江苏省江都中学、华罗庚中学等13校2019届高三上学期12月联合调研测试 数学

江苏省江都中学、华罗庚中学等13校2019届高三上学期12月联合调研测试 数学

‎ 2019届高三12月联合调研测试 2018.12‎ 数学 试题 注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；‎ ‎3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B铅笔．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．全集，集合，，则 ▲ ．‎ ‎2．复数(为虚数单位)的模为 ▲ ．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． ‎ ‎4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ▲ ．‎ ‎5．如图程序运行的结果是 ▲ ． ‎ ‎6．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ▲ ．‎ ‎7．设等比数列的前项积为，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎8．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ▲ ‎ ‎·19·‎ ‎．（填写正确命题对应的序号）．‎ ‎①若，则 ②若，则 ‎③若，则 ④若，则 ‎9．已知，，则 ▲ ．‎ ‎10．在等腰三角形中,底边, , , 若, 则 ▲ ．‎ ‎11．已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于两点，且满足，则的取值范围为 ▲ ．‎ ‎12．如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且．设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积．若,且恒成立,则正实数的最小值为 ▲ ．‎ ‎13．已知的三边长成等差数列，且则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数．若，使成立，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎·19·‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）若，设点为线段上的动点，求的最小值;‎ ‎（Ⅱ）若，向量，，求的最小值及对应的值.‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在正三棱柱中，点在棱上，，点，分别是，的中点．‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距的A，B两个位置分别有300，100名学生，在道路OB上设置集合地点D，要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为S（km）． ‎ ‎·19·‎ ‎（1）设，写出S关于的函数表达式；‎ ‎（2）当S最小时，集合地点D离点A多远？ ‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，F1、F2分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若，且.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）过F1、F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、‎ M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．‎ ‎19.（本小题满分16分）已知函数，，设.‎ ‎（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时函数有两个不同的零点.‎ ‎①求的取值范围；②求证：.‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．‎ ‎ （1）若数列通项为，求证：；‎ ‎ （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；‎ ‎（3）若数列的各项均为正数，且，数列 ‎·19·‎ 中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．‎ 数学II（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，试求直线与曲线的交点的极坐标.‎ C．选修4—5：不等式选讲 若正数a，b，c满足a + 2b + 4c =3，求的最小值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．(本小题满分10分) ‎ 在某次活动中，有名幸运之星．这名幸运之星可获得、两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点），抛掷点数小于的获得奖品，抛掷点数不小于的获得奖品．‎ ‎（1）求这名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；‎ ‎·19·‎ ‎（2）设、分别为获得、两种奖品的人数，并记，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 在数学上，常用符号来表示算式，如记=，其中，.‎ ‎（1）若，，，…，成等差数列，且，求证：；‎ ‎（2）若，，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 答案 注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；‎ ‎3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B铅笔．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．全集，集合，，则 ▲ ．‎ ‎2．复数(为虚数单位)的模为 ▲ ．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 2‎ ‎4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 ▲ ．‎ ‎·19·‎ ‎5．如图程序运行的结果是 ▲ ． 14‎ ‎6．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为 ▲ ．64‎ ‎7．设等比数列的前项积为，若，则的值是 ▲ ．2‎ ‎8．已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ▲ ．（填写正确命题对应的序号）． ③‎ ‎①若，则 ②若，则 ‎③若，则 ④若，则 ‎9．