2021高考数学一轮复习专练38证明含解析理新人教版
专练38 证明
命题范围：证明方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法
[基础强化]
一、选择题
1．若a，b，c为实数，且a
ab>b2
C.< D.>
2．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
证明过程如下：
∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.
又∵a，b，c不全相等，
∴以上三式至少有一个“＝”不成立．
∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
此证法是( )
A．分析法 B．综合法
C．分析法与综合法并用 D．反证法
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是( )
A．①—分析法，②—综合法
B．①—综合法，②—分析法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
5．在用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第二步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k＋1时需要证明的等式为( )
A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)
B．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)
C．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)
D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)
6．在△ABC中，sinAsinCb>c，且a＋b＋c＝0，求证0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
9．[2020·长春测试]设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
二、填空题
10．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是____________．
11．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时应假设__________________．
12．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是______________．
[能力提升]
13．[2020·河北邯郸测试]设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
14．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b不都能被5整除
C．a，b至少有一个能被5整除
D．a，b至多有一个能被5整除
15．设a，b∈R，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；
⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
16．设a，b是互不相等的正数，给出下列不等式：
①(a＋3)2>2a2＋6a＋11；
②a2＋≥a＋；
③|a－b|＋≥2.
其中恒成立的是________．
专练38 证明
1．B ∵a2－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a2>ab ①，又ab－b2＝b(a－b)>0，
∴ab>b2 ②，由①②得，a2>ab>b2.
2．B 由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．
3．A “方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.
4．B 根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法，故选B.
5．D ∵用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n时，当n＝1时左边所得的项是1＋2；假设n＝k时，命题成立，1＋2＋3＋…＋2k＝2k2＋k，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)，∴从“k→k＋1”需增添的项是2k＋1＋2(k＋1)，∴1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)．故选D.
6．C sinAsinC0⇒cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)<0⇒B为钝角⇒△ABC一定是钝角三角形．
7．C 当n＝k＋1时，左边为1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，增加了＋＋…＋，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选C.
8．C 由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c<0.要证 0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证a(a－c)－b(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“<”索的因应是(a－c)(a－b)>0，故选C.
9．D 假设a＋，b＋，c＋都小于2，则有a＋＋b＋＋c＋<6.
又∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋＋b＋＋c＋＝＋＋≥2 ＋2 ＋2 ＝6，
这与假设矛盾．
∴a＋，b＋，c＋三个数至少有一个不小于2.
10．a≥0，b≥0且a≠b
解析：a＋b>a＋b，即：(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.
11．x≠－1且x≠1
解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
12．P>Q
解析：P2－Q2＝2－2>0，
∴P2>Q2，∴P>Q.
13．A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)在R上单调递减，∵x1＋x2>0，∴x1>－x2，∴f(x1)1，而a2，ab＝6>1，而a<0，b<0，∴④⑤推不出．对于③可用反证法证明：假设a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，故a，b中至少有一个大于1.
16．②
解析：对于①，(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，∴(a＋3)2<2a2＋6a＋11，∴①不成立；对于②，∵a≠0，a2＋≥a＋，等价于a4＋1≥a3＋a.而(a4＋1)－(a3＋a)＝a3(a－1)－(a－1)＝(a－1)(a3－1)＝(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，∴a4＋1≥a3＋a恒成立，即②恒成立；对于③，当a>b时，恒成立，当a
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