江苏省连云港市老六所四星高中2020届高三下学期模拟考试 数学（理）（PDF版）

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- 1 - 高三数学理模拟试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定 位置上） 1.已知集合  3,2,1A ,  4,3,2B ,则集合 BA 中元素的个数为__________. 2.复数 i iz   1 1 ，则 z __________. 3.已知一组数据 4,6,5,8,6,7,那么该组数据的方差为__________. 4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为__________. 5. xy lg1 的定义域为__________. 6．从长度分别为1 2 3 4、、、的四条线段中，任取三条的不同取法共有 n 种，在这些取法中，以取出的三条线 段为边可组成的三角形的个数为 m ，则 m n 等于____________. 7．若双曲线   2 2 2 10x ymm    的一条渐近线方程为 30xy，则 m  _______. 8．已知 nS 是等差数列 na 的前 项和，若 1 2 3 4a a a   ， 6 10S  ，则 3a  ______. 9. 若关于 x 的不等式 2 10mx mx   的解集不是空集，则 的取值范围是________. 10. 已知等边三角形 ABC 的边长为8 ， D 为 BC 边的中点，沿 AD 将 ABC 折成直二面角 B AD C， 则三棱锥 A DCB 的外接球的表面积为__________. 11. 若 tan ， tan 是方程 2 6 7 0xx   的两个根，则__________. 12.设 ba, 为正实数，则 ba b ba a  2 的最小值为__________. 13. 已知点 A ，B ，C 均位于同一单位圆O 上，且 2 BA BC AB uuuvuuuv uuuv ，若 3PB PC uuuvuuuv ，则 PA PB PC uuuv uuuv uuuv 的取值范围为__________． - 2 - 14. 已知函数   ln , 1 1 , 12 xx fx x x    ，若     1F x f f x m   有两个零点 12,xx，则 12xx 的取值范围 __________. 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤．） 15.(本题满分 14 分） 设函数   22cos cos 2 3f x x x    （1）当 0, 2x  时，求  fx的值域； （2）已知 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若   3 2f B C， 2a  ，求 ABC 面积的最 大值. 16. (本题满分 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PD BC ，G 为 PA 上一点． （1）求证：平面 PCD  平面 ； （2）若 PC ∥平面 ，求证： 为 的中点． 17. (本题满分 14 分） - 3 - 如图，在宽为14 m 的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆 PA 是半径为 mr 的圆C 的一段劣弧．路 灯采用锥形灯罩，灯罩顶 P 到路面的距离为10 m ，到灯 柱所在 直线的距离为 2m．设 Q 为灯罩轴线与路面的交点，圆心 在 线段 PQ 上． （1）当 r 为何值时，点 恰好在路面中线上? （2）记圆心 在路面上的射影为 H ，且 在线段OQ 上， 求 HQ 的最大值． 18. (本题满分 16 分） 如图，椭圆 1C ： 22 221xy ab（ 0ab）和圆 2C ： 2 2 2x y b，已知圆 将椭圆 的长轴三等 分，椭圆 右焦点到右准线的距离为 2 4 ，椭圆 的下顶点为 E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任 意直线l 与圆 相交于点 A 、 B ． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 EA 、 EB 分别与椭圆 相交于另一个交点为点 、 M . ①求证：直线 MP 经过一定点； ②试问：是否存在以( ,0)m 为圆心， 32 5 为半径的圆G ，使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 相交？若存 在，请求出实数 m 的范围；若不存在，请说明理由． 19. (本题满分 16 分） 已知函数   321 13f x x ax bx    （a，bR ）. - 4 - （1）若 0b  ，且  fx在 0,  内有且只有一个零点，求 a 的值； （2）若 2 0ab，且 有三个不同零点，问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列？