2020届江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学高三12月联考数学试题（解析版）

2020届江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学高三12月联考数学试题（解析版）

‎2020届江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学高三12月联考数学试题 一、填空题 ‎1．设集合，则的子集个数为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可根据交集定义和子集个数进行求解 ‎【详解】‎ ‎，，则，则的子集个数为个 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算和子集个数的求法，属于基础题 ‎2．双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的方程知，所以双曲线的渐近线方程为．‎ ‎【考点】双曲线的几何性质．‎ ‎3．函数，若，则实数的值为____________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据表达式可判断为偶函数，再结合偶函数性质即可求解 ‎【详解】‎ 由可判断函数为偶函数，又，故或 ‎，解得或 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 本题考查由偶函数的性质求解参数，属于基础题 ‎4．若等差数列和等比数列满足，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得即可.‎ ‎【详解】‎ 由,,,‎ 则．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.‎ ‎5．若命题“，使得成立”是假命题，则实数k的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意先找到等价命题“,都有恒成立”,再求的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎“,使得成立”是假命题等价于“,都有恒成立”是真命题．因为,即的最小值为1,要使“恒成立”,只需,即．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.‎ ‎6．函数的图像必过定点_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数图像平移法则即可求解 ‎【详解】‎ 由根据平移法则向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到，经过，则经过 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数过定点问题，属于基础题 ‎7．设，分别为椭圆的右顶点和右焦点，，为椭圆短轴的两个端点，若点恰为的重心，则椭圆的离心率的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合题意表示出四点坐标，再由重心坐标公式即可求解 ‎【详解】‎ 如图：‎ 由题可知，，，则，即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的基本性质，重心坐标公式的应用，属于基础题 ‎8．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为圆柱的表面积为，所以圆柱的表面积为 ‎【考点】圆柱的侧面积 ‎9．设的三边，，所对的角分别为，，，，则角为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合正弦定理的角化边和余弦定理的代换即可求解 ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力，一般的，在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角，属于中档题 ‎10．已知向量满足且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，，则的值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可设，由题意可得，由两角和的正切公式，可得，再由同角的基本关系式可得，再由正弦定理可得AB，AC，由数量积的定义即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ 解：可设， 由题意可得， 则， 即为， 又为锐角，， 可得， 同理可得， 由正弦定理可得 ‎， 即有， 则． 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．‎ ‎11．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，‎ 圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，‎ 根据新定义可知，曲线到直线的距离为，‎ 对函数求导得，令，‎ 故曲线在处的切线方程为，即，‎ 于是曲线到直线的距离为，则有，‎ 解得或，‎ 当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.‎ 综上所述，.‎ ‎【考点】1.新定义；2.直线与曲线的位置关系 ‎12．已知实数，满足，，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可采用“1”的代换，将中的“1”代换成，同时可代换成，再结合基本不等式特征求解 ‎【详解】‎ ‎，，即 ‎，‎ 当且仅当时取到等号，‎ 又 所以的最小值为：2021‎ 故答案为：2021‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式最值的求解，“1”的代换是关键，属于中档题 ‎13．已知数列满足，且对任意的，都有，若数列满足，则数列的前项和的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由任意的m，n∈N，都有=an，令m=1，可得，可得an=3n，求解bn=2n+1，数列{}的通项cn=，利用裂项相消求解Tn，即可求解取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意m，n∈N，都有=an，‎ 令m=1，可得：，‎ 可得an=3n，‎ ‎∵bn=log3（an）2+1，‎ ‎∴bn=2n+1，‎ 那么数列{}的通项cn==．