【数学】2019届一轮复习人教A版（文）5高考中的三角函数与平面向量问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）5高考中的三角函数与平面向量问题学案

高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题 ‎【考点自测】‎ ‎1．(2016·全国Ⅱ)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )‎ A．x＝－(k∈ ) B．x＝＋(k∈ )‎ C．x＝－(k∈ ) D．x＝＋(k∈ )‎ 答案 B 解析 由题意将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈ )得函数的对称轴为x＝＋(k∈ )，故选B.‎ ‎2．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于( )‎ A.B.C．－D．－ 答案 C 解析 设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，可知BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝＝－3，所以cosA＝－.‎ ‎3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于( )‎ A．2B．4C．5D．10‎ 答案 D 解析 将△ABC的各边均赋予向量，‎ 则＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝－6‎ ‎＝42－6＝10.‎ ‎4．(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.‎ 答案 解析 在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝，由正弦定理得b＝＝.‎ ‎5.若函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A＝________.‎ 答案 π 解析 由题意知M，N，‎ 又∵·＝×－A2＝0，∴A＝π.‎ 题型一 三角函数的图象和性质 例1 (2016·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，‎ 再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．‎ 解 (1)由f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2‎ ‎＝2sin2x－(1－2sinxcosx)‎ ‎＝(1－cos2x)＋sin2x－1‎ ‎＝sin2x－cos2x＋－1‎ ‎＝2sin＋－1.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈ )，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈ )．‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈ ).‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，‎ 把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，‎ 得到y＝2sin＋－1的图象，‎ 再把得到的图象向左平移个单位长度，‎ 得到y＝2sinx＋－1的图象，‎ 即g(x)＝2sinx＋－1.‎ 所以g＝2sin＋－1＝.‎ 思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．‎ 跟踪训练1已知函数f(x)＝5sinxcosx－5cos2x＋(其中x∈R)，求：‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．‎ 解 (1)因为f(x)＝sin2x－(1＋cos2x)＋ ‎＝5＝5sin，‎ 所以函数的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈ )，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈ )，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈ )．‎ 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈ )，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈ )，‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈ )．‎ ‎(3)由2x－＝kπ＋(k∈ )，得x＝＋(k∈ )，‎ 所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈ )．‎ 由2x－＝kπ(k∈ )，得x＝＋(k∈ )，‎ 所以函数f(x)的对称中心为(k∈ )．‎ 题型二 解三角形 例2(2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.‎ ‎(1)求cosB；‎ ‎(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.‎ 解 (1)由题设及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2，‎ 故sinB＝4(1－cosB)．‎ 上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，‎ 解得cosB＝1(舍去)或cosB＝.故cosB＝.‎ ‎(2)由cosB＝，得sinB＝，‎ 故S△ABC＝acsinB＝ac.‎ 又S△ABC＝2，则ac＝.‎ 由余弦定理及a＋c＝6，‎ 得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)‎ ‎＝36－2××＝4.‎ 所以b＝2.‎ 思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．‎ 跟踪训练2(2017·北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.‎ ‎(1)求sinC的值；‎ ‎(2)若a＝7，求△ABC的面积．‎ 解 (1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，‎ 所以由正弦定理得 sinC＝＝×＝.‎ ‎(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得 ‎72＝b2＋32－2b×3×，‎ 解得b＝8或b＝－5(舍去)．‎ 所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝6.‎ 题型三 三角函数和平面向量的综合应用 例3已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＝，求f(x)＋4cos的取值范围．