已知，，则 ▲ ．‎ ‎10．在等腰三角形中,底边, , , 若, 则 ▲ ．‎ ‎11．已知，若过轴上的一点可以作一直线与相交于两点，且满足，则的取值范围为 ▲ ．‎ ‎12．如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且．设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积．若,且恒成立,则正实数的最小值为 ▲ ． 1‎ ‎13．已知的三边长成等差数列，且则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎．‎ ‎14．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数．若，使成立，则实数 ‎·19·‎ 的取值范围是________．‎ ‎【详解】根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，， 可得：当0≤x≤1时，f（x）=1-x2，有最大值f（0）=1，最小值f（1）=0， 当1＜x＜2时，f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f（x）＜1， 又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2； 则在x∈[6，8）上，f（x）=23•f（x-6），则有0≤f（x）≤4， 则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8， 则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0； 对于函数，有 ， 得在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数， 在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数， 则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值 ‎ 若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立， 必有g（x）min≤f（x）max，即 解可得 ，即m的取值范围为 ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在如图所示平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中为坐标原点.‎ ‎·19·‎ ‎（Ⅰ）若，设点为线段上的动点，求的最小值;‎ ‎（Ⅱ）若，向量，，求的最小值及对应的值.‎ 解：（Ⅰ） 设（），又 所以 所以 ……………3分 所以当时，最小值为 ………………6分 ‎（Ⅱ）由题意得,‎ 则 ‎ ……………9分 因为,所以 ……………10分 所以当，即时，取得最大值 ‎ 所以时，取得最小值 ‎ 所以的最小值为，此时…………………………14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在正三棱柱中，点在棱上，，点， ‎ 分别是，的中点．‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎·19·‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1） 正三棱柱，平面，‎ 又平面，，又，‎ 平面，………………………………………………………3分 又正三棱柱，‎ 平面平面，，为的中点．………6分 G ‎（2） 连接，连接交于点，连接 ‎ 矩形，为的中点，‎ ‎ 又由(1)得为的中点，‎ ‎ △中，…………………9分 ‎ 又点，分别是，的中点，‎ ‎ △中，，，……12分 又平面，平面 平面．………14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距的A，B两个位置分别有300，100名学生，在道路OB上设置集合地点D，要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为S（km）． ‎ ‎（1）设，写出S关于的函数表达式；‎ ‎（2）当S最小时，集合地点D离点A多远？ ‎ 解（1）因为在△OAD中，，，‎ 所以由正弦定理可知， ‎ ‎·19·‎ ‎ 解得 ，且， ………………………4分 故，……7分 ‎（2） 令，则有 ，令得 记，，列表得 ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ 可知，当且仅当时，有极小值也是最小值为， ‎ 当时，此时总路程有最小值． ……………………13分 答：当集合点D离出发点A的距离为km时，总路程最短，其最短总路程为．……………………14分 ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，F1、F2分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若，且.‎ ‎·19·‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）过F1、F2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、‎ M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．‎ 解：(I) 由F1(-1，0)得,∴A点坐标为；……2分 ‎∵ ∴ 是的中点 ∴‎ ‎∴ 椭圆方程为 ……4分 ‎(II)当直线MN与PQ之一与轴垂直时，四边形PMQN面积；…………5分 当直线PQ，MN均与轴不垂直时，不妨设PQ：，‎ ‎ 联立代入消去得 设 则 ………8分 ‎∴ ，同理 ‎∴四边形PMQN面积 ………12分 令，则，易知S是以为变量的增函数 所以当时，，∴‎ 综上可知，，∴四边形PMQN面积的取值范围为 ………16分 ‎·19·‎ ‎19.（本小题满分16分）已知函数，，设.‎ ‎（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时函数有两个不同的零点.‎ ‎①求的取值范围；②求证：.‎ 解：(1)因为，所以,‎ 由可得a=b-3. ‎ 又因为在处取得极值，‎ 所以， ‎ 所以a= -2,b=1 . …………………………………2分 所以，其定义域为（0，+）‎ 令得， ‎ 当（0,1）时，，当（1,+），‎ 所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减. …………………………………4分 ‎（2）当时，，其定义域为（0，+）.‎ ‎①,当,则，在上单调递增，不合题意。…………5分 当时，在上单调递增，在上单调递减。‎ ‎·19·‎ 因为有2个不同零点，所以，即…………………………………7分 ‎. 此时存在使得，‎ 又在和都连续，‎ 所以在和各有一个零点 …………………………………10分 ‎②由题意得,‎ 所以,‎ 所以，不妨设x1

查看更多