‎ 那么：Tn=c1+c2+……cn ‎=（+++……+）‎ ‎=‎ ‎=，‎ 当n=1时，可得T1=，‎ 故得Tn的取值范围为[，），‎ 故答案为：[，）．‎ ‎【点睛】‎ 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：‎ ‎(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎14．已知定义域为的函数若关于的方程有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可知，必为其中一个解，当时，也一定满足方程，可联立求解得，则当时，可解得对应的，进而得解 ‎【详解】‎ 由题可知，当时，函数单调递增，则关于在至多两解，故必为其中一个解，即，即当时，，此时由可得①，又关于的方程有无数个不同的实数解，则当时，也一定满足方程，即②，‎ 联立①②得，则当时，，‎ 解得，此时，，此时，则 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数分类讨论的思想，运算及推导能力，分析解决问题的能力，函数与方程的转化思想，属于中档题 二、解答题 ‎15．在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1)10 (2) ‎ ‎【解析】（1）联立，化简即可求得；‎ ‎（2）由可知，需分别求出 先由余弦定理可得的值，再由三边关系求出，进而推出，即可求解 ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以，‎ 又，所以.‎ ‎（2）因为，由正弦定理，得，‎ 又，所以，.‎ 由（1），，‎ 由余弦定理知.‎ 从而（也可由正弦定理求）‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，余弦定理解三角形，同角三角函数的基本关系，运算能力，熟悉公式运用是解题关键，属于中档题 ‎16．如图，在四棱锥中，已知，四边形是平行四边形，且平面平面，点，分别是，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 ‎【解析】（1）可作的中点，连,，通过中位线定理证明四边形是平行四边形，即可得证；‎ ‎（2）要证，即证平面，即证，由题设条件平面平面即可求证，按照合理顺序整理思路即可求证 ‎【详解】‎ ‎（1）取的中点，连,‎ 是中点，，且 底面是矩形，为中点 ‎，且，‎ 四边形是平行四边形 平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2），是中点 平面平面，‎ 平面平面，平面 平面 平面 ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，线面垂直的性质定理和判定定理，属于中档题 ‎17．如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米。‎ ‎（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；‎ ‎（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。‎ ‎【答案】（1）（2）P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小 ‎【解析】（1）首先根据Q为弧AB的中点，得到知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，利用正弦定理得到，根据OA＝2，得到PA＝，OP＝，从而得到y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，根据题意确定出；‎ ‎（2）对函数求导，令导数等于零，求得，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，‎ 又∠APO＝，∠OAP＝，‎ 由正弦定理，得：，又OA＝2，‎ 所以，PA＝，OP＝，‎ 所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，‎ ‎∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，‎ 所以，；‎ ‎（2）令，‎ ‎，得：，‎ 在上递减，在上递增 所以，当，即OP＝时，有唯一的极小值，‎ 即是最小值：＝2，‎ 答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小。‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.‎ ‎18．如图，椭圆的离心率是，左右焦点分别为，，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线过时，的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当时，求直线方程；‎ ‎（3）已知点，直线，的斜率分别为，.问是否存在实数，使得恒成立？‎ ‎【答案】(1) (2) (3)存在，‎ ‎【解析】（1）由焦点三角形的周长特点可求出值，再结合椭圆离心率是，可求出，进而求得椭圆标准方程；‎ ‎（2），设直线方程为，，，可联立直线方程和椭圆标准方程，得出两根和与积的表达式，再结合，代换出与的关系式；‎ ‎（3）先用必要性探路，找特殊情况，当轴可知，此时存在使得成立，根据题意和斜率定义表示出，结合（2）中韦达定理即可得证 ‎【详解】‎ ‎（1）由椭圆定义知的周长为，‎ 所以，所以 又离心率，所以，所以 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）当轴，‎ 所以可设，，‎ 则，消去得 所以 因为，‎ 所以，即代入化简得 所以 解得 所以直线方程为：，‎ ‎（3）当轴可知，此时存在使得成立，‎ 下面证明当时恒成立 因为 所以恒成立 即存在，使得恒成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求法，椭圆中的直线满足某条件求直线方程，椭圆中的直线斜率满足某条件的求法，韦达定理在解析几何中的应用，对运算能力要求高，属于难题 ‎19．设函数，（）.