若存在， 求出 a 的值，若不存在，请说明理由； （3）若 1a  ， 0b  ，试讨论是否存在 0 110, ,122x           U ，使得  0 1 2f x f   . 20. (本题满分 16 分） 设数列 na （任意项都不为零）的前 n 项和为 nS ，首项为1，对于任意 n N ，满足 1 2 nn n aaS  . （1）数列 的通项公式； （2）是否存在  ,,k m n N k m n   使得 ,,k m na a a 成等比数列，且 4216 , ,k m na a a 成等差数列？若存在，试 求 k m n的值；若不存在，请说明理由； （3）设数列 b ，  1 , 2 1, , 2 , 0 n n n a n k k Nb q n k k N q           ，若由 nb 的前 r 项依次构成的数列是单调递增数列， 求正整数 的最大值. - 5 - 高三数学模拟试题附加题 21A.已知矩阵 43 21M   ，向量 7 5   ur . （1）求矩阵 M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求 3M  . 21B．已知曲线C 的极坐标方程是 4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建 立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是: 2 2 2 2 x m t yt     （t 是参数）.  1 若直线 与曲线 相交于 A 、 B 两点，且 14AB  ，试求实数 m 值.  2 设  ,M x y 为曲线 上任意一点，求 xy 的取值范围. 21C．已知 a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3. 22．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PG  平面 ，垂足为G ， 在 AD - 6 - 上，且 14, , , 23PG AG GD BG GC GB GC     ， E 是 BC 的中点． （1）求异面直线GE 与 PC 所成角的余弦值； （2）若 F 点是棱 上一点，且 DF GC ，求 PF FC 的值． 23．棋盘上标有第 0 、1、 2 、L 、100 站，棋子开始位于第 站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷 出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第 站时，游戏结束. 设棋子位于第 n 站的概率为 nP . （1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3 次后，求棋手所走步数之和 X 的分布列与数学期望； （2）证明：   11 1 1 982n n n nP P P P n      ； （3）求 99P 、 100P 的值. 参考答案 1.4； 2.1; 3.略 4.7; 5. 10,0 ； 6. 4 1 ；7. 3 ；8. 9 14 ； 9. 0m  或 4m  ； - 7 - 10. 80 ；11. 4  k ；12. 222  ；13. 7,5 ；14 ),( e . 15. 解：（1）因为   22cos cos 2 3f x x x    所以 ( ) cos2 cos 2 13f x x x     cos2 cos2 cos sin 2 sin 133x x x    13cos2 sin 2 1 cos 2 12 2 3x x x       即   cos 2 13f x x    ， 0, 2x  Q ， 42,3 3 3x       ， 1cos 2 1,32x           所以 ()fx的值域为 30, 2   ； （2）由 3( ) cos 2( ) 132f B C B C       ，得 1cos 2 32A  ， 又 (0, )A  ， 3A  ， 在 ABCV 中，由余弦定理，得 2 2 2 2 cos 3a b c bc    ， 把 2a  ，代入得： 2242b c bc bc bc bc    … ，当且仅当bc 时取等号， ABCV 的面积 1 3 3sin 4 32 3 4 4S bc bc   „ ， 则 面积的最大值为 3 ． 16. （1）Q 底面 ABCD 为矩形， BC CD ， 又 PD BCQ ， - 8 - ,CD PD PCD 平面 ， PD CD D， BC平面 PCD ， 又 BC ABCDQ 平面 ， 平面 ABCD  平面 ； （2）连接 AC ，交 BD 于O ，连接GO ， //PCQ 平面 BDG ， 平面 PCA平面 BDG GO ， //PC GO ， PG CO GA OA， Q 底面 ABCD 为矩形， 是 的中点，即CO OA ， PG GA， G 为 PA 的中点. 17. （1）以 O 为原点，以 OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A（0，8）， P（2，10）， Q（7，0）， ∴直线 PQ 的方程为 2x+y﹣14＝0．