高等数学复习 笔记(精华版)
1
高等数学
高中公式
三角函数公式
和差角公式 和差化积公式
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
( )
1
1
( )
tg tg
tg
tg tg
ctg ctg
ctg
ctg ctg
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos -2sin sin
2 2
积化和差公式 倍角公式
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
1
cos sin [sin( ) sin( )]
2
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
1
sin sin [cos( ) cos( )]
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
3
3
3
2
2 tan
sin 2 2sin cos
1 tan
cos 2 2cos 1 1 2sin
1 tan
cos sin
1 tan
2 1
2 2
1 2
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3
3
1 3
tg ctg
tg ctg
tg ctg
tg tg
tg
tg
半角公式
1 cos 1 cos
sin cos
2 2 2 2
1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
tg
ctg
1 1
V =SH V = SH V = H(S+ +S )
3 3
SS
棱柱 棱锥 棱台
球的表面积：4πR
2 球的体积： 34
3
R
椭圆面积：πab 椭球的体积： 4
3
abc
第 1 章 极限与连续
1.1 集合、映射、函数
空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，
上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界
确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。
映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，
因变量，基本初等函数
1.2 数列的极限
性质：
1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。
2. （有界性）收敛数列必为有界数列。
3. （子列不变性）若数列收敛于 a，则其任何子列也收敛于 a。
注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。
注2. 若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于 a，且这两个子列合起来
就是原数列，则原数列也收敛于 a。
注3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从
该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。
4. （对有限变动的不变性）若数列{xn}收敛于 a，则改变{xn}中的有限项所
得到的新数列仍收敛于 a。
5. （保序性）若 lim , limn n
n n
x a y b
，且 a
N 时，有
xnN 时，xn≤yn≤zn，且 lim
n
xn= lim
n
zn=a, 则 lim
n
yn=a。
2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。
注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。
3.柯西收敛准则：数列{xn}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 ε，都存
在正整数 N ，使得当 m，n>N 时，有|xm-xn|<ε。
1.3 函数的极限
性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。
判别法则：
1.夹逼法则：若
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x A
，且存在 x0 的某一去心邻域
0 0( , ) ( , )
o o
U x x U x ，使得 ，均有 f(x)≤g(x)≤h(x)，则
0
lim ( )
x x
g x A
。
2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。
3. 柯西收敛准则：函数 f(x)收敛的充要条件是：∀ε>0, ∃>0, ∀x’,x’’∈
0( , )
o
U x
,
有|f(x’)-f(x’’)|<ε。
4.海涅 (Heine)归结原则：
0
lim ( )
x x
f x A
的充要条件是：对于任何满足
0lim n
n
x x
的数列{xn}，都有 lim ( )n
n
f x A
。
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个
收敛于该点的自变量 x 的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或
者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}
却具有不同的极限。
1.4 无穷小与无穷大
若
0
( )
lim
( )x x
x
l
x
， 当
0
0
1
l
时 ， 则 称 x→x0 时 称 α(x) 是 β(x) 的
( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
( ) ~ ( )
x o x
x O x
x x
高阶无穷小，记作
同阶无穷小，记作
等阶无穷小，记作
常用等价无穷小
2
sin tan arcsin arctan 1ln(1 ) ~
1
1 cos ~ (1 ) 1 ~ 1 ~ ln
2
x
a x
x x x x e x x
x x x ax a x a
若 f(x=0), f’(0)≠0,则 2
0
1
( ) (0)
2
x
f t dt f x
确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式
1.5 连续函数
极限存在⇔左右极限存在且相等。
连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。
简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.
左右极限至少有一个不存在。
闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。
1.6 常见题型
求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.
泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；
7.放缩法；
求极限 lim n
n
x
,就要将数列 xn 放大与缩小成：zn≤xn≤yn.
8.求递归数列的极限
(1)先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设 lim n
n
x A
, 再对递
归方程
1 ( )n na f a 取极限得 A=f(A), 最后解出 A 即可。
(2)先设 lim n
n
x A
，对递归方程取极限后解得 A，再用某种方法证明
lim n
n
a A
。
第 2 章 导数与微分
2.1 求导法则和求导公式
求导法则：
2
1.四则运算法则
[αu(x)+ βv(x)]’=αu’(x)+ βv’(x) [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+ u(x)v’(x)
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
u x u x v x u x v x
v x v x
2.复合函数求导
( [ ( )]) [ ( )] ( )f x f x x
关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量
3.反函数求导 1 1
[ ( ) ]
( )
f y
f x
4.隐函数求导
5.参数式求导
2
2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,
( ) ( ) [ ( )]
x x t dy y t d y y t x t y t x t
y y t dx x t dx x t
6.对数求导法
7.分段函数求导
(1)按求导法则求连接点处的左右导数
设 0
0 0 0
0
( ),
( ) , ( ) ( ) , ( ) .
( ),
g x x x x
f x g x h x A f x A
h x x x x
若 则
(2) 按定义求连接点处的左右导数
设 0
0
0
0 0
0
( ),
( ) ( )
( ) , ,
( ) ( )
( ),
g x x x x
g x f x x
f x A x x
g x h x
h x x x x
与 在点 处无定义，
可按定义求 与
(3)对于
0
0
0
0
0
0
0
( ) ( )
(1) ( ) ( ) lim( ),
( ) ,
,
(2) ( ) lim ( )
x x
x x
f x f x
f x f xg x x x
x xf x
A x x
f x f x
很复杂，按定义求,
否则，先求出 ，再求
8.变限积分求导
( )
( )
( ) , ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
x
x
dy
y f t dt f x x f x x
dx
求导公式：
1
( ) 0
( )
( ) ln
1
(log )
ln
x x
a
C
x x
a a a
x
x a
2
2
(sin ) cos
(cos ) sin
(tan ) sec
( ) csc
(sec ) sec tan
(csc ) csc
x x
x x
x x
ctgx x
x x x
x x ctgx
2
2
2
2
1
(arcsin )
1
1
(arccos )
1
1
( )
1
1
( )
1
x
x
x
x
arctgx
x
arcctgx
x
2.2 高阶导数和高阶微分
求高阶导数的方法：
1.莱布尼茨（Leibniz）公式： ( ) ( ) ( )
0
( ( ) ( )) ( ) ( )
n
n k k n k
n
k
u x v x C u x v x
2.常用公式
( )( )ax b n n ax be a e
( )(sin( )) sin( )
2
n n n
ax b a ax b
( )(cos( )) cos( )
2
n n n
ax b a ax b
( )(( ) ) ( 1)...( 1)( )n n nax b a n ax b
( )
1
1 ( 1) !
