【数学】2019届一轮复习人教A版线性规划学案（理）

【数学】2019届一轮复习人教A版线性规划学案（理）

‎【母题原题1】【2018天津，理2】‎ 设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为 （ ）‎ A．6 B．19 C．21 D．45‎ ‎【答案】C ‎【名师点睛】求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，理2】‎ 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 ‎（A） （B）1 （C） （D）3‎ ‎【答案】D ‎【考点】线性规划 ‎【名师点睛】线性规划问题有三类：①简单的线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数的取值范围；③线性规划的实际应用．学/ -- ‎ ‎【母题原题3】【2016天津，理2】‎ 设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最小值为 ‎（A） （B）6 （C）10 （D）17‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取得最小值6，选B．‎ ‎【考点】线性规划 ‎【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围．‎ ‎【母题原题4】【2015天津，理2】‎ ‎【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )‎ ‎（A）3 （B）4 （C）18 （D）40‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】线性规划．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义，将二元一次不等式（组）的几何意义与求线性目标函数的最值问题结合在一起，考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力．本题中不等式所表示的平面区域为不封闭区域，与平时教学中的练习题有出入，是易错问题．‎ ‎【母题原题5】【2014天津，理2】‎ 设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（　　）‎ ‎（A）2　　 （B）3　 （C）4　　　 （D）5‎ ‎【答案】B．‎ ‎【解析】‎ 考点：1．二元一次不等式组表示的平面区域；2．线性目标函数的最值问题．‎ ‎【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题，要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令，画出直线，在可行域内平移该直线，确定何时取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题． 线性规划考试题型有两种，一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围，本题属于第二类，对可行域提出相应的要求，求参数的取值范围．‎ ‎【命题意图】 高考对本部分内容的考查以线性规划基础知识为主，天津卷主要考查截距型目标函数的最值问题，紧扣教材、考纲．‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围．学-- / ‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：‎ (1) 根据题目所提供的二元一次不等式组所提供的要求，在直角坐标系下画出可行域．‎ (2) 研究目标函数所代表的几何意义，以截距型目标函数为例来说明：‎ 令，画出出基准线 ，由于可知，时，直线的截距越大，越大；时，直线的截距越大，越小；‎ ‎ （3）在可行域内平移直线，找出取得最值时所对应的最优解，将最优解代入目标函数求出最值 ．‎ ‎【方法总结】‎ 线性规划问题可分为两类，第一类是简单的线性规划，考题可分为三种，其一是考查可行域，如可行域的形状或面积的大小；其二就是截距型目标函数的最值或范围．其三是其他型目标函数，如有截距型、距离型、斜率型等；第二类是线性规划的逆向思维的考查，如提供可行域的面积，反求参数的值，或提供最优解的个数，反求参数的值，或提供目标函数的最值，反求参数的范围等．‎ 近年高考出现的常见目标函数：‎ ‎1．截距型：学 ‎ 几何意义：经过可行域的直线的纵截距的倍．‎ ‎2．斜率型： （）‎ 几何意义：可行域内一点与定点连线的斜率．‎ ‎3．距离型：（）‎ 几何意义：可行域内一点与定点的距离的平方，减去．‎ 说明：理解目标函数的几何意义，利用线性规划求最值或范围时，只需找到最优解代入目标函数即可．‎ ‎1．【2018年天津市河西区高三三模】若实数，满足，则目标函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A 作出表示的可行域，如图，‎ 平移直线，由图可知 目标函数在的交点处取最大值为 ‎，故选A．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．学 ‎ ‎2．【2018天津市部分区高三质量调查（二）】设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代入即可求的最小值．‎ 故选D．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．注意目标函数的几何意义．‎ ‎3．【2018天津市河东区高三二模】若实数满足条件，则的最大值为（ ）‎ A． 10 B． 6 C． 4 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，再将目标函数化为直线方程的斜截式，再画出直线，结合 的几何意义，从而得到将直线移动到过哪个点时取得最大值，接着联立方程组求得最优解，之后代入目标函数解析式，求得结果．‎ 详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：‎ ‎【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解．学 ‎ ‎4．【2018天津河北区高三二模】若实数x，y满足，则的最大值为（ ）‎ A． 7 B． 8 C． 9 D． 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，平移直线，利用目标函数的几何意义，可求最大值．‎ 详解：‎ ‎【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．‎ ‎5．【2018天津市十二校高三二模】已知，满足不等式组则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移直线，结合可行域可得直线经过点时取到最小值．‎ 详解：‎ ‎【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．‎ ‎6．【2018天津市9校高三联考】若实数， 满足，则的最小值（ ）‎ A． 1 B． 3 C． 4 D． 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出可行域如图所示：‎ 作直线y=﹣2x﹣1+ ，再将其平移至A（1，2）时，直线的纵截距最小， 最大为3，故选B．学/ -- ‎ ‎7．【2018天津滨海新区七所重点学校高三联考】实数满足不等式组 则目标函数的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：‎ ‎（1）截距型： ，与直线的截距相关联，若，当的最值情况和 的一致；若，当的最值情况和的相反；‎ ‎8．