2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（浙江卷）

2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（浙江卷）

绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.‎ 考生注意：‎ ‎1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.‎ ‎2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.‎ 参考公式：‎ 球的表面积公式 锥体的体积公式 ‎ ‎ 球的体积公式 其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高 ‎ 台体的体积公式 其中R表示球的半径 ‎ 柱体的体积公式 其中Sa，Sb分别表示台体的上、下底面积 V=Sh h表示台体的高 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高 数学试题 选择题部分（共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，那么 A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．椭圆的离心率是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 ‎（第3题图）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．若，满足约束条件则的取值范围是 A．[0，6] B．[0，4] ‎ C．[6， D．[4，‎ ‎5．若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 ‎6．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是 ‎（第7题图）‎ ‎8．已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1–pi，i=1，2． 若0‎ C．>，< D．>，>‎ ‎9．如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则 ‎（第9题图）‎ A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α ‎10．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则 ‎（第10题图）‎ A． B．‎ C． D．‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。‎ ‎11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，______．‎ ‎12．已知a，b∈R，（i是虚数单位）则______，ab=______．‎ ‎13．已知多项式，则=______，=______．‎ ‎14．已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=______．‎ ‎15．已知向量a，b满足则的最小值是______，最大值是______．‎ ‎16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎17．已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________． ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（本题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．‎ ‎（第19题图）‎ ‎（Ⅰ）证明：平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎20．（本题满分15分）已知函数f(x)=（x–）（）．‎ ‎（Ⅰ）求f(x)的导函数；‎ ‎（Ⅱ）求f(x)在区间上的取值范围．‎ ‎21．（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．‎ ‎（第20题图）‎ ‎（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎22．（本题满分15分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．‎ 证明：当时，‎ ‎（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；‎ ‎（Ⅱ）2xn+1− xn≤；‎ ‎（Ⅲ）≤xn≤．‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 数学参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。‎ ‎1.A 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.D 8.A 9.B 10.C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。‎ ‎11. 12.5,2 13.16.4 14. 15. 4， 16.660 17. ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。‎ ‎18.本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎（I）由，‎ 得 ‎（II）由与得 所以的最小正周期是 由正弦函数的性质得 解得 所以的单调递增区间是 ‎19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。‎ ‎（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连结EF，FB.‎ 因为E，F分别为PD，PA中点，所以EF∥AD且，‎ 又因为BC∥AD，，所以 EF∥BC且EF=BC，‎ 即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，‎ 因此CE∥平面PAB.‎ ‎（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N.连结PN交EF于点Q，连结MQ.‎ 因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，‎ 在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.‎ 由△PAD为等腰直角三角形得 PN⊥AD.‎ 由DC⊥AD，N是AD的中点得 BN⊥AD.‎ 所以 AD⊥平面PBN，‎ 由BC∥AD得 BC⊥平面PBN，‎ 那么，平面PBC⊥平面PBN.‎ 过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH.‎ MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.‎ 设CD=1.‎ 在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，‎ 在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，‎ 在Rt△MQH中，QH=，MQ=，‎ 所以 sin∠QMH=，‎ 所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.‎ ‎20.本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。 ‎ ‎（Ⅰ）因为 ‎ 所以 ‎=.‎ ‎（Ⅱ）由 解得 或.‎ 因为 x ‎（）‎ ‎1‎ ‎（）‎ ‎（）‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f（x）‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 又，‎ 所以f（x）在区间[）上的取值范围是.‎ ‎21.‎ ‎ 本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。‎ ‎（Ⅰ）设直线AP的斜率为k,‎ ‎ k=，‎ 因为，所以直线AP斜率的取值范围是（-1，1）。‎ ‎（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是 ‎ ‎ 因为 ‎|PA|==‎ ‎|PQ|= =，‎ 所以 ‎ |PA||PQ|= -（k-1）(k+1)3‎ 令f(k)= -（k-1）(k+1)3，‎ 因为 f’(k)=，‎ 所以 f(k)在区间（-1，）上单调递增，（，1）上单调递减，‎ 因此当k=时，|PA||PQ| 取得最大值 ‎22. 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。‎ ‎（Ⅰ）用数学归纳法证明：>0‎ 当n=1时，x1=1>0‎ 假设n=k时，xk>0，‎ 那么n=k+1时，若xk+10,则，矛盾，故>0。 ‎ 因此 所以 因此 ‎（Ⅱ）由得 记函数 函数f(x)在[0,+∞）上单调递增，所以=0,‎ 因此 ‎ ‎ （Ⅲ）因为 所以得 ‎ ‎ 故 ‎ ‎