【数学】2020届一轮复习人教B版　计数原理作业

【数学】2020届一轮复习人教B版　计数原理作业

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.现有5名同学去听同时进行的6个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 (　　)‎ A.54　　　　　　 B.65‎ C.‎5×6×5×4×3×2‎‎2‎ D.6×5×4×3×2‎ ‎【解析】选B.因为每位同学均有6种讲座可选择，所以5位同学共有6×6×6×6×6=65种.‎ ‎【变式备选】‎ ‎　　 植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有 (　　)‎ A.1×2×3种　　　　 B.1×3种 C.34种 D.43种 ‎【解析】选D.完成每棵树的种植都有4种方法，由分步乘法计数原理得，完成这三棵树的种植的方法总数是4×4×4=43(种).‎ ‎2.芳芳同学有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则芳芳同学不同的选择方式的种数为 (　　)‎ A.24　　　　B.14　　　　C.10　　　　D.9‎ ‎【解析】选B.根据题目信息可得需要分两类：一类是衬衣+裙子：分两步，衬衣有4种选择，裙子有3种选择，共有4×3=12(种)；第二类是连衣裙，2种选择.故共有12+2=14(种).‎ ‎3.已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1，若a∈{2，4，6，8}，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，则这样的椭圆有 (　　)‎ A.12个 B.16个 C.28个 D.32个 ‎【解析】选C.根据题意，分4种情况讨论， ‎ ‎(1)a=2时，b有7种情况， ‎ ‎(2)a=4时，b有7种情况， ‎ ‎(3)a=6时，b有7种情况， ‎ ‎(4)a=8时，b有7种情况， ‎ 则一共有7+7+7+7=28种情况.‎ ‎4.现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为 (　　)‎ A.27 B.54 C.108 D.144‎ ‎【解析】选C.由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 首先给最左边一块涂色，有4种结果，‎ 再给左边第二块涂色有3种结果，‎ 以此类推第三块有3种结果，第四块有3种结果，所以根据分步乘法计数原理知共有4×3×3×3=108.‎ ‎5.有1,2,3,4共四个数字,排成2行2列,要求每行数字之和不能为5,则排法的种数为(　　)‎ A.8 B.10 C.12 D.16‎ 答案:D ‎6.某校园有一椭圆形花坛,分成如图四块种花,现有4种不同颜色的花可供选择,要求每块地只能种一种颜色,且有公共边界的两块不能种同一种颜色,则不同的种植方法共有(　　)‎ A.48种 B.36种 C.30种 D.24种 解析:由于相邻两块不能种同一种颜色,故至少应当用三种颜色,故分两类.第一类,用4色有A‎4‎‎4‎种,第二类,用3色有4A‎3‎‎3‎种,故共有A‎4‎‎4‎+4A‎3‎‎3‎=48种.‎ 答案:A ‎7.(2016·浙江宁波效实中学第一学期期末)在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法共有(　　)‎ A.144种 B.96种 ‎ C.48种 D.34种 解析:首先将B,C捆绑在一起作为整体,共有A‎2‎‎2‎两种,又A只能出现在第一步或者最后一步,故总的编排方法为A‎2‎‎2‎‎×‎A‎4‎‎4‎×2=96种,故选B.‎ 答案:B ‎8.现有三种类型的卡片各10张,这些卡片除类型不同外其他全部相同,现把这三种类型的卡片分给5个人,每人一张,要求三种类型的卡片都要用上,则分法的种数为(　　)‎ A.30 B.75 C.150 D.300‎ 解析:分为两类:第一类,5人中有3人卡片类型相同,则分法有C‎5‎‎3‎A‎3‎‎3‎=60种;第二类,5人中各有2人卡片类型相同,则分法有C‎5‎‎2‎C‎3‎‎2‎C‎1‎‎1‎A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎=90种.所以由分类加法计数原理得,分法的种数为60+90=150.‎ 答案:C ‎9.(2016·湖北孝感高中高二上学期期中考试)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8=(　　)‎ A.-180 B.45 C.-45 D.180‎ 解析:由于(1+x)10=[2-(1-x)]10,因此其展开式的通项为Tk+1=(-1)k210-k·C‎10‎k(1-x)k,令k=8,得a8=4C‎10‎‎8‎=180,故答案:为D.‎ 答案:D ‎10.(2016·山东莱芜一中高三1月自主考试)在(ax+1)7的展开式中,x3项的系数是x2项系数和x5项系数的等比中项,则实数a的值为(　　)‎ A.‎25‎‎9‎ B.‎4‎‎5‎ C.‎25‎‎3‎ D.