数学卷·2017届江苏省泰州中学高三下学期期初数学试卷（解析版）

数学卷·2017届江苏省泰州中学高三下学期期初数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年江苏省泰州中学高三（下）期初数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=　　．‎ ‎2．己知i是虚数单位，则的虚部是　　．‎ ‎3．已知函数f（x）=，则“c=﹣1”是“函数在R上单调递增”的　　条件．‎ ‎4．如图是某算法流程图，则算法运行后输出的结果是　　．‎ ‎5．将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概率为　　．‎ ‎6．已知抛物线y2=8x的焦点恰好是椭圆+y2=1（a＞0）的右焦点，则椭圆方程为　　．‎ ‎7．已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，则它的体积为　　．‎ ‎8．平面向量与的夹角为， =（3，0），||=2，则|+2|=　　．‎ ‎9．若等比数列{an}的公比q≠1且满足：a1+a2+a3+…+a7=6，a12+a22+a32+…+a72=18，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7的值为　　．‎ ‎10．点P为直线y=x上任一点，F1（﹣5，0），F2（5，0），则||PF1|﹣|PF2||的取值范围为　　．‎ ‎11．在△OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若 ‎=x+y，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围为　　．‎ ‎12．函数f（x）=cosx，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为　　．‎ ‎13．已知A是射线x+y=0（x≤0）上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x2+y2=1相切，则|AB|的最小值是　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=x3+mx+，g（x）=﹣lnx，min{a，b}表示a，b中的最小值，若函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）恰有三个零点，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎15．（14分）△ABC中，sinA=sinB=﹣cosC ‎（1）求A，B，C．‎ ‎（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．‎ ‎16．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．‎ ‎（1）求证：OE∥平面BCC1B1；‎ ‎（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．‎ ‎17．（14分）如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元． ‎ ‎（1）设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．‎ ‎18．（16分）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；‎ ‎（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，且f（x）+f（）=0，其中a，b为常数．‎ ‎（1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式；‎ ‎（2）已知0＜a＜1，求证：f（）＞0；‎ ‎（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．‎ ‎20．（16分）定义：从一个数列{an}中抽取若干项（不少于三项）按其在{an}‎ 中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差（等比）的子数列叫做{an}的等差（等比）子列．‎ ‎（1）记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=n2，求证：数列{a3n}是数列{an}的等差子列；‎ ‎（2）设等差数列{an}的各项均为整数，公差d≠0，a5=6，若数列a3，a5，a是数列{an}的等比子列，求n1的值；‎ ‎（3）设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1，若数列{an}存在无穷多项的等差子列，求公比q的所有值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省泰州中学高三（下）期初数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=　（2，4]　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出关于集合A、B的不等式，求出A、B的交集即可．‎ ‎【解答】解：A={x|1≤3x≤81}={x|0≤x≤4}，‎ B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，‎ 则A∩B=（2，4]，‎ 故答案为：（2，4]．‎ ‎【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎2．己知i是虚数单位，则的虚部是　﹣1　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，则复数的虚部可求．‎ ‎【解答】解： =，‎ ‎∴的虚部是﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知函数f（x）=，则“c=﹣1”是“函数在R上单调递增”的　充分不必要　条件．