( )
( )
n
n n
n
n
a
ax b ax b
( ) 1 1
(ln( )) ( 1) ( 1)!
( )
n n n
n
ax b a n
ax b
3.分解法
分解为上述初等函数之和
第 3 章 中值定理和泰勒公式
3.1 中值定理
费马定理：若是 x0是 f(x)的一个极值点，且 f’(x0)存在，则必有 f’(x0)=0(可微
函数的极值点必为驻点)，
1.罗尔定理：若函数 f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间
(a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 f’(ξ)=0.
2.拉格朗日定理：若函数 f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开
区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得
( ) ( )
( )
f b f a
f
b a
.
3.柯西定理：若函数 f(x)和 g(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在
开区间(a,b)内可导；(iii) ∀x∈(a,b),g’(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f b f a f
g b g a g
3.2 泰勒公式
求泰勒公式的方法：
1.泰勒公式（拉格朗日余项）：
( ) ( 1)
10
0 0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
! ( 1)!
k nn
k n
k
f x f
f x x x x x
k n
2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）
2 1
3 5 2 1 2 1
1
2 4 2 2 2
1
2 3 1
1
1
1! 2! ! ( 1)!
sin ( 1) ( 1) cos
3! 5! (2 1)! (2 1)!
cos 1 ( 1) ( 1) cos
2! 4! (2 )! (2 2)!
ln(1 ) ( 1) ( 1)
2 3 ( 1)(1
n n
x x
n n
n n
n n
n n
n n
n n
x x x x
e e
n n
x x x x
x x x
n n
x x x x
x x
n n
x x x x
x x
n n
1
2 1 ( 1)
)
(1 ) (1 )
0 1 2 1
n
n n n
x
x x x x x x
n n
2 1 1 1 ( 1)
2 1 1 ( 1)
1
( 1)
1 1 2
2
1
1 ... ( 1) ( 1) (1 )
1
1
1 ... (1 )
1
1 (2 3)!! (2 1)!!
1 1 ( 1) ( 1) (1 )
2 (2 )!! (2 2)!!
n n n n n
n n n
n n
k k n n
k
x x x x x
x
x x x x x
x
k n
x x x x x
k n
3.逐项求导或逐项积分
若
0
( ) ( ) ( ) ( )
x
x
f x x f x t dt 或 ，φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，
然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到 f(x)的泰勒公式。
例如： 2 4 5 3 5 5
20 0
1 1 1
arctan (1 ) ( ) ( )
1 3 5
x x
x dt t t dt o x x x x o x
t
3.3 函数的极值、最值
驻点，导数不存在的点为极值可疑点。
驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。
极值判别法则：
1.设点 x0为函数 f(x)的极值可疑点，f(x)在点 x0的邻域内连续，去心邻域内可
微，如果在(x0-δ,x0)内 f’(x0)≥0，在 (x0,x0+δ)内 f’(x0)≤0，则 x0必为 f(x)的极大
值点。反之必为极小值点。
2.若点 x0是 f(x)的驻点且 f’’(x0)存在，则当 f’’(x0)>0(<0)时，x0必为 f(x)的极小
(大)值点。
3.设函数 f(x)在点 x0处有 n 阶导数，且 ( 1)
0 0 0( ) ( ) ... ( ) 0nf x f x f x ，
但 ( )
0( ) 0nf x ，则(i)当 n 为偶数时，f(x)在点 x0处取极值，当 ( )
0( ) 0nf x 时
取极小值，当 ( )
0( ) 0nf x 时取极大值；(ii)当 n 为奇数时 f(x0)不是极值。
3.4 函数作图
定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则 f(x)在[a,b]
上是凸（凹）函数的充要条件是：1.f’(x) 在开区间(a,b)内单调递减（增）。
2. f(λx1)+ (1-λ)x2)<(>) λf(x1)+(1-λ) f(x2), λ∈(0,1).
3. f’’(x0)≤(≥)0.
若函数 f(x)在点 x0处凹凸性相反，则点 x0称为 f(x)的拐点。
拐点的必要条件：f’(x0)=0 或 f’(x0)不存在。
拐点的充要条件：f’’(x)经过时变号。
渐近线：1.垂直渐近线：x=a 是垂直渐近线⇔
0
lim
x a
或
0
lim
x a
.
3
2.斜渐近线：f(x)=ax+b, ( )
lim , lim ( ( ) )
x x
f x
a b f x ax
x
或
( )
lim , lim ( ( ) )
x x
f x
a b f x ax
x
（水平渐近线为其特例）。
函数作图的步骤：
1. 确定函数的定义域；
2. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等；
3. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；
4. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表；
5. 适当确定一些特殊点的函数值；
6. 根据上面提供的数据，作图。
第 4 章 积分
4.1 不定积分
4.1.1.基本积分表
11 1 1
ln | |
1 ln
sin cos cos sin
tan ln | cos | cot ln | sin |
sec ln | sec tan |
csc ln | csc cot ln | csc cot ln | tan
x xx dx x C dx x C a dx a C
x a
xdx x C xdx x C
xdx x C xdx x C
xdx x x C
x
xdx x x C x x C
2 2
2
2
|
2
sec tan csc cot
tan sec sec csc cot csc
1
arcsin arccos
1
1
arctan arccot
1
C
xdx x C xdx x C
x xdx x C x xdx x C
dx x C x C
x
dx x C x C
x
或
或
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
arctan arcsin
1 1 1
ln | | ln | |
2
1 1 1
ln | | ln( )
2
arcsin
2 2
2
x x
dx C dx C
a x a a aa x
a x
dx C dx x x a C
a x a a x x a
x a
dx C dx x x a C
x a a x a x a
x a x
a x dx a x C
a
x
x a dx x a
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
ln
2
ln( )
2 2
cos ( cos sin )
sin ( sin cos )
ax
ax
ax
ax
a
x x a C
x a
x a dx x a x x a C
e
e bxdx a bx b bx C
a b
e
e bxdx a bx b bx C
a b
不可积的几个初等函数：
2 2 21 sin cos
sin cos
ln
x x x
e x x
x x x
4.1.2.换元积分法和分部积分法
换元积分法： 1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。
2.第二类换元积分法，拆分。
分部积分法： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx
4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分
有理函数 ( )
( )
( )
P x
R x
Q x