‎ 解 (1)因为a∥b，所以cosx＋sinx＝0，‎ 所以tanx＝－.‎ cos2x－sin2x＝＝＝.‎ ‎(2)f(x)＝2(a＋b)·b ‎＝2·(cosx，－1)‎ ‎＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋.‎ 由正弦定理＝，得 sinA＝＝＝，‎ 所以A＝或A＝.‎ 因为b＞a，所以A＝.‎ 所以f(x)＋4cos＝sin－，‎ 因为x∈，所以2x＋∈，‎ 所以－1≤f(x)＋4cos≤－.‎ 所以f(x)＋4cos的取值范围是.‎ 思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．‎ ‎(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．‎ 跟踪训练3在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA－2cosC,2c－a)，n＝(cosB，b)平行．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若bcosC＋ccosB＝1，△ABC的周长为5，求b的长．‎ 解 (1)由已知得b(cosA－2cosC)＝(2c－a)cosB，‎ 由正弦定理，可设＝＝＝k≠0，‎ 则(cosA－2cosC)ksinB＝(2ksinC－ksinA)cosB，‎ 即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，‎ 化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，‎ 又A＋B＋C＝π，‎ 所以sinC＝2sinA，因此＝2.‎ ‎(2)由余弦定理可知，‎ bcosC＋ccosB＝b·＋c· ‎＝＝a＝1，‎ 由(1)知＝＝2，则c＝2，‎ 由周长a＋b＋c＝5，得b＝2.‎ ‎1．已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2，x∈R(其中ω>0)．‎ ‎(1)求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调递增区间．‎ 解 (1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)‎ ‎＝2－1＝2sin－1.‎ 由－1≤sin≤1，‎ 得－3≤2sin－1≤1，‎ 所以函数f(x)的值域为[－3,1]．‎ ‎(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，‎ 所以＝π，即ω＝2.‎ 所以f(x)＝2sin－1，‎ 再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈ )，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈ )．‎ 所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(k∈ )．‎ ‎2．(2018届河南师范大学附属中学开学考试)在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(cosA，sinA)，n＝(－sinA，cosA)，且|m＋n|＝2.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若b＝4，c＝a，求△ABC的面积．‎ 解 (1)|m＋n|2＝(cosA＋－sinA)2＋(sinA＋cosA)2＝4＋2(cosA－sinA)‎ ‎＝4＋4cos，‎ ‎∴4＋4cos＝4，∴cos＝0，‎ 又∵A∈(0，π)，故＋A＝，∴A＝.‎ ‎(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 即a2＝(4)2＋(a)2－2×4×acos，‎ 解得a＝4，∴c＝8，‎ ‎∴S△ABC＝×4×8×＝16.‎ ‎3．(2018·合肥质检)已知a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；‎ ‎(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．‎ 解 (1)f(x)＝a·b＋ ‎＝(sinx，cosx)·(cosx，－cosx)＋ ‎＝sinx·cosx－cos2x＋ ‎＝sin2x－cos2x＝sin.‎ 令2x－＝kπ＋(k∈ )，得x＝＋(k∈ )．‎ 即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈ )．‎ ‎(2)由条件知sin＝sin＝>0，‎ 且00)个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sinx的图象，求φ的最小值．‎ 解 (1)f(x)＝m·n－ ‎＝2acos2x＋bsinxcosx－，‎ 由f(0)＝2a－＝，得a＝，‎ 此时，f(x)＝cos2x＋sin2x，‎ 由f(x)≤＝1，得b＝1或b＝－1，‎ 当b＝1时，f(x)＝sin，经检验为最高点；‎ 当b＝－1时，f(x)＝sin，经检验不是最高点．‎ 故函数的解析式为f(x)＝sin.‎ ‎(2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y＝sin的图象，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y＝sin的图象，‎ 所以2φ＋＝2kπ(k∈ )，‎ φ＝－＋kπ(k∈ )，‎ 因为φ>0，所以φ的最小值为.‎ ‎6．(2017·山东淄博模拟)已知函数f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋(ω>0)，与f(x)图象的对称轴x＝相邻的f(x)的零点为x＝.‎ ‎(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；‎ ‎(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c且c＝，f(C)＝1，若向量m＝(1,sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．‎ 解 (1)f(x)＝sin2ωx－＋ ‎＝sin2ωx－cos2ωx＝sin.‎ 由与f(x)图象的对称轴x＝相邻的零点为x＝，‎ 得·＝－＝，‎ 所以ω＝1，即f(x)＝sin，‎ 令 ＝2x－，‎ 函数y＝sin 的单调递增区间是，k∈ ，‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈ ，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ ，‎ 设A＝，‎ B＝，‎ 易知A∩B＝，‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎(2)f(C)＝sin－1＝0，‎ 则sin＝1，‎ 因为0

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