‎ ‎（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；‎ ‎（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；‎ ‎（3）当时，设函数与的图象交于两点．求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得，又，解方程组可得的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得的最小值；(3)先根据零点表示b，代入要证不等式化简得.再构造函数，以及，结合导数研究其单调性，即证得结论 试题解析：解：（1）由，得，又，所以，.‎ 当时，，所以，所以. ‎ 因为函数与的图象在处有相同的切线，‎ 所以，即，解得. ‎ ‎（2）当时，则，又，设，‎ 则题意可转化为方程在上有相异两实根． ‎ 即关于的方程在上有相异两实根．‎ 所以，得，‎ 所以对恒成立． ‎ 因为，所以（当且仅当时取等号），‎ 又，所以的取值范围是，所以．‎ 故的最小值为. ‎ ‎（3）当时，因为函数与的图象交于两点，‎ 所以，两式相减，得. ‎ 要证明，即证，‎ 即证，即证. ‎ 令，则，此时即证．‎ 令，所以，所以当时，函数单调递增．‎ 又，所以，即成立；‎ 再令，所以，所以当时，函数单调递减，‎ 又，所以，即也成立．‎ 综上所述， 实数满足.‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎20．已知数列的首项，其前和为，且满足.‎ ‎（1）用表示的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）当时，证明：对任意，都有.‎ ‎【答案】(1) (2) (3)证明见解析 ‎【解析】（1）令即可求解；‎ ‎（2）当时，通过作差法可求得，再书写一项，通过两式作差可得，分类讨论的奇偶，即可求解；‎ ‎（3）可结合放缩法公式，，分别对化简后的表达式 进行放缩，‎ 再结合裂项公式，的特点即可进一步求解 ‎【详解】‎ ‎（1）由条件得，.‎ ‎（2）由条件得，‎ 两式相减得，‎ 故，‎ 两式再相减得，‎ 构成以为首项，公差为的等差数列；‎ 构成以为首项，公差为的等差数列；‎ 由（1）得；‎ 由条件得，得，‎ 从而，‎ 解法2：‎ 设，即 则有 时，，即 ‎（3）证明：当时，且，由（2）可知 ‎①当时，‎ ‎②当时，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分组讨论法求数列通项公式，放缩法和裂项相消法求证不等式恒成立，对于运算能力，分析转化能力有较高要求，属于难题 ‎21．[选修4-2：矩阵与变换] ‎ 已知矩阵的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为．‎ 若，求，的值．‎ ‎【答案】，的值分别为，．‎ ‎【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得，的值分别为，．‎ 试题解析：‎ 由条件知，，即，即，‎ 所以 解得 所以． ‎ 则，所以 解得 所以，的值分别为，．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线，圆C的参数方程为（为参数）．当圆心C到直线的距离为时，求的值。‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】根据曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化求出曲线的普通方程，利用点到直线的距离公式进行求解，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 直线的直角坐标方程为，‎ 圆的普通方程为， ‎ 圆心到直线的距离，解得或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了主要考查了参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，其中解答中结合点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎23．如图，在底面边长为，侧棱长为的正四棱柱中，是侧棱上的一点，.‎ ‎（1）若，求异面直线与所成角的余弦；‎ ‎（2）是否存在实数，使直线与平面所成角的正弦值是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)存在，‎ ‎【解析】（1）采用建系法进行求解；‎ ‎（2）假设存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值是，则用向量法表示出，再求得平面的法向量为，结合夹角公式即可求得；‎ ‎【详解】‎ 解：（1）建立空间直角坐标系，则，，，，，，.‎ 所以，.‎ ‎，即异面直线与所成角的余弦是.‎ ‎（2）假设存在实数，使直线与平面所成的角的正弦值等于，则 ‎，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则由，得，取，得平面的法向量为.‎ 由直线与平面所成的角的正弦值等于，得 ‎，解得，因为，所以满足条件，‎ 所以当时，直线与平面所成的角的正弦值等于.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查建系法在立体几何中的应用，异面直线所成的夹角，由线面角的正弦值反求参数的问题，能正确表示出各向量和平面的法向量是解题的关键，属于中档题 ‎24．已知抛物线过点，直线过点与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，连接.‎ ‎（1）求抛物线标准方程；‎ ‎（2）问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）将点代入抛物线C的方程解得p即可得到抛物线标准方程；（2）设，利用点斜式写出直线的方程，再将直线AB方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理化简直线的方程得，即证得直线是否过定点.‎ 试题解析：（1）将点代入抛物线C的方程得，，‎ 所以，抛物线C的标准方程为． ‎ ‎（2）设直线l的方程为，又设，则，‎ 由 得，则，‎ 所以， ‎ 于是直线的方程为， ‎ 所以，，‎ 当时，，所以直线过定点．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