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据f（x）=，在R上单调递增，求出c的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断．‎ ‎【解答】解：f（x）=，在R上单调递增，‎ ‎∴log21≥1+c，‎ ‎∴c≤﹣1，‎ ‎∴“c=﹣1”是“函数在R上单调递增”的充分不必要条件，‎ 故答案为：充分不必要 ‎【点评】本题考查了函数的单调性、充分必要条件的判定，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．如图是某算法流程图，则算法运行后输出的结果是　27　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得循环的结果依次为：‎ s=1，n=2；‎ s=（1+2）•2=6，n=3，‎ s=（6+3）•3=27，n=4，‎ 结束循环，输出s=27．‎ 故答案为27．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．将四个人（含甲、乙）分成两组，则甲、乙为同一组的概率为　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】4人分成两组，通过讨论每2人一组以及一组一人，一组3人的情况即可求出结论．‎ ‎【解答】解：4人分成两组，若一组2人，‎ 则有=3种分法，‎ 若一组一人，一组3人，‎ 则有=4种分法，‎ ‎∴甲、乙分别同一组的概率为+=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的，本题是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎6．已知抛物线y2=8x的焦点恰好是椭圆+y2=1（a＞0）的右焦点，则椭圆方程为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点坐标，则c=2，a2=b2+c2=5，即可求得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=8x焦点在x轴上，焦点F（2，0），‎ 由F（2，0）为椭圆+y2=1（a＞0）的右焦点，即c=2，‎ 则a2=b2+c2=5，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，椭圆的标准方程，考查转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，则它的体积为　4　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为，‎ 过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．‎ 由侧面积为，得，即PG=2．‎ 在Rt△POG中，．‎ ‎∴．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎8．平面向量与的夹角为， =（3，0），||=2，则|+2|=　‎ ‎　．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】利用两个向量的数量积的定义求得的值，结合|+2|=，计算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵向量与的夹角为， =（3，0），||=2，∴||=3|，∴ =3•2•cos=﹣3，‎ 则|+2|====，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．若等比数列{an}的公比q≠1且满足：a1+a2+a3+…+a7=6，a12+a22+a32+…+a72=18，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7的值为　3　．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由已知利用等比数列的前n项和公式求得，进一步由等比数列的前n项和求得a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7的值．‎ ‎【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a7=6，a12+a22+a32+…+a72=18，等比数列{an}的公比q≠1，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．点P为直线y=x上任一点，F1（﹣5，0），F2（5，0），则||PF1|﹣|PF2||的取值范围为　[0，8.5]　．‎ ‎【考点】两点间的距离公式．‎ ‎【分析】由题意，P在原点时，||PF1|﹣|PF2||=0，求出F2（5，0）关于直线y=x对称点的坐标，可得||PF1|﹣|PF2||的最大值，即可求出||PF1|﹣|PF2||的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，P在原点时，||PF1|﹣|PF2||=0，‎ F2（5，0）关于直线y=x对称点的坐标为F（a，b），则，∴a=，b=，‎ ‎∴||PF1|﹣|PF2||的最大值为=8.5，‎ ‎∴||PF1|﹣|PF2||的取值范围为[0，8.5]．‎ 故答案为：[0，8.5]．‎ ‎【点评】本题考查||PF1|﹣|PF2||的取值范围，考查对称性的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．在△OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若=x+y，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围为　[，4]　．‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】利用三点共线得出1≤x+y≤2，作出平面区域，根据斜率的几何意义得出的范围，从而得出的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵AB∥MN，2OA=OM，‎ ‎∴AB是△OMN的中位线．‎ ‎∴当P在线段AB上时，x+y=1，当P在线段MN上时，x+y=2，‎ ‎∵终点P落在四边形ABNM内（含边界），‎ ‎∴．‎ 作出平面区域如图所示：‎ 令k=，则k表示平面区域内的点C（x，y）与点Q（﹣1，﹣1）的连线的斜率，‎ 由可行域可知当（x，y）与B（2，0）重合时，k取得最小值=，‎ 当（x，y）与A（0，2）重合时，k取得最大值=3，‎ ‎∴≤k≤3．‎ ‎∵=+1=k+1，‎ ‎∴≤≤4．‎ 故答案为[，4]．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的运算，线性规划的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．函数f（x）=cosx，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为　　．‎ ‎【考点】余弦函数的图象．‎ ‎【分析】求出周期，画出f（x）的图象，讨论（1）当4n﹣1≤t≤4n，（2）当4n＜t＜4n+1，（3）当4n+1≤t≤4n+2，（4）当4n+2＜t＜4n+3，分别求出最大值和最小值，再求h（t）的值域，最后求并集即可得到．‎ ‎【解答】解：解：函数f（x）=cosx的周期为T==4，‎ ‎（1）当4n﹣1≤t≤4n，n∈Z，区间[t，t+1]为增区间，则有m（t）=cos，M（t）=cos=sin，‎ ‎（2）当4n＜t＜4n+1，n∈Z，①若4n＜t≤4n+，‎ 则M（t）=1，m（t）=sin，‎ ‎②若4n+＜t＜4n+1，则M（t）=1，m（t）=sin，‎ ‎（3）当4n+1≤t≤4n+2，则区间[t，t+1]为减区间，则有M（t）=cos，m（t）=sin；‎ ‎（4）当4n+2＜t＜4n+3，则m（t）=﹣1，‎ ‎①当4n+2＜t≤4n+时，M（t）=cos，‎ ‎②当4n+＜t＜4n+3时，M（t）=sin；则有h（t）=M（t）﹣m（t）‎ ‎=‎ 当4n﹣1≤t≤4n，h（t）的值域为[1，]，‎ 当4n＜t≤4n+，h（t）的值域为[1﹣，1），‎ 当4n+＜t＜4n+1，h（t）的值域为（1﹣，1），‎ 当4n+1≤t≤4n+2，h（t）的值域为[1，]，‎ 当4n+2＜t≤4n+时，h（t）的值域为[1﹣，1），‎ 当4n+＜t＜4n+3时，h（t）的值域为[1﹣，1）．‎ 综上，h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．‎ 故答案是：．‎ ‎【点评】‎ 本题考查三角函数的性质和运用，考查函数的周期性和单调性及运用，考查运算能力，有一定的难度．‎ ‎　‎ ‎13．已知A是射线x+y=0（x≤0）上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x2+y2=1相切，则|AB|的最小值是　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设A（﹣a，a），B（b，0）（a，b＞0），利用直线AB与圆x2+y2=1相切，结合基本不等式，得到，即可求出|AB|的最小值．‎ ‎【解答】解：设A（﹣a，a），B（b，0）（a，b＞0），则直线AB的方程是ax+（a+b）y﹣ab=0．‎ 因为直线AB与圆x2+y2=1相切，所以，化简得2a2+b2+2ab=a2b2，‎ 利用基本不等式得，即，‎ 从而得，‎ 当，即时，|AB|的最小值是．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查圆的切线，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=x3+mx+，g（x）=﹣lnx，min{a，b}表示a，b中的最小值，若函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）恰有三个零点，则实数m的取值范围是　（﹣，﹣）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】由已知可得m＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，解得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+mx+，‎ ‎∴f′（x）=3x2+m，‎ 若m≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x3+mx+至多有一个零点，‎ 此时h（x）不可能有3个零点，故m＜0，‎ 令f′（x）=0，则x=±，‎ ‎∵g（1）=0，‎ ‎∴若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，‎ 即，‎ 解得：m∈（﹣，﹣），‎ 故答案为：（﹣，﹣）．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是函数零点及零点个数的判断，分类讨论思想，函数和方程的思想，转化思想，难度中档．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎15．（14分）（2015•陕西模拟）△ABC中，sinA=sinB=﹣cosC ‎（1）求A，B，C．‎ ‎（2）若BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；三角形的面积公式．