线的方程为， 联立方程可得，‎ ‎， 设， ∵， ， ， 则， ，即， ，‎ 故答案为：.‎ 三、解答题（共70分，答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每位考生都必须作答，第22题和23题为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）已知点P在边BC上，，，，求的面积．‎ 解：（Ⅰ）∵，由正弦定理可得，‎ 又A是内角，∴，∴‎ ‎∵，∴．‎ ‎（Ⅱ）根据题意，为等边三角形，又．‎ 在中，由于余弦定理得，，‎ 解得，，∴，．‎ ‎∴的面积．‎ ‎18.已知等差数列的首项为1，公差为1，等差数列满足．‎ ‎（1）求数列和数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ 解：（1）由条件可知，，.‎ ‎，， ，.‎ 由题意为等差数列，，解得，‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎①‎ 则②‎ ‎①-②可得，‎ ‎.‎ ‎19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：‎ 研发费用（百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ 销量（万盒）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3.5‎ ‎3.5‎ ‎45‎ ‎6‎ ‎（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；‎ ‎（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．‎ 附：（1）相关系数 ‎（2），，，．‎ 解：（1）由题意可知，‎ ‎，‎ 由公式，‎ ‎，∴与的关系可用线性回归模型拟合；‎ ‎（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为 ‎，，，‎ 由题意， ，‎ ‎.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程 ‎（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由题意可得，所以，，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）直线的解析式为，设，，的中点为 ‎．假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则．由得，‎ 故，所以，‎ 因为，所以，即，所以 当时，，所以；‎ 当时，，所以 综上：m取值范围是或.‎ ‎21.已知函数，在区间有极值．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎（1）解：由 得，‎ 当即时，，所以在[1,2]上单调递增，无极值；‎ 当即时，，所以在[1,2]上单调递减，无极值；‎ 当即，由得；由得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，‎ ‎；‎ ‎（2）证明：要证成立，只需证成立，‎ 即证，‎ 先证：.设，则，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 因为，所以，则，即①，‎ 再证：.设，则.‎ 所以在上单调递增，则，即.因为，‎ 所以②，‎ 由①②可，所以.‎ 四、选考题（10分）：请考生在第（22）、（23）题中任意选择—题作答并在答题卡相应位置涂黑．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求，的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．‎ 解：（1）因为，所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为 ‎（2）将代入 得得， 所以 因为的半径为1，则的面积为 ‎23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝－3时，f（x）＝‎ 当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；‎ 当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.‎ 所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 ‎(2)f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.‎ 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，‎ 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，‎ 故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．‎ ‎ ‎