‎‎5‎‎3‎ 解析:展开式的通项为Tr+1=C‎7‎r(ax)7-r,‎ ‎∴x3项的系数是C‎7‎‎4‎a3,x2项的系数是C‎7‎‎5‎a2,x5项的系数是C‎7‎‎2‎a5,‎ ‎∵x3项的系数是x2的系数与x5项系数的等比中项,‎ ‎∴(C‎7‎‎4‎a3)2=C‎7‎‎5‎a2×C‎7‎‎2‎a5,∴a=‎25‎‎9‎.故选A.‎ 答案:A ‎11.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式有(　　)‎ A.264种 B.240种 ‎ C.200种 D.120种 解析:由条件上午不测“握力”,则4名同学测四个项目,有A‎4‎‎4‎;下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复,如 甲 乙 丙 丁 上午 台阶 身高与体重 立定跳远 肺活量 下午 下午甲测“握力”,乙、丙、丁所测不与上午重复有2种,甲测“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”中一种有3×3=9(种),故A‎4‎‎4‎(2+9)=264种.‎ 答案:A ‎12.有两条平行直线a和b,在直线a上取4个点,直线b上取5个点,以这些点为顶点作三角形,这样的三角形共有(　　)‎ A.70个 B.80个 ‎ C.82个 D.84个 解析:分两类,第一类:从直线a上任取一个点,从直线b上任取两个点,共有C‎4‎‎1‎‎·‎C‎5‎‎2‎种方法;第二类:从直线a上任取两个点,从直线b上任取一个点,共有C‎4‎‎2‎‎·‎C‎5‎‎1‎种方法.‎ 所以满足条件的三角形共有C‎4‎‎1‎‎·C‎5‎‎2‎+C‎4‎‎2‎·‎C‎5‎‎1‎=70个.故选A.‎ 答案:A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.(2016·湖北孝感高中高二上学期期中考试)回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数.如121,94 249是回文数,则4位回文数有　　　个. ‎ 解析:4位回文数的特点为中间两位数相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位和个位数字,共有9种选法;第二步,选中间两位数字,共有10种选法.故4位回文数有9×10=90(个).‎ 答案:90‎ ‎14.某公园现有甲、乙、丙三只小船,甲船可乘3人,乙船可乘2人,丙船可乘1人,今有三个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人),为安全起见,儿童必须由成人陪同方可乘船,则分乘这些船只的方法有　　　　　种. ‎ 解析:分两类:第一类,两个儿童同坐甲船,则三个成人应分别坐到三个船上,有A‎3‎‎3‎种坐法;第二类,两个儿童分别坐甲船和乙船,有A‎2‎‎2‎种坐法,三个成人应分别坐到三个船上,有A‎3‎‎3‎种坐法,共有A‎2‎‎2‎A‎3‎‎3‎=12种坐法,所以由分类加法计数原理得,分乘这些船只的方法共有6+12=18种.‎ 答案:18‎ ‎15.(2016·辽宁沈阳高中高二上学期期中考试)设a,b是两个整数,若存在整数d,使得b=ad,称“a整除b”,记作a|b.给出命题:①2|(n2+n+1);②100|(9910-1);③5|(24n-1)(n∈N+).其中正确命题的序号是　　　　. ‎ 解析:对于①,∵n2+n=n(n+1)必为偶数,‎ ‎∴n2+n+1为奇数,即2|(n2+n+1)不正确.‎ 对于②,9910-1=(100-1)10-1=C‎10‎‎0‎·10010-C‎10‎‎1‎·1009+…-C‎10‎‎9‎·100,∴②正确.‎ 对于③,24n-1=(15+1)n-1=Cn‎0‎·15n+Cn‎1‎·15n-1+…+Cnn-1‎·15,∴③正确.‎ 答案:②③‎ ‎16.在(‎2‎‎+‎‎3‎‎3‎)100的展开式中,无理项的个数是　　　　　. ‎ 解析:Tr+1=C‎100‎r‎(‎‎2‎)100-r·(‎3‎‎3‎)r=C‎100‎r‎·‎2‎‎50-‎r‎2‎·‎‎3‎r‎3‎.若第r+1项为有理项,则50-r‎2‎‎,‎r‎3‎均为整数,故r为6的倍数时,第r+1项为有理项,又0≤r≤100,∴r=0,6,12,…,96,∴有理项共有17个,从而无理项共有101-17=84(个).‎ 答案:84‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)(2016·山东青岛高二联考)从-1,0,1,2,3这5个数中选3个不同的数组成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数.‎ ‎(1)开口向上的抛物线有多少条?‎ ‎(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条?‎ 解(1)要使抛物线的开口向上,必须a>0,‎ ‎∴C‎3‎‎1‎‎·‎A‎4‎‎2‎=36(条).‎ ‎(2)开口向上且不过原点的抛物线,必须a>0,c≠0,‎ ‎∴C‎3‎‎1‎‎·C‎3‎‎1‎·‎C‎3‎‎1‎=27(条).‎ ‎18.