的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：
（1） A
dx
x a ；（2） A
( )n
dx
x a ；
（3）
2
Mx+N
dx
x px q ；（4）
2
Mx+N
( )n
dx
x px q
12 2 2 2 2 1 2
1 2 3
( ) 2 ( 1) ( ) 2 ( 1)
n nn n
dx x n
I I
x a a n x a a n
三角函数有理式的积分一般用万能代换 tan
2
x
t ，对于如下
形式可以采用更灵活的代换：
对于积分 2 2(sin ,cos )R x x dx ，可令 tanx=t；
对于积分 (sin )cosR x xdx ，可令 sinx=t；
对于积分 (cos )sinR x xdx ，可令 cosx=t，等等。
某些可化为有理函数的积分
1. ( , )n
ax b
R x dx
cx d
型积分，其中 n>1，其中 ad ≠bc。
这里的关键问题是消去根号，可令 ax b
t
cx d
。
2. 2( ,R x ax bx cdx 型 积 分 , 其 中 2 4 0b ac ， a ≠0 。 由 于
2
2 2
2
4
( )
2 4
b ac b
ax bx c a x
a a
，故此类型积分可以化为以下三种类型：
2 2( , )R u k u dx ，可用三角替换 sinu k t ；
2 2( , )R u u k dx ，可用三角替换 secu k t ；
2 2( , )R u u k dx ，可用三角替换 tanu k t 。
1
2
1
tan tan
1
n n
n nI xdx x I
n
倒代换：
2
4
1
1
x
dx
x
，
2
4
1
1
x
dx
x
，由此还可以求出
4
1
1
dx
x
，
2
41
x
dx
x
2 21 1sin cos
,( 0)
sin cos
a x b x
dx a b
a x b x
解：设
1 1sin cos ( sin cos ) ( cos sin )a x b x A a x b x B a x b x ，为此应有
1
1
aA bB a
bA aB b
，解得 1 1 1 1
2 2 2 2
,
aa bb ab ba
A B
a b a b
，故
1 1sin cos ( sin cos )
sin cos sin cos
a x b x a x b x
dx A dx B dx
a x b x a x b x
1 1 1 1
2 2 2 2
ln | sin cos |
aa bb ab ba
x a x b x C
a b a b
4.2 定积分
4.2.1.可积条件
可积的必要条件：若函数 f(x)在闭区间[a,b]上可积，则 f(x)在[a,b]上有界。
可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。
4.2.2.定积分的计算
1.换元积分法 ( ) ( ( )) ( )
b
a
f x dx f t t dx
从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类
换元积分法。
2.分部积分法 ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
常见的积分和式
1
1
( ) ( )
( ) lim ( )
( 1)( ) ( )
( ) lim ( )
nb
a n
i
nb
a n
i
i b a b a
f x dx f a
n n
i b a b a
f x dx f a
n n
4
1
0
1
1
lim ( ) ( )
n
n
i
i
f f x dx
n n
2 2
0 0
2
0 0
2
0 0 0
(sin ) (cos )
(sin ) 2 (sin )
(sin ) (sin ) (sin )
2
f x dx f x dx
f x dx f x dx
xf x dx f x dx f x dx
2 2
2
0 0
1
sin cos ,n n
n n n
n
I xdx xdx I I
n
使用分部积分法的常见题型：
被积函数的形式 所用方法
( ) , ( )sin , ( )cosx
n n nP x e P x x P x x
进 行 n 次分部 积分，每次 均取
,sin ,cosxe x x 为 ( )v x
( ) ln , ( ) sin , ( )arctann n nP x x P x arc x P x x 取 ( )nP x 为 ( )v x
sin , cosx xe x e x 取 xe 为 ( )v x ，进行两次分部积分
4.2.3.定积分的应用
(1)平面图形的面积
21
( ) ( ) ( )
2
dS f x dx y dy r d
(2)旋转体的体积
2 2( ) ( ) 2 ( )dV f x dx y dy xf x dx
(3)弧长、曲率
弧微分公式： 2 2 2 2( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )ds dx dy f x dx y dy
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x t y t dt r r d
曲率：
2 2 3/2 2 3/2
| ( ) ( ) ( ) ( ) | | |
| |
[ ( ) ( )] (1 )
d y t x t y t x t y
K
ds x t y t y
(4)静矩、转动惯量
mr, mr
2
(5) 1 2
2
m m
F G
r
引力
①均匀细杆质量为 M，长度为 l，在杆的延长线上离右端为 a 处有一质量为 m
的质点，则质点与细杆之间的引力为 F=kMm/a(a+l).
②均匀圆环质量为 M，半径为 r，在圆心的正上方距离为 b 处有一质量为 m
的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为
3
2 2 2
F=
( )
kMmb
r b
.
③均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。
4.3 广义积分
广义积分审敛法
1.比较法 f(x)≤kg(x),k≥0
2.比较法的极限形式 ( )
lim
( )x
f x
k
g x
3.柯西收敛准则 | ( ) |
A
A
f x dx
几个常见的广义积分
, 1 , 1
1. , 0 , 0
( ), 1 , 1
, 1 , 0
3. , 1 , 0
ln , 1 , 0
k
b
p pa a
x
pa a
p pdx dx
a a
x x ap p
pdx
a x e dx k
x x p
收敛 收敛
；
发散 发散
收敛 收敛
；
发散 发散
20
1
1
I=
(1 )(1 ) 4
x
I dx t
x x
2xe dx
第 5 章 无穷级数
常数项级数敛散性的判定
1.若 lim 0n
n
u
，级数发散，等于零，需进一步判定。
2.若
1
n
n
u
为正项级数，根据一般项的特点选择相应判别法：
①一般项中含有 n!或 n 的乘积形式，采用比值判别法；
②一般项中含有以 n 为指数幂的因子，采用根值判别法；
③一般项中含有形如 n
α（α 不一定是整数）的因子，采用比较判别法；
④利用已知敛散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性；
⑤采用定义，部分和数列{Sn}有上界。
3. 若
1
n
n
u
为任意级数，若其为交错级数，采用莱布尼茨判别法，若不为交
错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法的条件，采用比值判别法和根
值判别法。
求函数项级数的收敛域：（1）比值法 1( )
lim | | 1
( )
n
n
n
u x
u x
；（2）根值法 lim ( ) 1n
n
n
u x
。
求幂级数的收敛域：（1）比值法 1 1( )
lim | | lim | | 1
( )
n n
n n
n n
a u x
a u x
或
；
（2）根值法 lim | | lim ( ) 1n n
n n
n n
a u x
= 或 。
常数项级数的求和：1.直接计算部分和 Sn，然后求极限；
2.利用相应的幂级数。
幂级数的求和：利用逐项求导，逐项积分，四则运算等手段，将其化为可求
和形式（即前面的麦克劳林公式）。
求函数的幂级数展开式：就是求泰勒公式（前面有求泰勒公式的三个方法）。
傅立叶级数
0
1
( )
2
( cos sin )n n
n
a
f x
a nx b nx
，
1
( )cos
1
( )sin
n
n
a f x nxdx
b f x nxdx
狄利克雷充分条件 ( )
( 0) ( 0)
( )
2
1
[ ( 0) ( 0)]
2
f x
f x f x
S x
f f x
，续点
，间断点
，
几个重要的级数
1.几何级数
1
1
| | 1
| | 1
n
n
q
aq
q
当 时收敛
当 时发散
2.p-级数
1
11
n 1
p
n
当p 时收敛
当p 时发散
3.
