数学人教B版必修4教案：1-2-1 任意三角函数的定义（一）

数学人教B版必修4教案：1-2-1 任意三角函数的定义（一）

1．21 任意三角函数的定义（一） 一。、教学目标 1．知识目标：（1）让学生理解任意角的三角函数的定义； （2）掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域; (3) .理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号. 2．能力目标：（1）培养学生应用图形分析数学问题的能力； （2）学会运用任意三角函数的定义求相关角的三角函数值； （3）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （4）判断.三角函数值在各象限内的符号. 3．情感目标：（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发 现的创新意识和创新精神； （2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； （3）通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数像一般函数一样，具有一般 函数的抽象美。 二、教学重点 （1） 任意角的正弦、余弦、正切的定义； （2） 三角函数的定义域； （3） 根据任意角的三角函数定义求三角函数值。 （4） 判断.三角函数值在各象限内的符号. 三、教学难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义； 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 复 习 引 入 角的概念 初中学过的锐角三角 函数的定义 教师运用多媒体展示在初中 学习的锐角三角函数的定义。 师：前面我们学习了角的概 念的推广和弧度制，今天我们 在这些知识的基础上一起来 学习任意角的三角函数。我们 在初中已学习了锐角三角函 数，下面先复习锐角三角函数 的有关知识。 共同回顾，点明主题 概 念 形 成 1．用坐标的形式表示出初 中所学的锐角三角函数： 设点 P (x,y)是锐角α终 边上的任意一点，,点 P 到 原点 O 的距离是 r （ 022  yxr ）, 则用含 x、y、r 的式子 表示角α的正弦、余弦、正 切值分别是： sinα= r y ，cosα= r x ， tanα= x y 。 2．任意角的三角函数 （1）确立任意角α在直角 坐标系中的位置； 以坐标原点为角α的顶 1．以坐标原点为角α的 顶点，以 OX 轴的正方向为角 α的始边，则角α的终边落在 直角坐标系的第一象限内，若 点 P (x,y)是角α终边上的任 意一点，,点 P 到原点 O 的距 离是 r（ 022  yxr ）, 试将角α的三角函数用 x、y、 r 的式子表示出来。 学生作图，教师在此过程 中要引导学生在坐标系中作 出符合锐角三角函数定义要 求的直角三角形。该过程中要 适时指点学生，并加强学生与 学生之间的讨论与流。 回答问题：教师通过多媒 体将此过程展示给学生，明确 1、 将初中定义的锐 角三角函数放到 坐标系中讨论， 指明研究函数问 题的工具，完成 从三角形到坐标 系的转化，为后 面在直角坐标系 中定义任意角的 三角函数搭建平 台。 2、通过对比，让学生 对知识进行类比、迁 移及联想，树立他们 勇于探索的信心。 通过分组讨论，加 强学生间的交流与合 作，充分发挥学生学 习的主动性。 概 念 形 成 点，以 OX 轴的正方向为角 α的始边；； （2）在其终边上任取一 点 P(x,y)，设点 P 到原点的 距离为 r，OP =r（r≠0）， 根据三角形的相似知识得： lr x  mr y  l m x y  由此得 lr x  mr y  l m x y  （3） 三角函数定义如 下： r x 叫做角α的余弦，记 作 cosα ,即 cosα= r x ； r y 叫做角α的正弦，记作 sinα，即 sinα= r y ； x y 叫做角α的正切，记 作 tanα，即 tanα= x y 坐标与三角函数的关系。 2．