设 C（a，b），则 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 10) ( 8) a b r a b r          ， 两式相减得：a+b﹣10＝0，又 2a+b﹣14＝0，解得 a＝4，b＝6， ∴ 224 (6 8) 2 5r     ．∴当 25r  时，点 Q 恰好在路面中线上． （2）由（1）知 a+b﹣10＝0， 当 a＝2 时，灯罩轴线所在直线方程为 x＝2，此时 HQ＝0． 当 a≠2 时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝ 2 a a   （x﹣2）， 令 y＝0 可得 x＝12﹣ 20 a ，即 Q（12﹣ ，0）， ∵H 在线段 OQ 上，∴12﹣ ≥a，解得 2≤a≤10． ∴|HQ|＝12﹣ ﹣a＝12﹣（ +a）≤12﹣ 2 20 ＝12﹣ 45， 当且仅当 ＝a 即 a＝ 25时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣ ）m． - 9 - 【点睛】 本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题． 18. Ⅰ ）依题意， 1223ba ，则 3ab ， ∴ 2222c a b b   ，又 222 4 abccc   ，∴ 1b  ，则 3a  ， ∴椭圆方程为 2 2 19 x y． （2）①由题意知直线 ,PE ME 的斜率存在且不为 0，设直线 PE 的斜率为 k ，则 ： 1y kx， 由 2 2 1, { 1,9 y kx x y   得 2 2 2 18 ,91{ 91,91 kx k ky k     或 0,{ 1, x y   ∴ 2 22 18 9 1( , )9 1 9 1 kkP kk   ， 用 1 k 去代 ，得 2 22 18 9( , )99 kkM kk   ， 方法 1： 22 222 22 9 1 9 19 1 9 18 18 10 9 1 9 PM kk kkkk kkk kk    ， ∴ PM ： 22 22 9 1 18()9 10 9 k k kyxk k k    ，即 2 14 10 5 kyxk ， ∴直线 经过定点 4(0, )5T ． 方法 2：作直线l 关于 y 轴的对称直线 'l ，此时得到的点 'P 、 'M 关于 轴对称，则 与 ''PM 相交于 轴，可知定点在 轴上， 当 1k  时， 94( , )55P ， 94( , )55M  ，此时直线 经过 轴上的点 ， - 10 - ∵ 2 22 2 9 1 4 19 1 5 ,18 10 91 PT k kkk k k k     2 22 2 94 195 ,18 10 9 MT k kkk k k k      ∴ PT MTkk ，∴ P 、 M 、T 三点共线，即直线 PM 经过点 ， 综上所述，直线 经过定点 4(0, )5T ． ②由 22 1,{ 1, y kx xy  得 2 2 2 2 ,1{ 1,1 kx k ky k     或 0,{ 1, x y   ∴ 2 22 21( , )11 kkA kk   ， 则直线 AB ： 2 1 2 kyxk  ， 设 2 1 10 kt k  ，则tR ，直线 ： 4 5y tx，直线 ： 5y tx ， 假设存在圆心为( ,0)m ，半径为 32 5 的圆G ，使得直线 和直线 都与圆 相交， 则 2 2 5 3 2, ( )51 25 { 4 35 2, ( )51 tm i t mt ii t      由（i ）得 2218 1825 ( )25 25tm对 恒成立，则 2 18 25m  ， 由（ii ）得， 2218 8 2( ) 025 5 25m t mt    对 恒成立， 当 2 18 25m  时，不合题意；当 2 18 25m  时， 228 18 2( ) 4( )( ) 05 25 25mm      ，得 2 2 25m  ，即 22 55m   ， ∴存在圆心为 ，半径为 的圆 ，使得直线 和直线 都与圆 相交，所有 m 的取值集合 为 22( , )55 ． 解法二：圆 2218: ( ) 25G x m y   ，由上知 过定点 4(0, )5 ，故 224 18()5 25m ；又直线 过原点， 故 2218:025Gm ，从而得 22( , )55m ． - 11 - 考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程． 