‎ ‎【分析】（1）由sinA=sinB，得到A=B，再由诱导公式得到cosC=﹣cos2A，代入sinA=﹣cosC中，变形求出sinA的值，由A为三角形内角求出A的度数，即可确定出B，C的度数；‎ ‎（2）设CA=CB=x，表示出CM，在三角形ACM中，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出CA与CB的长，即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵sinA=sinB，且A，B为△ABC的内角，‎ ‎∴A=B，‎ ‎∵A+B+C=π，‎ ‎∴cosC=cos（π﹣2A）=﹣cos2A，‎ ‎∴sinA=﹣cosC=cos2A=1﹣2sin2A，即（2sinA﹣1）（sinA+1）=0，‎ ‎∴sinA=，或sinA=﹣1（舍去），‎ ‎∴A=B=，C=；‎ ‎（2）设CA=CB=x，则CM=x，‎ 在△ACM中，利用余弦定理得：AM2=AC2+MC2﹣2AC•CM•cosC，即7=x2+x2+x2，‎ 解得：x=2，‎ 则S△ABC=CA•CB•sinC=．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2015•盐城一模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．‎ ‎（1）求证：OE∥平面BCC1B1；‎ ‎（2）求证：平面B1DC⊥平面B1DE．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，可证四边形OEBF是平行四边形，又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，可证OE∥面BCC1B1．‎ ‎（2）先证明BC1⊥DC，再证BC1⊥面B1DC，而BC1∥OE，OE⊥面B1DC，又OE⊂‎ 面B1DE，从而可证面B1DC⊥面B1DE．‎ ‎【解答】‎ 证明：（1）：连接BC1，设BC1∩B1C=F，连接OF，…2分 因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且，‎ 又E为AB中点，所以EB∥DC，且d1=1，‎ 从而，即四边形OEBF是平行四边形，‎ 所以OE∥BF，…6分 又OE⊄面BCC1B1，BF⊂面BCC1B1，‎ 所以OE∥面BCC1B1．…8分 ‎（2）因为DC⊥面BCC1B1，BC1⊂面BCC1B1，‎ 所以BC1⊥DC，…10分 又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂面B1DC，DC∩B1C=C，‎ 所以BC1⊥面B1DC，…12分 而BC1∥OE，所以OE⊥面B1DC，又OE⊂面B1DE，‎ 所以面B1DC⊥面B1DE．…14分 ‎【点评】本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2016•泰州模拟）如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元． ‎ ‎（1）设∠ADC=α，试将运输总费用S（单位：元）表示为α的函数S（α），并写出自变量的取值范围；‎ ‎（2）问中转站D建在何处时，运输总费用S最小？并求出最小值．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】（1）由题在△ACD中，由正弦定理求得CD、AD的值，即可求得运输成本S的解析式．‎ ‎（2）利用导数求得cosα=﹣时，函数S取得极小值，由此可得中转点D到A的距离以及S的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由题在△ACD中，∵∠CAD=∠ABC=∠ACB=，∠CDA=α，∴∠ACD=﹣α．‎ 又AB=BC=CA=20，△ACD中，‎ 由正弦定理知==，得CD=，AD=，…（3分）‎ ‎∴S=2AD+BD+3CD=AD+3CD+20=++20‎ ‎=10•+20 （＜α＜）．…（7分）‎ ‎（2）S′=10•，令S′=0，得cosα=﹣．…（10分）‎ 当cosα＜﹣时，S′＜0；当cosα＞﹣时，S′＞0，∴当cosα=﹣时S取得最小值．…（12分）‎ 此时，sinα=，AD=10﹣，‎ ‎∴中转站距A处10﹣千米时，运输成本S最小．…（14分）‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求极值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2017•广元模拟）已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=．直线l与椭圆C交于不同两点A、B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；‎ ‎（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）设P（x，y），得，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）由已知条件得kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1，代入，得：3x2+4x=0，由此能求出直线l方程．‎ ‎（3）B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设直线AF方程：y=k（x+1），代入，得：，由此能证明直线l总经过定点M（﹣2，0）．‎ ‎【解答】（1）解：设P（x，y），则 ‎，…（2分）‎ ‎，‎ 化简得：，‎ ‎∴椭圆C的方程为：．…（4分）‎ ‎（2）解：∵A（0，1），F（﹣1，0），‎ ‎∴，∠OFA+∠OFB=180°，‎ ‎∴kBF=﹣1，BF：y=﹣1（x+1）=﹣x﹣1…（6分）‎ 代入，得：3x2+4x=0，‎ ‎∴，代入y=﹣x﹣1得，‎ ‎∴…（8分）‎ ‎，∴，…（10分）‎ ‎（3）证明：由于∠OFA+∠OFB=180°，所以B关于x轴的对称点B1在直线AF上．