教师提出问题： 问题 1：根据刚才我们在 直角坐标系中讨论的锐角三 角函数，你能给出任意三角的 三角函数定义吗？ 教师一边鼓励学生大胆说 出自己的想法，一边组织学生 讨论，并及时肯定。 回答问题： 通过鼓励和肯定一些好的 想法，让一位能代表大多数意 见的学生主动说出自己对任 意角三角函数的定义。 问题 2：角α的三角函数 值不受终边上的点 P 的位置 的影响吗？ 这是一个较有思考价值的 问题，教师要注意正确地引导 和必要地提示，锐角三角函数 的大小仅与锐角的大小有关， 与直角三角形的大小无关。类 似地……（留给学生思考）教 师边引导，边结合多媒体演 示。 概 念 形 成 角α的其他三种函数： 角α的正割： secα= cos 1 = x r 角α的余割：  sin 1csc  = y r 角α的余切：   tan 1cot = y x 问题 3.依据函数的定义, 这几个比值可以分别构成函 数吗?若能构成,它们的自变 量是什么? X 还是 y? r 还是 角α? 概 念 深 化 概 念 深 化 1． 角 是 “ 任 意 角 ”， 当 β=2kπ+α(k∈Z)时， β与α的同名三角函 数值应该是相等的，即 凡是终边相同的角的 三角函数值都相等。 2． 定义中只说怎样的比 值叫做α的什么函数， 并没有说α的终边在 什么位置（终边在坐标 轴上除外），即函数的 定义与α的终边位置 无关。实际上，如果终 边在坐标轴上，上述定 义同样适用。 3． 三角函数是以“比值” 为函数值的函数。 4． 对 于 正 弦 函 数 sinα= r y ,因为 r>0， 对于第 1到第 3点教师要点 拨,学生思考.对于第 4 点教师 提出问题：谈到函数，定义域 要先行。在此，对三角函数的 定义域要进一步明确，确定三 角函数的定义域的依据是任 意三角函数的定义。三角函数 是以角为自变量的函数，如何 去确定这些函数的定义域（即 限定角的变化范围）？它们的 定义域是什么？ 由学生讨论回答。 1、让学生明确定义是 对任意角而言的，OP 是角α的终边，至于 是转了几圈，按什么 方向旋转的不清楚， 也只有这样，才能说 明角α是任意的。 2、 使学生明确任意 角的三角函数的 定义与锐角三角 函数的定义的联 系与区别。任意 角的三角函数包 含 锐 角 三 角 函 数。实质上锐角 三角函数的定义 与任意角的三角 函数定义是一致 的，锐角三角函 数定义是任意角 三角函数定义的 所以 r y 恒有意义，即α 取任意实数， r y 恒有意 义，也就是说 sinα恒 有意义，所以正弦函数 的定义域是 R；类似地 可写出余弦函数的定 义域；对于正切函数 tanα, 因为 x=0 时， x y 无意义，又当且仅当 α的终边落在 y 轴上 时，才有 x=0，所以当 α的终边落不在 y 轴上 时， x y 恒有意义，即 tanα恒有意义，所以 正切函数的定义域是 {α∣α≠kπ+ 2  （k∈K）} 从而有 y=sinα, α∈R y=cosα, α∈R y=tanα , α≠kπ+ 2  （k∈K） 特例。所不同的 是，锐角三角函 数是以边的比来 定义的，任意角 的三角函数定义 是 以 坐 标 与 距 离、坐标与坐标、 距离与坐标的比 来定义的。 3、让学生掌握正弦函 数、余弦函数、正切 函数的定义域。 使学生进一步巩 固和应用所学知识。 应 用 举 例 例 1 已知角α的终边过 点 P（-2，3），求α的其他三 角函数值。 例 2 求下列各角六个三 角函数值： （1）0； （2）π （3） 2 3 学生板演，教师对学生在 解题思路和规范方面进行指 导。 让学生巩固六种 三角函数的概念，感 受三角函数的定义在 三角函数求值中的应 用。 熟记 0 到 2π范围 内的某些特殊角的三 角函数值。 归 纳 小 结 1． 知识：三角函数的定义 及其定义域。 2． 数学思想方法：数形结 合思想；类比法。 学生反思本节内容，对知 识进行总结，教师对思想方法 进行提炼。 让学生学会学习， 学会反思，学会总结， 重视数学思想方法在 分析问题和解决问题 中的作用。 布 置 作 业 层次一：教材练习 A，1―3 层次二：教材习题 1―2A， 1，2。 层次一的题目要求所有学生 完成，层次二的题目要求中等 以上水平以上的学生完成。 使学生进一步巩 固和应用所学知识。