【2018天津十二重点中学高三联考（一）】设变量满足线性约束条件 ，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出变量满足线性约束条件，如图所示：‎ ‎【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．‎ ‎ 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．学 ‎ ‎9．【2018天津十二重点中学高三毕业班联考】设实数满足约束条件，则的最小值是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意作约束条件表示的平面区域如图，由，解得，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最小，即的最小值是，故选A．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．‎ ‎10．【2018天津市部分区高三上学期期末考试】设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：‎ ‎【名师点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．‎ ‎11．【2018天津一中高三下学期第五次月考】设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先画出不等式组表示的可行域，将变形为，平移直线确定出最优解，然后再求目标函数的最小值 ‎ 详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．‎ ‎【名师点睛】用线性规划求目标函数的最值时，首先要分清目标函数中 的几何意义，然后根据 的几何意义并利用数形结合的方法求得最值．‎ ‎12．【2018天津耀华中学高三上学期第三次月考】设变量， 满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A． 3 B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎13．【2018辽宁鞍山一中高三上学期二模】设满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A． -3 B． 4 C． 2 D． 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出x，y满足的区域如图(阴影部分)，由目标函数对应直线的斜率与边界直线斜率的关系知目标函数在点(1，1)处取得最大值4． 故选B ‎【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．‎ 需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得．‎ ‎14．【2018天津市滨海新区大港油田第一中学高三上学期期中考试】设变量满足约束条件则目标函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】作可行域如图，则直线过点A时取最小值2‎ ‎15．【2018天津河北区高三数学二模】某颜料公司生产A，B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，设公司计划一天内安排生产A产品x吨，B产品y吨．‎ ‎（I）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中画出相应的平面区域；‎ ‎（II）该公司每天需生产A，B产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少?‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨可获得最大利润，最大利润为14000元．‎ ‎（II）设利润为 元，由题意得 =300x+200y， ‎ 可得，‎ 平移直线，结合图形可得当直线经过可行域上的点A时，截距最大，此时 页最大．‎ 解方程组得，即 ． ‎ ‎∴=300x+200y=14000． ‎ 答：该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨时可获得最大利润，且最大利润为14000元．‎ ‎【名师点睛】解线性规划应用题的步骤 学/ -- ‎ ‎（1）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；‎ ‎（2）求解——解这个纯数学的线性规划问题；‎ ‎（3）作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．‎ ‎16．【2018天津一中高三上学期第三次月考】某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在（单位：克），脂肪的摄入量控制在（单位：克），某学校食堂提供的伙食以食物和食物为主，1千克食物含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元．‎ ‎（1）如果某学生只吃食物，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；‎ ‎（2）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物和食物各多少千克？并求出最低需要花费的钱数．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 蛋白质摄入量在（单位：克），不符合营养学家的建议．‎ ‎（2）设学生每天吃千克食物， 千克食物，每天的伙食费为，‎ 由题意满足，即，‎ 可行域如图所示，‎ 答：学生每天吃0．8千克食物，0．4千克食物，既能符合营养学家的建议又花费最少．最低需要花费22元．‎ ‎17．【2018天津一中高三上学期第二次月考】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0．3万元和0．2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟．‎ ‎（Ⅰ）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?‎ ‎【答案】(1)详见解析(2) 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元．‎ ‎【解析】试题分析：（I）根据广告费用和收益列出约束条件，作出可行域；‎ ‎（II）列出目标函数 =3000x+2000y，根据可行域判断最优解的位置，列方程组解出最优解得出最大收益．‎ 试题解析：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，则， ‎ 满足的数学关系式为 该二次元不等式组等价于 解方程组得，学， ‎ 代入目标函数得．‎ 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元．‎ ‎18．【2018天津实验中学高三上学期期中（第三阶段）考试】某餐厅装修，需要大块胶合板张，小块胶合板张，已知市场出售两种不同规格的胶合板．经过测算， 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板张，小块胶合板张， 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板张，小块胶合板张．已知种规格胶合板每张元， 种规格胶合板每张元．分别用表示购买两种不同规格的胶合板的张数．‎ ‎（1）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（2）根据施工需求， 两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数．‎ ‎【答案】（1）；（2）种胶合板5张， 种胶合板10张花费资金最少，最少资金数为1720元．‎ ‎（2）由设花费资金，由（1）得，由图可知当时， （元）。‎ 答：型木板张，型木板张，付出资金最少为元．‎