2
11
=
ln 1
p
n
p
n n p
当 时收敛
当 时发散
4.
0
1
!n
e
n
5.
2
2
1
1
6n n
第 6 章 微分方程
1. 可分离变量方程
( ) ( )
dy
g x h y
dx
2.
1 1 1
2 2 2
( , ) ( )
( )
dy y
f x y
dx x
a x b y cdy
f
dx a x b y c
齐次方程
可化为可分离变
量方程的方程 可化为齐次方程的方程
3.一阶线性方程 ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) )
P x dx P x dxdy
P x y Q y y e C Q x e dx
dx
5
4.伯努利方程 1( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )
dy dz
P x y Q x y y z P x z Q x
dx dx
令
5.全微分方程 特殊路径法，凑微分法
6. y ( , ) ,
x ( , ) ,
dp
y f x y p y y
dx
dp
y f y y p y y y
dy
不含 令
可降阶的
高阶方程
不含 令
7.
1
2 1 2
1 1 2 2
(1)
(2) ( )
( ) ( ) 0
(3)
(
y
y u x y y
y p x y q x y
y c y c y
y p x
已知
二阶齐次
线 令 ，代入求出
性
微
分
二阶非齐次
方
程
1 2
1 1 2 2*
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2
*
1 1 2 2
(1) ,
0
(2) ( ) ( ) ( ) ( ), ,
) ( ) ( ) ( )
(3)
y y
u y u y
y u x y x u x y x u u
y q x y f x u y u y f x
y c y c y y
求出对应齐次方程的
令 求出
8.常系数线性微分方程
二阶齐次
( )y p x y
( ) 0q x y
特征方程的根 微分方程的
线性无关解
微分方程的
通解
互异实根
r1,r2
1 2,r x r xe e 1 2
1 2
r x r x
y c e c e
二重实根
r1=r2=r
,rx rxe xe
1 2( ) rxc c x e
共轭复根
r1,2=α±iβ
cos , sinx xe x e x 1 2( cos sin )xe c x c x
二阶非齐次
( )y p x y
( ) ( )q x y f x
（1）求对应齐次方程的 y1,y2
（2） 0 1
2
* ( ) ( ... )
( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
x k m x
m
m
y Q x e x A A x A x e
Q x p Q x p q Q x p x
令
（3） *
1 1 2 2y c y c y y
9.欧拉方程
( ) 1 ( 1)
1 1
( )
1 1
... ( )
, , ( 1)...( 1)
[ ( 1)...( 1) ( 1)...( 2) ... ] ( )
n n n n
n n
k
t k k k
k
t
n
x y p x y p xy p y f x
d
x e D x y D D D k y
dt
D D D n p D D D n p D y f e
令 则
第 7 章 向量代数与空间解析几何
( )
( , , ) ( ) =
x y z
x y z x y z
x y z x y z
i j k a a a
a b a a a a b c a b c b b b
b b b c c c
叉积 混合积
平行六面体的体积
0 0 0( ) ( )+C(z-z )=0
1
0
A x x B y y
x y z
a b c
Ax By Cz D
点法式
三点式 混合积为零
平面
方程 截距式
一般式
0
0
0
0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
x x mt
y y nt
z z pt
x x y y z z
m n p
A x B y C z D
A x B y C z D
参数式
直
线
对称式
方
程
一般式
平面束方程
1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C z D A x B y C z D
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
| |
cos sin ( )
A A B B C C
A B C A B C
两平面夹角
平面与直线的夹角
两直线夹角
点到直线的距离 0 0 0
2 2 2
| |Ax By Cz
d
A B C
点到直线的距离 1 0| |
| |
p p s
d
s
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 - 1 2
0
( )
( )
( )
z
x z x z
x pz
a b a b
x y z
x y z R
a b c
x x t
y y t
z z t
绕 轴旋转
柱面：椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面
球面 椎面
常
见
二
旋转面
次
曲
线
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
( ) ( ) cos
( ) ( ) sin
( )
+
1
+
( , ) 1( )
( , ) 0
0
1( )
2
z
x x t y t
y x t y t
z z t
x y z
a b
x y z
f x z
f x y z a b
y
x y z
a b
x y pz
x y z
a b c
绕 轴旋转
旋转椭园面
旋转双 单叶
曲面 双叶
旋转抛物面
椭球面
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
( )
1 1
- ( )
x y
z
x y z a b
a b c x y
z
a b
椭圆
单
双曲面 抛物面
双
双曲
第 8 章 多元函数微分学
复合函数微分法，关键在于确定哪些是中间变量，哪些是自变量
1 2( , ,..., )
1 ( , )
( , , ) 0 ( , )
( , , ) 0 1 ( , )
( , )
( ,
i
n
i y
Fxy
F x x x
x F
du F G
F x u v dx J x v
G x u v dv F G
dx J u x
F x y
由方程确定的隐函数
隐
函
数
微 由方程组确
分 定的隐函数
法
1 ( , ) 1 ( , )
,
, , ) 0 ( , ) ( , )
( , , , ) 0 1 ( , ) 1 ( , )
,
( , ) ( , )
u F G du F G
u v x J x v y J y v
G x y u v v F G v F G
x J u x y J u y
0 0 0
0 0
( ( ), ( ), ( ))
( ), ( )
( , ) ( , ) ( , )
( , , )
( , ) ( , ) ( , )
x t y t z t
y x z x
F G F G F G
y z z x x y
曲线的切线
和法平面
0 0 0
0 0 0 0
( ( ), ( ), ( ))
( ( , ), ( , ), 1)
( , ) ( , ) ( , )
( , , )
( , ) ( , ) ( , )
x y z
x y
F P F P F P
f x y f x y
y z z x x y
u v u v u v
曲面的切平面
和法线
二元函数泰勒公式
( ) ( 1)
0 0 0 0 0 0
0
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
! !
