四川省成都石室中学2021届高三数学(理)上学期开学试题(Word版附答案)

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四川省成都石室中学2021届高三数学(理)上学期开学试题(Word版附答案)

石室中学高2021届2020-2021学年度上期入学考试 理科数学试卷 一、选择题(共12小题;共60分)‎ ‎1.已知集合,则集合的元素个数是( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎2.i为虚数单位, , 则的共轭复数为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.石室中学为了解1 000名学生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验,若46号学生被抽到,则以下4名学生中被抽到的是( )‎ A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生 ‎4.函数的零点所在的大致区间是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知向量,,则是//的( )‎ A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 ‎6 .已知的内角的对边分别为,若,,,则为( )‎ A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150°‎ ‎7.下列函数中,既是奇函数又在单调递减的函数是( )‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林 A. B. C. D.‎ ‎8.抛物线的焦点为,其准线与轴交于点,点在抛物线上,‎ 当时,的面积为( )‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎9. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P表示估计结果,‎ 则图中空白框内应填入( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 已知,则的大小关系为( )‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知a为常数,函数有两个极值点x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(共4小题;共20分) ‎ ‎13.已知双曲线的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为_______________‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林 ‎14.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为___________钱.‎ ‎15.已知是定义域为的奇函数,是的导函数,,当时,,则使得成立的的取值集合是___________.‎ ‎16.已知棱长为1的正方体,过对角线作平面交棱于点,交棱于点,则:①平面分正方体所得两部分的体积相等;②四边形一定是平行四边形;‎ ‎③平面与平面不可能垂直; ④四边形的面积的最大值为.‎ 其中所有正确结论的序号为_______ ‎ 三、解答题(共6小题;共70分)‎ ‎17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后,从全体考生中随机抽取名,获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩(),绘制成如图散点图:‎ 根据散点图可以看出与之间有线性相关关系,但图中有两个异常点.经调查得知,考生由于重感冒导致物理考试发挥失常,考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确,剔除这两组数据后,对剩下的数据作处理,得到一些统计的值:其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩,,与的相关系数.‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林 ‎(Ⅰ)若不剔除两名考生的数据,用组数据作回归分析,设此时与的相关系数为.试判断与的大小关系(不必说理由);‎ ‎(Ⅱ)求关于的线性回归方程,并估计如果考生参加了这次物理考试(已知考生的数学成绩为分),物理成绩是多少? ‎ 附:回归方程中, ‎ ‎18.已知三次函数(为常数).‎ ‎(1)当时,求函数在处的切线方程;‎ ‎(2)若,讨论函数在的单调性.‎ ‎19.如图,四边形与均为菱形,,且.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,短轴长为2,直线与椭圆有且只有一个公共点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)是否存在以原点为圆心的圆满足:此圆与直线相交于,两点(两点均不在坐标轴上),且,的斜率之积为定值,若存在,求出此定值和圆的方程;若不存在,请说明理由.‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林 ‎21.已知函数,其中常数,自然常数.‎ ‎(Ⅰ)当实数时,求在区间上的最值;‎ ‎(Ⅱ)设函数在区间上存在极值,求证:.‎ ‎22.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为为参数).‎ ‎(Ⅰ)写出的极坐标方程; ‎ ‎(Ⅱ)过原点的射线与的异于极点的交点为,,为上的一点,且,求面积的最大值.‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林 石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(理科)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A C A D C D C D D C C ‎13. 14. 15. ,, 16.①②④ ‎ ‎17.(Ⅰ).......................4分 ‎(Ⅱ)由题中数据可得:,................6分 所以.............8分 又因为,所以,‎ ‎,所以,................10分 将代入,得,‎ 所以估计同学的物理成绩为分.....................12分 ‎18.(1)当时,函数 即切线的斜率..................2分 切线方程为即切线为:..................4分 ‎(2)对称轴为..................5分 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林 当时,即,‎ 在上单调递增;.................8分 当时,即,又 ‎ 令,则,‎ 当或时,;‎ 当时,;‎ 在,上单调递增;‎ 在上单调递减. .................12分 ‎19.(1)设与相交于点,连接,‎ ‎∵四边形为菱形,∴,且为中点,‎ ‎∵,∴,‎ 又,∴平面.…………………5分 ‎(2)连接,∵四边形为菱形,且,∴为等边三角形,‎ ‎∵为中点,∴,又,∴平面.‎ ‎∵两两垂直,∴建立空间直角坐标系,如图所示,………7分 设,∵四边形为菱形, ,∴. ‎ ‎∵为等边三角形,∴.‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林 ‎∴,‎ ‎∴.‎ 设平面的法向量为,则,‎ 取,得.设直线与平面所成角为,………10分 则. …………………12分 ‎20.解:(1)由离心率为,可得,‎ 由短轴长为2,可得, …………1分 又,解得,,‎ 则椭圆的方程为; …………4分 ‎(2)存在符合条件的圆,此圆的方程为.‎ 证明如下:假设存在符合条件的圆,‎ 设此圆的方程为,‎ 当直线的斜率存在时,设的方程为,‎ 由可得,…………5分 因为直线与椭圆有且只有一个交点,‎ 所以△,即,…………6分 由方程组可得,‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林 则△,‎ 设,,,,则,,…………7分 设直线,的斜率为,,‎ 所以…9分 将代入上式,可得,…………10分 要使为定值,则,即,验证符合题意.‎ 所以当圆的方程为时,圆与的交点,满足为定值,…………11分 当直线的斜率不存在时,由题意可得的方程为,此时圆与的交点为,也满足,‎ 综上可得当圆的方程为时,直线与圆的交点,满足斜率之积为定值.……12分 ‎21.(Ⅰ)当时,,,‎ 所以在单减,在单增,…………2分 ‎,,所以,.…………5分 ‎(Ⅱ)依题意,.‎ 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林 则,令,,,‎ 所以在上是单调增函数.‎ 要使得在上存在极值,‎ 则须满足即 所以,,即.…………8分 所以 当时,令,,,所以 所以,.…………11分 即,‎ 所以.…………12分 ‎22.(Ⅰ)由曲线的参数方程为参数).‎ 可得曲线的普通方程为.‎ 将,代入上式,得.‎ 所以的极坐标方程为. …………4分 ‎(Ⅱ)设点的极坐标为,,点的极坐标为,‎ 则,, …………6分 于是的面积 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林 ‎ …………9分 当时,取得最大值.‎ 所以面积的最大值为.…………10分 第‎ 11 页 共4页 命题人:‎胡嘉苇 文海伦 审题人:邵成林
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