(本小题满分12分)设有编号为1,2,3,4,5的五个小球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个小球放入5个盒子中.‎ ‎(1)若没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?‎ ‎(2)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?‎ 解(1)间接法:A‎5‎‎5‎-1=119种.‎ ‎(2)分为三类:‎ 第一类,五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种;‎ 第二类,三个球的编号与盒子的编号相同,球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C‎5‎‎3‎种,球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种,所以投放方法有C‎5‎‎3‎×1=10种;‎ 第三类,两个球的编号与盒子的编号相同,球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C‎5‎‎2‎种,球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种,所以投放方法有C‎5‎‎3‎×2=20种.根据分类加法计数原理得,所有的投放方法有1+10+20=31种.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知‎2xi+‎‎1‎x‎2‎n,i是虚数单位,x>0,n∈N+.‎ ‎(1)如果展开式中的倒数第3项的系数是-180,求n的值;‎ ‎(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.‎ 解(1)由已知,得Cnn-2‎(2i)2=-180,即4Cn‎2‎=180,所以n2-n-90=0,又n∈N+,解得n=10.‎ ‎(2)‎2xi+‎‎1‎x‎2‎‎10‎展开式的通项为Tk+1=C‎10‎k·(2xi)10-kx-2k=C‎10‎k(2i)10-kx‎5-‎5‎‎2‎k.‎ 因为系数为正实数,且k∈{0,1,2,…,10},‎ 所以k=2,6,10.‎ 所以所求的项为T3=11 520,T7=3 360x-10,T11=x-20.‎ ‎20.导学号43944023(本小题满分12分)(2016·浙江宁波效实中学第一学期)设n≥2,n∈N,‎2x+‎‎1‎‎2‎n‎-‎‎3x+‎‎1‎‎3‎n=a0+a1x+a2x2+…+anxn.‎ ‎(1)求a0+a1+a2+…+an.‎ ‎(2)记|ak|(0≤k≤n)的最小值为Tn.‎ ‎①求T8;②若n为奇数,求Tn.‎ 解(1)令x=1,‎ 即可得a0+a1+a2+…+an=‎5‎‎2‎n‎-‎‎10‎‎3‎n;‎ ‎(2)①由题意得|ak|=C‎8‎k|22k-8-32k-8|,‎ ‎∴当k=4时,T8=|a4|=0;‎ ‎②由①可知|ak|=Cnk|22k-n-32k-n|,‎ ‎∴当kn‎2‎时,|ak|=Cnk(32k-n-22k-n)≥Cnk‎≥‎Cn‎0‎>|a0|,‎ 综上Tn=‎1‎‎2‎n‎-‎‎1‎‎3‎n.‎ ‎21.导学号43944024(本小题满分12分)在(x-y)11的展开式中,求:‎ ‎(1)通项Tr+1;‎ ‎(2)二项式系数最大的项;‎ ‎(3)项的系数绝对值最大的项;‎ ‎(4)项的系数最大的项;‎ ‎(5)项的系数最小的项;‎ ‎(6)二项式系数的和.‎ 解(1)Tr+1=(-1)rC‎11‎rx11-ryr.‎ ‎(2)二项式系数最大的项为中间两项:T6=-C‎11‎‎5‎x6y5,T7=C‎11‎‎6‎x5y6.‎ ‎(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项:‎ T6=-C‎11‎‎5‎x6y5,T7=C‎11‎‎6‎x5y6.‎ ‎(4)因为中间两项系数的绝对值相等,一正一负,第7项为正,故项的系数最大的项为T7=C‎11‎‎6‎x5y6.‎ ‎(5)项的系数最小的项为T6=-C‎11‎‎5‎x6y5.‎ ‎(6)二项式系数的和为C‎11‎‎0‎‎+C‎11‎‎1‎+‎C‎11‎‎2‎+…+C‎11‎‎11‎=211.‎ ‎22.导学号43944025(本小题满分12分)已知(x2+1)n展开式中的各项系数之和等于‎16‎‎5‎y‎2‎‎+‎‎1‎y‎5‎的展开式的常数项,若(x2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求x的值.‎ 解‎16‎‎5‎y‎2‎‎+‎‎1‎y‎5‎的展开式的通项为 Tr+1=C‎5‎r‎16‎‎5‎y‎2‎‎5-r‎1‎yr‎=‎16‎‎5‎‎5-rC‎5‎r·‎y‎20-5r‎2‎.‎ 令‎20-5r‎2‎=0,得r=4,‎ ‎∴展开式的常数项为T5=C‎5‎‎4‎‎×‎‎16‎‎5‎=16.‎ ‎∵(x2+1)n展开式中的各项系数之和等于2n,‎ ‎∴2n=16,∴n=4.‎ 又(x2+1)n展开式中系数最大的项是中间项,即第3项,‎ ‎∴C‎4‎‎2‎x4=54,∴x=±‎3‎.‎