19. （1）若 0b  ，则   321 13f x x ax   ，   2 2f x x ax  ， 若 0a  ，则在 0,  ，则   0fx  ，则  fx在 上单调递增， 又  0 1 0f ，故 在 上无零点，舍； 若 0a  ，令   2 20f x x ax    ，得   0fx  ， 1 0x  ， 2 2xa ， 在 0, 2a 上，   0fx  ， 在上单调递减， 在 上， ， 在上单调递增， 故     3 3 3842 4 1 133f x f a a a a       极小值 ， 若 34 103 a  ，则  20fa， 在 上无零点，舍； 若 ，则  20fa， 在 上恰有一零点，此时 1 33 4a  ； 若 34 103 a  ，则  20fa， ，      23 3 1 0f a a a a       ， 则 在 和 2 , 3aa上有各有一个零点，舍； 故 a 的值为 1 33 4  . （2）因为 2 0ab，则   3 2 21 13f x x ax a x    ，若 有三个不同零点，且成等差数列，可设         3 2 2 2 3 2113333f x x m d x m x m d x mx m d x m md            ， 故 ma，则   0fa，故 3331 103 aaa     ， 35 13 a  ， 3 3 5a  . 此时， 3 3 5m  ， 26da ，故存在三个不同的零点. 故符合题意的 a 的值为 1 33 5  . - 12 - （3）若 1a  ， 0b  ，   321 13f x x x bx    ，   32 32 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1112 3 3 2 2 2f x f x x bx b                                 32 3 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 4 14 7 123 2 2 2 12 2x x b x x x x b                                             ∴若存在 0 110, ,122x           U ，使得  0 1 2f x f   ， 必须 2 004 14 7 12 0x x b    在 110, ,122           上有解. 0b Q ，    214 16 7 12 4 21 48 0bb       方程的两根为： 14 2 21 48 7 21 48 84 bb      ， 0 0x Q ， 0x 只能是 7 21 48 4 b   ， 依题意 7 21 48014 b  ，即7 21 48 11b   ， 49 21 48 121b    即 25 7 12 12b    ， 又由 7 21 48 1 42 b    ，得 5 4b  ，故欲使满足题意的 0x 存在，则 5 4b  ， ∴当 25 5 5 7,,12 4 4 12b               U 时，存在唯一的 满足 ， 当 25 7 5, ,012 12 4b                UU时，不存在 使 . 【点睛】 本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20. （1）Q 数列 na 是非零数列， 0na. - 13 - 当 1n  时， 12 11 2 aaaS ， 2 2a； 当 2n  且 n N 时， 11 1 22 n n n n n n n a a a aa S S      ， 112nnaa   ，  21na  是首项为1，公差为 2 的等差数列， 2na 是首项为 ，公差为 的等差数列，  2 1 1 2 1 2 1na a n n      ，  222 1 2na a n n    ，  na n n N    . （2）设存在  ,,k m n N k m n   ，满足题意， ,,k m na a aQ 成等比数列， 2m kn； 4216 , ,k m na a aQ 成等差数列， 422 16m k n   ， 消去 m 可得： 2 2 22 16k n k n， 2 2 16 21 kn k  ， k m nQ ， 3n， 2 16 821 k k ，解得： 130 2k  ， kNQ ， 1k， 4n， 2m  ， 7k m n    . （3）若 nb 是单调递增数列，则 n 为偶数时， 111nn q n    恒成立， 两边取自然对数化简可得：    ln 1 ln 1ln11 nnqnn  ，显然 1q  ， 设   ln xfx x ，则   2 1 ln xfx x   ， 当  0,xe 时，   0fx  ；当  ,xe  时，   0fx  ，  fx 在 0,e 上单调递增，在 ,e  上单调递减， 在 xe 处取得极大值， 当 4n  时，  ln 1 1 n n   是递减数列，又 ln1 ln 3 13 ， ln 3 3 是 的最大值， ln3ln 3q ； 设      ln 2 1xg x xx ，则       22 2ln 2 1 ln 2220 x xxxxgx xx         ， - 14 -  ln 1 1 n n   是递减数列，当 6n  时， ln 7 ln 3 53 ，当 8n  时， ln9 ln3 73 ， 当 26n时，存在 1 33q  ，使得 111nn q n    恒成立； 当 时， 1 1nqn 不成立， 至多前8 项是递增数列，即正整数 r 的最大值是 . 