k n
n
k
h l h l
x y x y
f x h y l f x y f x h y l
k n
多元函数取极值的必要条件：
0 0 0 0( , ) 0, ( , ) 0x yf x y f x y
0 0 0 0
2
2
2
1. ( , ) 0, ( , ) 0
2.(1) 0, 0, 0,
(2) 0, 0,
(3) 0
x yf x y f x y
AC B A A
AC B A
AC B
多元函数
正定,有极小值; 负定,有极大值
取极值的
不定,无极值
充分条件
,
不能确定
求条件极值，用拉格朗日数乘法
0
min( max) ( , )
, ( , ) ( , ) ( , ), 0
( , ) 0
( , ) 0
x
y
F
z f x y
F x y f x y x y F
x y
x y
或
令 有
方向导数：偏导数是函数在平行于坐标轴方向上的变化率，有时需要考虑函
数沿某一指定方向的变化率，这种变化率就是方向导数。
6
方向导数
cos cos cos
u u u u
l x y z
梯度 ( , , )
u u u
x y z
第 9 章 多元函数积分学
9.1 二重积分
2
1
2
1
( )
( )
( )
( )
1. ( , )
2.y ( , )
( , )
3. ( (
( , )
( , )
b y x
a y x
d x y
c x y
D
x I dx f x y dy
I dy f x y dx
x x u v
I f x u
y y u v
I f x y d
型区域
型区域
二重积分 换元法令
, ), ( , )) | |
1 ( , )
cos
2 ( cos , sin )
sin
D
D
D
v y u v J dudv
x u a
I f u a v b dudv
y v b
x r
I f r r rdrd
y r
平移变换令
极坐标变换令
9.2 三重积分
( , , )
2. ( , , ) ( ( , , ), (...), (...)) | |
( , , )
(1)
( , , )
v
v
x x u v w
y y u v w I f x u v w y z J dudvdw
z z u v w
I f x y z dv
1.二套一，一套二
换元
令
法
平移
三重积分
2
(...)
cos
(2) sin (...)
sin cos
(3) sin sin (...) s
cos
v
v
x u a
y v b I f dudvdw
z w c
x r
y r I f rdrd dz
z z
x r
y r I f r
z r
令
变换
柱坐标
令
变换
球坐标
令
变换
2
in
sin cos
(4) sin sin (...) sin
cos
v
v
drd d
x ar
y br I f abcr drd d
z cr
椭球
坐标令
变换
9.3 重积分的应用
2 2 2
2
(1) , 1 ( , ) ( , ) ,
cos( , )
( , , )
(2)
( , , )
(3) ( ) (
x y
v
v
z
dxdy
f x y f x y dxdy EG F dudv
n z
x x y z dv
x
x y z dv
mr dJ
曲面面积面积元素：
物体重心
转动惯量 对z轴 2 2 2) ( , , ) ( , , )xyx y x y z dv xy dJ z x y z dv
对 平面
9.4 曲线积分
( , )
( ( , , ) )
( ) [ (...) ( ) (...) ( ) (...) ( )]
L
L A B
f x y z ds
Pdx Qdy Rdz P x t Q y t R z t dt
代入参数方程
第一类 代入弧微分公式
第二类
9.5 曲面积分
( ( , , ) )
( ) [ ( ) ( ) ]
S
S Dxy
f x y z dS
z z
Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdy
x y
第一类 代入面积元素
第二类
9.6 格林公式
( )
( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )
(1)
D L
L D
D L
L
Q
dxdy Qdy
xQ P
Pdx Qdy dxdy
Px y
dxdy Pdx
y
Q P
i Pdx Qdy ii iii du Pdx Qdy iv i
x y
Pdx Qdy
与路径无关
不定积分法
求 的原函数 (2) ,
(3)
Q P
x y
若 特殊路径法
凑微分法
9.7 高斯公式
S
( )
v S
v v S
v S
P
dv Pdydz
x
P Q R Q
Pdydz Qdzdx Rdxdy dv dv Qdzdx
x y z y
R
dv Pdxdy
z
9.8 斯托克公式
)
Q
Q )
R
R )
( ) 0 ( ) ( )
R
( ) ,
L S
L L S
L S
L
P P
Pdx dzdx dydx
z ydydz dzdx dxdy
Q
Pdx Qdy Rdz dx dxdy dzdy
x y z x z
P Q R R
dz dydz dxdz
y x
i Pdx Qdy Rdz ii iii du Pdx Qdy Rdz
Q
iv
y z
与路径无关
Q
, ( )
P R P
i
z x x y
9.9 如何简化计算
1. 选择积分顺序（二重积分，三重积分）
2. 选择投影方向（第 II 类曲面积分）
3. 利用对称性与奇偶性
4. 换元
5. 曲线和曲面积分，利用已有方程
6. 利用几何或物理意义
7. 利用三个公式
线性代数
第 1 章 行列式
11 11
22 22
11 22
* 0
...
0 *
nn
nn nn
a a
a a
a a a
a a
上三角行列式 下三角行列式
( 1)
2
1 2
2 2
1 1
* 0
( 1) ...
0 *
n n
n n
n
a a
a a a
a a
a a
次三角行列式
* 0
0 *
* 0
) ( 1)
0 0
mn
A A
A B
B B
A A
Laplace A B
B B
两种特殊的
拉普拉斯(
展开式
行列式的性质：行列不变；行行变反；倍加行不变。
范德蒙行列式 三对角行列式
7
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1
1 1 1 1
1 2 3
0
1 1 1 1
( )
0
n
n i j
j i n
n n n n
n
a b
c a b
x x x x c a b
x x x x x x
c a b
x x x x c a b
c a
1 2
D
n n n
aD bcD
重要公式：
1 1* 1n kkAB A B A A A A A A
Cramer 法则： /j jx D D
第 2 章 矩阵
2.1 基本概念
奇异矩阵，非奇异矩阵，零矩阵，同型矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩
阵，对角块矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵
2.2 矩阵的运算
加法，数量乘法，乘法，转置，逆，伴随
*
1 * *
1 1 1 1 1 1 * * 1 1 1
2* * * * * * 1 1 * * *
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T T T
T T n n
nT T
AB B A
A
A AA A A A I
A
AB B A A A A A A A
AB B A A A A A A A A
*
, ( )