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2）‎ 设直线AF方程：y=k（x+1），代入，‎ 得：，…（13分）‎ ‎，，，‎ 令y=0，得：，‎ y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），‎ ‎=，…（15分）‎ ‎∴直线l总经过定点M（﹣2，0）…（16分）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线总过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2016秋•秀屿区校级期中）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，且f（x）+f（）=0，其中a，b为常数．‎ ‎（1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式；‎ ‎（2）已知0＜a＜1，求证：f（）＞0；‎ ‎（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）利用赋值法，令x=1，得到f（1）=0，则切点为（1，0），从而可求出切线的斜率k=5，即f'（1）=5．由方程组，即可求出a，b的值；‎ ‎（2）将x=待入f（x）的解析式，构造函数，通过求导可知g（x）在（0，1）上单调递减，则g（x）＞g（1）=1﹣ln2＞0，即f（）＞0；‎ ‎（3）求导，f'（x）=，对参数a进行分类讨论，易知a≤0，或a≥时，f（x）至多一个零点，不符题意；当0＜a＜时，f（x）存在两个极值点x1，x2，通过零点存在定理可知，此时f（x）存在三个零点，满足条件，故a的取值范围是．‎ ‎【解答】解：（1）在中，取x=1得f（1）=0，∴f（1）=﹣a+b=0，∴a=b，‎ ‎∵，∴f'（1）=1﹣a﹣b=1﹣2a，‎ ‎∵f（x）的图象在x=1的切线经过点（1，0），（2，5），∴k=，‎ ‎∴1﹣2a=5，得a=﹣2，‎ ‎∴；‎ ‎（2）‎ 令，‎ 则 ‎∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，‎ ‎∴x∈（0，1）时，‎ 故0＜a＜1时，f（）＞0；‎ ‎（3），‎ ‎①当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）至多一个零点，不符题意； ‎ ‎②当时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，∴f（x）至多一个零点，不符题意；‎ ‎③当时，令f′（x）=0，解得，，‎ 此时，f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，‎ ‎∵x1＜1＜x2，∴f（x1）＜f（1）＜f（x2），即f（x1）＜0，f（x2）＞0，‎ ‎∵，∴，使得f（x0）=0，‎ 又∵，‎ ‎∴f（x）恰有三个不同的零点：‎ 综上所述，a的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究切线方程，利用导数证明不等式以及利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2017春•海陵区校级月考）定义：从一个数列{an}中抽取若干项（不少于三项）按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差（等比）的子数列叫做{an}的等差（等比）子列．‎ ‎（1）记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=n2，求证：数列{a3n}是数列{an}的等差子列；‎ ‎（2）设等差数列{an}的各项均为整数，公差d≠0，a5=6，若数列a3，a5，a是数列{an}的等比子列，求n1的值；‎ ‎（3）设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1，若数列{an}存在无穷多项的等差子列，求公比q的所有值．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，求得an，进而得到a3n，运用等差数列的定义，即可得证；‎ ‎（2）求得公比q=，运用等比数列的中项的性质，可得a=6•，再由等差数列的通项公式，可得n1=5+，讨论d的取值，可得所求值；‎ ‎（3）设数列{a}为数列{an}的等差子列，k∈N*，nk∈N*，公差为d，运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，可得|d|=|a1|•|q|•|q﹣1|，讨论|q|＞1，|q|＜1，运用不等式的性质，可得矛盾，进而得到q=﹣1．‎ ‎【解答】解：（1）证明：当n=1时，a1=S1=1；‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，‎ 上式对n=1也成立．‎ 则an=2n﹣1．‎ 故a3n=2•3n﹣1=6n﹣1，‎ 当n≥2时，a3（n+1）﹣a3n=6，‎ 故数列{a3n}是数列{an}的等差子列；‎ ‎（2）a3=a5﹣2d=6﹣2d，‎ 公比q==，‎ 数列a3，a5，a是数列{an}的等比子列，可得a=6•，‎ 又a=a5+（n1﹣5）d=6+（n1﹣5）d，‎ 则6•=6+（n1﹣5）d，‎ 即有n1=5+，‎ 由d为非零整数，n1为正整数，‎ 可得d=1，n1=8或d=2，n1=11或d=﹣3，n1=6，‎ 所以n1的值为6，8，11；‎ ‎（3）公比q的所有取值为﹣1．‎ 理由：设数列{a}为数列{an}的等差子列，k∈N*，nk∈N*，公差为d，‎ a=a1q，a=a1q，‎ 有|a﹣a|=|a1|•|q|•|q﹣1|．‎ 当|q|＞1时，|q﹣1|≥|q|﹣1，‎ 所以|d|=|a﹣a|≥|a1|•|q|•（|q|﹣1）．‎ 取nk＞1+log|q|，所以|a﹣a|＞|d|，‎ 即|d|＞|d|，矛盾；‎ 当|q|＜1时，|d|=|a1|•|q|•|q﹣1|≤|a1|•|q|•（|q|+1）‎ ‎＜2|a1|•|q|，‎ 取nk＞1+log|q|，所以|a﹣a|＜|d|，‎ 即|d|＜|d|，矛盾．‎ 所以|q|=1，又q≠1，可得q=﹣1．‎ ‎【点评】本题考查新定义的理解和运用，主要考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查推理分析能力，属于难题和易错题．‎