【点睛】 本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定 义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为 恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题. 21A.（1）矩阵 M 的特征多项式为 ( ) ( 1)( 2)f      ， 令 ( ) 0f   ，可求得特征值为 1 1  ， 2 2  ， 设 对应的一个特征向量为 x y   ， 则由 1 M   ，得 3 3 0xy   ，可令 1x  ，则 1y  ， 所以矩阵 的一个特征值 对应的一个特征向量为 1 1   ， 同理可得矩阵 的一个特征值 对应的一个特征向量为 3 2   ． （2） 7 1 325 1 2                  r g 所以 331 3 49221 2 33M                      r ． 【点睛】 本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 21B． 解： 1 曲线C 的极坐标方程是 4cos 化为直角坐标方程为： 2240x y x   ，直线l 的直角 坐标方程为： y x m . 圆心到直线 的距离（弦心距） 2 2 14 22 22d    , - 15 - 圆心 2,0 到直线 y x m 的距离为 ： 20 2 22 m  ,  21m  1m  或 3m  .  2 曲线C 的方程可化为 2 224xy   ，其参数方程为： 2 2cos 2sin x y      （ 为参数）  ,M x yQ 为曲线 上任意一点， 2 2 sin2 4xy     xy 的取值范围是 2 2 2,2 2 2. 【点睛】 本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题. 22．试题解析：（1）以G 点为原点， 、 、 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则 (2,0,0)B ， (0,2,0), (0,0,4)CP，故    1,1,0 , 1,1,0 , (0,2, 4),E GE PC   uuur uuur ∵ ， ∴GE 与 PC 所成角的余弦值为 10 10 ． （2）解：设 (0, , )F y z ，则 ， ∵ ，∴ ， 即 33( , , ) (0,2,0) 2 3 022y z y     ，∴ 3 2y  ， 又 ，即 3(0, , 4) (0,2, 4)2 z    ， ∴ 1z  ，故 3(0, ,1)2F ， ，∴ 35 2 3 5 2 PF FC  - 16 - 考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用. 23.（1）由题意可知，随机变量 X 的可能取值有3 、 4 、5 、 6 .   3113 28PX    ，   3 1 3 134 28P X C     ，   3 2 3 135 28P X C     ，   3116 28PX    . 所以，随机变量 的分布列如下表所示： P 1 8 3 8 所以，随机变量 的数学期望为 1 3 3 1 934568 8 8 8 2EX          ； （2）根据题意，棋子要到第 1n  站，由两种情况，由第 n 站跳1站得到，其概率为 1 2 nP ，也可以由第  1n  站跳 2 站得到，其概率为 1 1 2 nP  ，所以， 11 11 22n n nP P P . 等式两边同时减去 nP 得    1 1 1 1 1 1 1 982 2 2n n n n n nP P P P P P n           ； （3）由（2）可得 0 1P  ， 1 1 2P  ， 2 1 0 1 1 3 2 2 4P P P   . 由（2）可知，数列 1nnPP  是首项为 21 1 4PP，公比为 1 2 的等比数列， 11 1 1 1 1 4 2 2 nn nnPP                   ， - 17 -       2 3 99 99 1 2 1 3 2 99 98 1 1 1 1 2 2 2 2P P P P P P P P                                 LL 98 100 111421 2 1112 3 21 2      ， 又 99 99 98 99 11= 22PP    ，则 98 99 21132P  ， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有 100 98 99 1 1 112 3 2PP   . 【点睛】 本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综 合性较强，属于难题.