( ) 1, ( ) 1
0, ( ) 2
n r A n
r A r A n
r A n
2 阶矩阵的伴随矩阵：主对角线互换，副对角线变号
2.3 初等变换
Ei(c) Eij(c) Eij 左乘是行变换，右乘是列变换
1
( ) ( ) ( ) ( )i i ij ij ij ijE E c I E c E c I E E I
c
2.4 分块矩阵
同型对角块矩阵
1 1 1 1
2 2 2 2
C C
n n n n
D D
C D C D
C D C D
1 1-1 1
1 11
-1
2 22
-1
2
1 -1
1
A AA
A
n
n nn
A
A AA
A
A AA
-1 1
1 1 1
B 0 0
=
C D
B
D CB D
2.5 常见题型
求方阵的幂：1.r(A)=1；2.A=B+C；3.相似对角化， 1n nA P P
求逆矩阵：公式法，分块矩阵法，初等变换法
第 3 章 线性方程组
3.1 n 维向量
线性组合，线性表出，向量组等价，线性相关，线性无关，向量组的秩，极
大线性无关组
3.2 矩阵的秩
1. 矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的非零主子式的最高阶数
2. 初等变换不改变矩阵的秩
( ) ( ) ( ) ( ) min( ( ), ( ))r A B r A r B r AB r A r B
A 是 m×n 矩阵，若 AB=0，则 ( ) ( )r A r B n
标准相抵型 0
0 0
rI
PAQ
同型等秩⇔相抵
3.3 齐次方程组 Ax=0
判定：有非零解⇔r(A)0，就称 x
T
Ax 为
正定二次型，称 A 为正定矩阵。
二次型正定的充要条件：
１. x
T
Ax 是正定二次型；
２. A 的正惯性指数为 n，即 A I；
３. 存在可逆矩阵 P，使得 A=P
T
P；
４. A 的特征值全大于 0；
５. A 的顺序主子式全大于 0.
必要条件：1.aii>0；2.|A|>0。
概率论与数理统计
第 1 章 概率论的基本概念
1.1 基本概念
随机试验：1.可以重复；2.总体明确；3.单个未知。
样本空间，样本点，随机事件，事件发生，基本事件，必然事件，不可能事
件，差事件，不相容事件，对立事件，逆事件
1.2 频率和概率
在相同条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次
数 nA称为 A 发生的频数，比值 nA/n 称为 A 发生的频率，并记成 fn(A)。
对随机试验 E 的每一事件 A 都赋予一个实数，记为 P(A)，称为时间 A
的概率。集合函数 P(.)满足下列条件：①非负性：P(A) ≥0；②规范性：P(Ω) =1；
③可列可加性：P(A1∪A2∪…)=P(A1)+ P(A2)+…。
当 n→∞时频率 fn(A)在一定意义下接近于概率 P(A)。
1 2 1 2 1 2
1 11
, ,..., , ( ... ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
n n n
n n
i i i j i j
i i j ni
A A A P A A A P A P A P A
P A B P A P B P AB P A P AB P B P BA
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
P A P A P A A P A A
若 互不相容 则
加
广义的,
法
公
式 1
1 2
1
) ... ( 1) ( ... )n
k n
i j k n
A P A A A
, ( ) ( ) ( )
, ( ) ( ) ( )
B A P A B P A P B
P A B P A P AB
减法 若
公式 任意的
1.3 等可能概型
１. 样本空间包含有限个元素。
２. 每个基本事件发生的可能性相同。
具有以上两个特点的试验称为等可能概型，也叫古典概型。
1.4 条件概率
设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，称
( )
P(B|A)=
( )
P AB
P A
为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。
乘法公式 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)
全概率公式 P(A)=P(A|B1)+ P(A|B2)+…+ P(A|Bn)
贝叶斯公式
1
( | )
P(B |A)=
( | )
i
i n
j
j
P A B
P A B
1.5 独立性
设 A、B 是两个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A、B
相互独立，简称 A、B 独立。
A 与 B 相互独立⇔A 与B 相互独立⇔A与 B 相互独立⇔A与B 相互独立
⇔P(A|B)=P(A| B )=P(A) ⇔P(B|A)=P(B| A )=P(B)
第 2 章 随机变量及其分布
2.1 随机变量
设随机试验 E 的样本空间为 S={e}，X=X(e)是定义在样本空间 S 上的实
值单值函数，称 X=X(e)为随机变量。
随机变量的取值随随机试验的结果而定，在试验之前不能预知它取什么
值，且它的取值有一定的概率。这些性质显示了随机变量与普通函数有着本
质的差异。
2.2 离散型随机变量及其分布律
如果随机变量 X 全部可能的取值是有限个或可列无限个，则称 X 为离
散型随机变量。
P(X=xk)=pk为 X 的分布律。
几个常见分布：
１. 0-1 分布 1( ) (1 ) , 1,2k kP X k p p k
２. 二项分布 1( ) (1 ) , 0,1,2,...,k k k
nP X k C p p k n
３. 泊松分布
( ) , 0,1,2,...
!
k
P X k e k
k
４. 几何分布 1( ) , 1,2,...kP X k pq k
５. 超几何分布
1 2
1 2
( ) , 0,1,2,...
k n k
N N
n
N N
C C
P X k k n
C
2.3 随机变量的分布函数
设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数 F(x)=P(X≤x)称为 X 的分布
函数。
分布函数 F(x)具有以下性质：
１. F(x)是一个不减函数
２. 0≤F(x)≤1，且 F(-∞)=0, F(+∞)=1
３. F(x+0)= F(x)，即 F(x)是右连续的
2.4 连续型随机变量及其概率密度
如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x)，存在非负函数 f(x)，使得对于任
意实数 x，均有
( ) ( )
x
F x f t dt
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f(x)称为 X 的概率密度函数，简称概率
密度。
概率密度 f(x)具有以下性质：
１. f(x) ≥0;
２. ( ) 1f x dx
；
３. 2
1
1 2 2 1{ } ( ) ( ) ( )
x
x
P x X x F x F x f x dx ；
４. 若 f(x)在点 x 处连续，则有 ( ) ( )F x f x 。
几个常见分布：
１. 均匀分布
0,
1
,
( ) , ( ) ,
0,
1,
x a
a x b x a
f x F x a x bb a
b a
x b
其他
，
记为 X~U(a,b)
9
２. 指数分布 , 0 1 , 0
( ) , ( )
0, 0,
x xe x e x
f x F x
其他 其他
指数分布和几何分布具有“无记忆性”
３. 正态分布
2
2
( )
2
1
( )
2
x
f x x
，记为 X~N(μ,ζ2)。特别地，当
μ=0, ζ=1 时，称 X 服从标准正态分布。正态分布具有以下性质
(1) 若 2~ ( , ), ~ (0,1)
X
X N N
则
(2) ( ) ( )
x
F x
(3) Φ(-x)= 1-Φ(x)
(4) 若 2 2 2~ ( , ), ~ ( , )X N aX b N a b a 则
2.5 随机变量函数的分布
求随机变量函数的分布：
１. 离散型随机变量函数的分布
列举法：逐点求出 Y 的值，概率不变，相同值合并
２. 连续型随机变量函数的分布
(1) 分布函数法
( )
( ) { } ( ( ) ) ( )Y
g x y
F y P Y y P g X y f x dx
(2) 公式法
如果 y=g(x)处处可导且恒有 g’(x)>0(g’(x)<0)，则 Y=g(X)也是连续
型随机变量，其概率密度为
[ ( )] | ( ) |,
( )
0,
X g
Y
f h y h y y R
f y
其他
其中 x=h(y)是 y=g(x)的反函数。
第 3 章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量
设随机试验 E 的样本空间为 S={e}，X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在样本空
间 S 上的两个随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量或
二维随机变量。
设(X,Y)是一个二维随机变量，x,y 是任意实数，函数
( , ) { } { , }F x y P X x Y y P X x Y y 记成
称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数 F(x,y)具有以下性质：
１. F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数。
２. 0≤F(x,y) ≤1，且 F(-∞,y)= F(x,-∞)= F(-∞, -∞)=0，F(+∞, +∞)=1。
３. F(x,y)关于 x 右连续，关于 y 也右连续。
４. 对于任意的 (x1,y1),(x2,y2),x10 时
XY =1，当 a<0 时
XY =-1。
独立一定不相关，不相关不一定独立。
对于二维正态分布，独立与不相关等价。
4.4 矩、协方差矩阵
( )
k
E X ,k 阶原点矩
{[ ( )] }kE X E X ，k 阶中心矩
( )
k lE X Y ，k+l 阶混合矩
{[ ( )] [ ( )] }k lE X E X Y E Y ，k+l 阶混合中心矩
11 12
21 22
c c
c c
，协方差矩阵
第 5 章 大数定律和中心极限定理
5.1 大数定律
１. 切比雪夫(Chebyshev)大数定律
设随机变量 X1,X2,…,Xn相互独立，期望和方差都存在，且它们的方差有
公共上界，则对于任意实数 ε>0，有
1 1
1 1
lim {| ( ) | } 1
n n
i i
n
i i
P X E X
n n
.
