人教a版高中数学选修1-1课时提升作业（二十五）3-4生活中的优化问题举例探究导学课型word版含答案
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课时提升作业(二十五)
生活中的优化问题举例
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为 ( )
A.10 B.15 C.25 D.50
【解析】选 C.设内接矩形的长为 x(0
0),L′=2- .令 L′=0,得 x=16 或 x=-16(舍去).
因为 L 在(0,+∞)上只有一个极值点,所以它必是最小值点.因为 x=16,所以
=32.故当堆料场的宽为 16m,长为 32m 时,可使砌墙所用的材料最省.
【拓展延伸】求几何体面积或体积的最值问题的关键:
1.分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数,
2.再用导数求最值.
3.(2015·宝鸡高二检测)某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y1=17x
2(x>0);
生产成本 y2(万元)是产量 x(千台)的函数:y2=2x
3-x2(x>0),为使利润最大,则应生产 ( )
A.6 千台 B.7 千台 C.8 千台 D.9 千台
【解析】选 A.设利润为 y(万元),则 y=y1-y2=17x
2-2x3+x2=18x2-2x3(x>0),
y′=36x-6x2,令 y′=0,则 x=0 或 x=6.
故当 00,函数为增函数,当 x>6 时,函数为减函数.
故当 x=6 时,y 取最大值,故为使利润最大,则应生产 6千台.
4.(2015·北京高二检测)某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平
方成正比,比例系数为 k(k>0).已知贷款的利率为 0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放
贷出去.设存款利率为 x,x∈(0,0.0486),若使银行获得最大效益,则 x 的取值为 ( )
A.0.016 2 B.0.032 4 C.0.024 3 D.0.0486
【解题指南】先求出存款量、利息以及贷款收益,得出银行收益,求导依据函数的单调性即可
求出最值.
【解析】选 B.依题意,存款量是 kx2,银行支付的利息是 kx3,贷款的收益是 0.0486kx2,其中 x
∈(0,0.0486).所以银行的收益是 y=0.0486kx2-kx3
(00;
当 0.03240,该函数在(0,1)上为增函数,
当 x∈(1,1.6)时,y′<0,该函数在(1,1.6)上为减函数.
所以当 x=1 时,y 取得最大值为-2×13+2.2×12+1.6×1=1.8(m3).
此时容器的高为 3.2-2×1=1.2(m).
答:容器高为 1.2 m 时,容器的容积最大,最大容积为 1.8 m3.
【补偿训练】(2015·贵阳高二检测)将一段长为 100cm 的铁丝截成两段,一段弯成正方形,
一段弯成圆,问如何截可使正方形与圆面积之和最小?
【解析】设弯成圆的一段长为 xcm,另一段长为(100-x)cm,记正方形与圆的面积之和为 S,
则 S=π + (030 时,y′>0.
所以当x=30时,取得最小值,此时AC=50-x=20(km),即供水站C建在A,D之间距甲厂20km处,
可使水管费用最省.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.把一个周长为 12cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的
比为 ( )
A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π
【解析】选 C.设圆柱高为 x,底面半径为 r,则 r= ,圆柱体积 V=π ·x
= (x
3
-12x
2
+36x)(00,p(x)递增,当 x∈(300,390)时,p′(x)<0,p(x)递减,
所以当 x=300 时,p(x)有最大值 40000 元,
当 x>390 时,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,
所以当 x=300 时,总利润最大.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.(2015·渭南高二检测)某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形场地.如果铁丝网长
40m,那么围成的场地面积最大为________.
【解析】设靠墙的一面长 xm,围成的场地面积为 ym2,
此时矩形的宽为 >0.
所以 y=x· =- x
2
+20x(00.当 200),
y′=- + ,令 y′=0,
得 x=5 或 x=-5(舍去).
当 05 时,y′>0.
所以当 x=5 时,y 取得极小值,也是最小值.
所以当仓库建在离车站 5千米处时,两项费用之和最小.
答案:5
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:
元/千克)满足关系式 y= +10(x-6)
2
.其中 30,V(x)为增函数;
当 20).求:
(1)利润最大时的产量及最大利润(设生产件数 x与年需求量相等).
(2)需求量对价格的弹性的绝对值为 1 时的价格.
(3)若企业将价格定为 p= ,求此时需求量对价格的弹性,并说明它的实际意义.
【解析】(1)由于生产件数与年需求量 x 相等,所以 x=a-bp,p= .
由题意可知此时年利润 l=h(x)=px-(c+dx)= x-(c+dx).h′(x)=- x+ -d,
令 h′(x)=0,得 x= (a-bd).
当 x< (a-bd)时,h′(x)>0;
当 x> (a-bd)时,h′(x)<0,
所以 x= (a-bd)为极大值点,即最大值点.
故 x= (a-bd)时,l 取得最大值 (a-bd)
2
-c.
(2)g(p)=a-bp,则需求量对价格的弹性为 = =- .
令 =1,得 p= .
(3)若 p= ,则需求量对价格的弹性为 =- =- =- =- .它表示价格定为
p= 时,价格上升 1%时,需求量相应会减少 33.3%.
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