2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (北京卷)

2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (北京卷)

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎（1）已知集合A=B=，则 ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（2）若x,y满足 ，则2x+y的最大值为 ‎（A）0 （B）3‎ ‎（C）4 （D）5‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为 ‎（A）1 ‎ ‎（B）2‎ ‎（C）3 ‎ ‎（D）4‎ ‎（4）设a,b是向量，则“”是“”的 ‎（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（5）已知x,yR,且xyo，则 ‎（A）- （B）‎ ‎（C） (-0 （D）lnx+lny ‎(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A） ‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）1‎ ‎(7)将函数图像上的点P（ ，t ）向左平移s（s﹥0） 个单位长度得到点P′.若 P′位于函数的图像上，则 ‎（A）t= ，s的最小值为 （B）t= ，s的最小值为 ‎ ‎（C）t= ，s的最小值为 （D）t= ，s的最小值为 ‎ ‎（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 ‎（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 ‎ ‎（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎ ‎（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 ‎ ‎（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 第二部分（非选择题　共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。‎ ‎（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）‎ ‎（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，‎ ‎ 则 =____________________.‎ ‎（12）已知为等差数列，为其前n项和，若 ，，则.‎ ‎（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.‎ ‎（14）设函数 ‎ ①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；‎ ‎ ②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。‎ 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 在ABC中，‎ ‎（I）求 的大小 ‎（II）求 的最大值 ‎（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎（I） 试估计C班的学生人数；‎ ‎（II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和的大小，（结论不要求证明）‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,‎ ‎（I）求证：PD平面PAB; ‎ ‎（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；‎ ‎（II I）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求 的值；若不存在，说明理由。‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 设函数f(x)=xe +bx，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，‎ ‎（I）求a,b的值；‎ ‎ (I I) 求f(x)的单调区间。‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。‎ 求证：lANl lBMl为定值。‎ ‎（20）（本小题13分）‎ ‎ 设数列A： ， ,… (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 ＜ ‎ ‎，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。‎ ‎（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；‎ ‎(I I)证明：若数列A中存在使得>，则G（A） ；‎ ‎(I I I）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于 -。‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）C （2）C （3）B （4）D ‎（5）C （6）A （7）A （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10）‎ ‎（11) （12）‎ ‎（13） （14） ‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得.‎ 又因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ ‎,‎ 因为，所以当时，取得最大值.‎ ‎（16）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名.根据分层抽样方法，班的学生人数估计为.‎ ‎（Ⅱ）设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，，‎ 事件为“乙是现有样本中班的第个人”，，‎ 由题意可知，，；，.‎ ‎,,.‎ 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，‎ 因此 ‎（Ⅲ）.‎ ‎（17）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为平面平面，，‎ 所以平面.‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结.‎ 因为，所以.‎ 又因为平面，平面平面，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系.由题意得，‎ ‎.‎ 设平面的法向量为，则 即 令，则.‎ 所以.‎ 又，所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.‎ 因此点.‎ 因为平面，所以平面当且仅当，‎ 即，解得.‎ 所以在棱上存在点使得平面，此时.‎ ‎（18）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以.‎ 依题设，即 解得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知.‎ 由即知，与同号.‎ 令，则.‎ 所以，当时，，在区间上单调递减；‎ 当时，，在区间上单调递增.‎ 故是在区间上的最小值，‎ 从而.‎ 综上可知，，，故的单调递增区间为.‎ ‎（19）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得.从而.‎ 直线的方程为.‎ 令，得.从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎ ‎（20）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）的元素为和.‎ ‎（Ⅱ）因为存在使得，所以.‎ 记，‎ 则，且对任意正整数.‎ 因此，从而.‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立.‎ 以下设.‎ 由（Ⅱ）知.‎ 设，记.‎ 则.‎ 对，记.‎ 如果，取，则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素，所以.‎ 从而对任意，，特别地，.‎ 对.‎ 因此.‎ 所以.‎ 因此的元素个数不小于.‎