切比雪夫不等式
2
2
{| | }P X
２. 伯努力大数定律
设随机变量 X1,X2,…,Xn相互独立且都服从参数为 p 的 0-1 分布，则对于
任意实数 ε>0，有
1
1
lim {| | } 1 lim {| | } 1
n
A
i
n n
i
n
P X p P p
n n
，即
３. 辛钦大数定律
设随机变量 X1,X2,…,Xn 相互独立,服从统一分布，且具有共同的数学期
望，则对于任意实数 ε>0，有
1
1
lim {| | } 1 X
n
P
i
n
i
P X
n
，即
5.2 中心极限定理
１. 列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）
设随机变量 X1,X2,…,Xn相互独立，服从同一分布，且具有共同的期望和
方差，则
1 (0,1) (0,1)
/
n
k
k
X n
X
N N
n n
近似地 近似地
，即
２. 李雅普诺夫(Liapunov)定理
设随机变量 X1,X2,…,Xn相互独立，他们具有数学期望和方差：
2
2 2
1
2 1 1
2
( ) , ( ) , 1,2,..., ,
1
{| | } 0 (0,1)
k k k k
n
n k
k
n n
k k
k k
k k
n n
E X D X k n
B n
X
E X N
B B
近似地
记 ，若存在正数 ，使得当 时，
，则
３. 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理（二项分布以正态分布为极限）
lim { } ( )
n
X np
P x x
npq
第 6 章 数理统计的基本概念
6.1 随机样本
随机试验全部可能的观察值称为总体。
每一个可能观察值称为个体。
一个总体对应于一个随机变量 X，一般不区分总体与相应随机变量，笼统称
为总体 X。
被抽取的部分个体叫做总体的一个样本。
来自总体 X 的 n 个相互独立且与总体同分布的随机变量称为简单随机变量。
6.2 抽样分布
设 X1,X2,…,Xn是来自总体 X 的一个样本，g(X1,X2,…,Xn)是一个连续函数，若
g 中不含未知参数，则称 g(X1,X2,…,Xn)是一个统计量。
常用的统计量：
样本均值
1
1 n
i
i
X X
n
样本方差 2
1
1
( )
n
i
i
X X X
n
样本 k 阶原点矩
1
1 n
k
i
i
X X
n
样本 k 阶中心矩
1
1
( )
n
k
i
i
X X X
n
经验分布函数 1
( ) ( )nF x S x
n
，S(x)表示值小于 x 的随机变量的个数。
( ) ( )P
nF x F x
来自正态总体的几个常用抽样分布：
１. χ
2分布
设 X1,X2,…,Xn是来自总体 N(0,1)的样本，则称统计量
2 2 2 2
1 2 ... nX X X
服从自由度为 n 的 χ
2分布，记为 χ
2
~χ
2
(n).
现 Xi~N(0,1),由定义 2 2~ (1)iX ，即 2 1
~ ( ,1)
2
iX ，再由分布的可加性知
2 2
1
~ ( ,1)
2
n
i
i
n
X
E(χ
2
)=n, D(χ
2
)=2n
２. t 分布
设 X~N(0,1),Y~χ
2
(n),且 X,Y 相互独立，则称随机变量
/
X
t
Y n
服
从自由度为 n 的 t 分布，记为 t~t(n).
当 n 足够大时，t 分布近似于 N(0,1)分布。
T 分布的上 α 分位点记为 tα(n)，由其概率密度的对称性知 t1-α(n)=- tα(n).
３. F 分布
设 U~χ
2
(n1),V~χ
2
(n2)，且 U,V 相互独立，则称随机变量 1
2
/
/
U n
F
V n
服从
自由度为的 F 分布，记为 F~F(n1,n2).
F 分布的性质：
(1) 若 F~F(n1,n2),则 1/F~F(n2,n1).
(2) 若 t~t(n),则 t
2
~F(1,n).
F 分布的上 α 分位点记为 Fα(n)，
1 1 2
1 2
1
( , )
( , )
F n n
F n n
正态总体样本均值与样本方差的抽样分布：
首选，不论 X 服从什么分布，总有
2
2 2( ) , ( ) , ( )E X D X E S
n
.
１.
2
~ ( , )X N
n
２.
2
2 2
2
( 1)
~ ( 1),
n S
n X S
且 与 相互独立
３. ~ ( 1)
/
X
t n
S n
４.
2 2
1 2
1 22 2
1 2
/
~ ( 1, 1)
/
S S
F n n
,若 2 2
1 2 ,则
2 2
1 2 1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( 1) ( 1)
~ ( 2),
21 1
w
w
X Y n S n S
t n n s
n n
s
n n
第 7 章 参数估计
7.1 点估计
设总体 X 的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数未知，借助
于总体 X 的一个样本来估计未知参数的值称为参数的点估计。
１. 矩估计法
用样本原点矩
1
1 n
k
k i
i
a X
n
来估计总体的原点矩 ( )k
ka E X ，用样本的
11
中心矩
1
1
( )
n
k
k i
i
b X X
n
来估计总体的中心矩 [( ( )) ]k
kb E X E X 。
２. 最大似然估计法
(1) 写出似然函数
1 1
( ) ( , )( ( ) ( , ))
n n
i i
i i
L f x L p x
或 .
(2) 求出使 L(θ)达到最大值的 .
L(θ)是 n 个乘积的形式，而且 L(θ)与 ln L(θ)在同一 θ 处取极值，因此的 θ
最大似然估计量 可以从 ( )
0
dln
d
（对数似然方程）求得。
(3) 用 作为 θ 的估计量。
7.2 估计量的评价标准
１. 无偏性 E( )=θ
２. 有效性 D( 1 )≤D( 2 )
３. 相合性
P
7.3 区间估计
设总体 X 的分布函数 F(x; θ)含有一个未知参数 θ，对于给定值 α(0<α<1)，若
由来自 X 的样本 X1,X2,…,Xn 确定的两个统计量
1 2( , ,... )nX X X 和
1 2( , ,... )nX X X ，对于任意 θ 满足 { } 1P ，则称随机区
间 ( , ) 是的置信水平为的 1-α 置信区间。
置信水平为的 1-α 置信区间不是唯一的。
区间越小表示估计的精度越高。
7.4 正态总体期望与方差的区间估计
待估参数 抽样分布 置信区间
μ ζ
2 已
知
~ (0,1)
/
X
N
n
/2X z
n
ζ
2 未
知
~ ( 1)
/
X
t n
S n
/2 ( 1)
S
X t n
n
ζ
2
μ 已
知
2 2
2
1
1
( ) ~ ( )
n
i
i
X n
2 2
1 1
2 2
/2 1 /2
( ) ( )
( , )
( ) ( )
n n
i i
i i
X X
n n
μ 未
知
2
2
2
( 1)
~ ( 1)
n S
n
2 2
2 2
/2 1 /2
( 1) ( 1)
( , )
( 1) ( 1)
n S n S
n n
μ1
-
μ2
2
1
,
2
2 已
知
1 2
2 2
1 2
1 2
( )
~ (0,1)
X Y
N
n n
2 2
1 2
/2
1 2
X Y z
n n
2
1
=
2
2
=ζ
2，
但 ζ
2
未知
1 2
1 2
1 2
2 2
1 1 2 2
1 2
( )
~ ( 1),
1 1
( 1) ( 1)
2
w
w
X Y
t n n
s
n n
n S n S
s
n n
1 2 2
1 2
1 1
(
2)
wX Y s t
n n
n n
2
1
2
2
2 2
1 2
1 22 2
1 2
/
~ ( 1, 1)
/
S S
F n n
2
1
2
2 1 2
2
2
1
2
2 1 2
1
2
1
( ,
( 1, 1)
1
)
( 1, 1)
S
S F n n
S
S F n n
第 8 章 假设检验
8.1 假设检验
拒绝域：当检验统计量落入其中时，则否定原假设。
小概率事件原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生，若在一次试验
中发生了，就认为不合理，小概率的值常根据实际问题的要求，规定一个可
以接受的充分小的数 α(0<α<1)，当一个事件的概率不大于 α 时，就认为它是
小概率事件。α 称为显著性水平。
统计推断有两类错误，弃真和存伪，只对犯第一类错误的概率加以控制，而
不考虑第二类错误的检验称为显著性检验。Α 就是允许犯第一类错误的概率
的最大允许值。
假设检验的基本步骤；
１. 根据实际问题的要求，提出原假设 H0和备择假设 H1；
２. 给定显著性水平 α 和样本容量 n；
３. 确定检验统计量以及拒绝域的形式；
４. 按 P{H0为真拒绝 H0}≤α 求出拒绝域；
５. 取样，根据样本观察值做出决策，是接受 H0还是拒绝 H0。
8.2 正态总体样本均值与样本方差的假设检验
原假设 H0 检验统计量 备择假设 H1 拒绝域
μ≤μ0
μ≥μ0
μ=μ0
(ζ
2已知)
0
/
X
Z
n
μ<μ0
μ>μ0
μ≠μ0
z≥zα
z≤-zα
|z|≥zα/2
μ≤μ0
μ≥μ0
μ=μ0
(ζ
2未知)
0
/
X
t
S n
μ<μ0
μ>μ0
μ≠μ0
t≥tα(n-1)
t≤-tα(n-1)
|t|≥tα/2(n-1)
μ1-μ2≤δ
μ1-μ2≥δ
μ1-μ2=δ
( 2
1
, 2
2 已知)
2 2
1 2
1 2
X Y
Z
n n
μ1-μ2>δ
μ1-μ2<δ
μ1-μ2≠δ
z≥zα
z≤-zα
|z|≥zα/2
μ1-μ2≤δ
μ1-μ2≥δ
μ1-μ2=δ
( 2
1
= 2
2 =ζ
2，
但 ζ
2未知)
1 2
1 1
w
X Y
t
s
n n
μ1-μ2>δ
μ1-μ2<δ
μ1-μ2≠δ
t≥tα(n1+n2-2)
t≤-tα(n1+n2-2)
|t|≥tα/2(n1+n2-2)
2 ≤ 2
0
2 ≥ 2
0
2 = 2
0
(μ 已知)
2 2
2
1
1
( )
n
i
i
X
2 > 2
0
2 < 2
0
2 ≠ 2
0
2 2 ( )n
2 2
1 ( )n
2 2
/2( 1)n
或 2 2
1 /2 ( )n
2 ≤ 2
0
2 ≥ 2
0
2 = 2
0
(μ 未知)
2
2
2
( 1)n S
2 > 2
0
2 < 2
0
2 ≠ 2
0
2 2 ( 1)n
2 2
1 ( 1)n
2 2
/2( 1)n
或
2 2
1 /2( 1)n
2
1
≤ 2
2
2
1
≥ 2
2
2
1
= 2
2
(μ1,μ2未知)
2
1
2
2
S
F
S
2
1
> 2
2
2
1
< 2
2
2
1
≠ 2
2
F≥Fα(n1-1,n2-1)
F≤F1-α(n1-1,n2-1)
F≥Fα/2(n1-1,n2-1)
F≥F1-α/2(n1-1,n2-1)
版本：5.1，日期 2009/12/13
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作者博客：www.yanjiuyanjiu.com [研究研究]
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