山西省长治市第二中学2019-2020学年高二12月月考数学（文）试题 含解析

山西省长治市第二中学2019-2020学年高二12月月考数学（文）试题 含解析

‎2019-2020学年山西省长治二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知双曲线的标准方程是，其渐近线方程是（　　）‎ A．y＝±3x B．y＝±4x C．x＝±4y D．x＝±3y ‎2．下列命题中的假命题是（　　）‎ A．质数都是奇数 ‎ B．函数y＝sinx是周期函数 ‎ C．112能被7整除 ‎ D．奇函数的图象关于坐标原点对称 ‎3．设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n ‎ C．若m∥n，n⊥β，则m⊥β D．若m⊥β，α⊥β，则m∥α ‎4．椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎6．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎7．已知圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C 的方程为（　　）‎ A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 ‎ C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y+1）2＝2‎ ‎8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（2，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（1，） C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎9．设a，b∈R，ab≠0，则直线ax﹣y+b＝0和曲线bx2+ay2＝ab的大致图形是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（　　）‎ A．2 cm3 B． cm3 C．3 cm3 D．3 cm3‎ ‎11．已知A（﹣1，0），M是圆B：x2﹣2x+y2﹣7＝0（B为圆心）上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，则点P的轨迹方程是（　　）‎ A．＝1 B．＝1 ‎ C．＝1 D．＝1‎ ‎12．已知x，y满足，如果目标函数z＝的取值范围为[0，2），则实数m的取值范围为（　　）‎ A．[0，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，） D．（﹣∞，0]‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．“若X＞5，则X2＞25”的逆否命题是　 　．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则＝　 　．‎ ‎15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BA1与平面A1B1CD所成的角是　 　．‎ ‎16．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：3，则实数a的值为　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知双曲线C的焦点坐标为F1（，0），F2（，0），实轴长为6．‎ ‎（1）求双曲线C标准方程；‎ ‎（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．‎ ‎18．某抛物线型拱桥水面宽度20m，拱顶离水面4m，现有一船宽9m，船在水面上高3m．‎ ‎（1）建立适当平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线标准方程；‎ ‎（2）计算这条船能否从桥下通过．‎ ‎19．已知点P（4，0），点Q在曲线C：y2＝4x上．‎ ‎（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|＝4，求点Q的坐标；‎ ‎（2）求|PQ|的最小值．‎ ‎20．如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF，折到DEF的位置，使．‎ ‎（1）证明DO⊥平面EFCB；‎ ‎（2）试在BC边上确定一点N，使EN∥平面DOC，并求的值．‎ ‎21．已知焦点在x轴上的双曲线C过点，且其渐近线方程为．‎ ‎（1）求双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）若直线y＝ax+1与双曲线C的右支交于A，B两点，求实数a的取值范围．‎ ‎22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程 ‎（Ⅱ）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．‎ ‎2019-2020学年山西省长治二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知双曲线的标准方程是，其渐近线方程是（　　）‎ A．y＝±3x B．y＝±4x C．x＝±4y D．x＝±3y ‎【解答】解：双曲线的标准方程是，可得a＝1，b＝3，‎ 由于渐近线方程为y＝±3x，‎ 即为y＝±3x．‎ 故选：A．‎ ‎2．下列命题中的假命题是（　　）‎ A．质数都是奇数 ‎ B．函数y＝sinx是周期函数 ‎ C．112能被7整除 ‎ D．奇函数的图象关于坐标原点对称 ‎【解答】解：2是质数，也是偶数，所以A不正确；‎ 函数y＝sinx是周期函数，正确；‎ ‎112÷7＝16，所以112能被7整除，正确；‎ 奇函数的图象关于坐标原点对称，正确；‎ 故选：A．‎ ‎3．设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n ‎ C．若m∥n，n⊥β，则m⊥β D．若m⊥β，α⊥β，则m∥α ‎【解答】解：A，m，n也可能异面，故错误；‎ B，m，n存在多种位置关系，不一定垂直，故错误；‎ C，平行线中的一条垂直一个平面．则另一条也垂直该平面，故正确；‎ D，存在m⊂α的情况，故错误．‎ 故选：C．‎ ‎4．椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：双曲线的焦点（5，0），（﹣5，0）是椭圆的顶点，则所求椭圆方程中的长半轴a＝5．‎ 双曲线的顶点为（4，0），（﹣4，0）是椭圆的焦点，则椭圆的半焦距c＝4，则b＝3．‎ 椭圆的标准方程为．‎ 故选：A．‎ ‎5．椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【解答】解：椭圆＝1得 ‎∴c1＝，‎ ‎∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），‎ 双曲线＝1的焦点必在x轴上，‎ 则半焦距c2＝‎ ‎∴＝‎ 解得实数m＝1．‎ 故选：A．‎ ‎6．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的离心率为，‎ 可得，‎ 即：，可得，‎ 在则双曲线中，由，即，‎ 可得，∴e＝．‎ 故选：C．‎ ‎7．已知圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C的方程为（　　）‎ A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 ‎ C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y+1）2＝2‎ ‎【解答】解：圆心在x+y＝0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；‎ 验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y＝0的距离是；‎ 圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4＝0的距离是．故A错误．‎ 故选：B．‎ ‎8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（2，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（1，） C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎【解答】解：根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，‎ 设点P到准线l：x＝﹣1的距离为PQ，‎ 则所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；‎ 根据平面几何知识，可得当P、A、Q三点共线时|PA|+|PQ|最小，‎ ‎∴|PA|+|PQ|的最小值为A到准线l的距离；‎ 此时P的纵坐标为2，代入抛物线方程得P的横坐标为1，得P（ 1，2）‎ 故选：C．‎ ‎9．设a，b∈R，ab≠0，则直线ax﹣y+b＝0和曲线bx2+ay2＝ab的大致图形是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：整理曲线的方程得＝1，整理直线方程得y＝ax+b 对于A选项观察直线图象可知斜率小于0即，a＜0，b＞0‎ 则曲线的方程的图象一定是双曲线，故A不符合．‎ B，D选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故B正确，D错误．‎ C项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故C项错误．‎ 故选：B．‎ ‎10．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（　　）‎ A．2 cm3 B． cm3 C．3 cm3 D．3 cm3‎ ‎【解答】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥P﹣ABCD，且侧面PCD⊥底面ABCD，‎ 画出它的直观图，如图所示；‎ 则底面为直角梯形，面积为S梯形ABCD＝×（1+2）×2＝3，‎ 四棱锥的高为h＝×2＝，‎ 所以四棱锥的体积为V＝S梯形ABCD•h＝×3×＝（cm3）．‎ 故选：B．‎ ‎11．已知A（﹣1，0），M是圆B：x2﹣2x+y2﹣7＝0（B为圆心）上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，则点P的轨迹方程是（　　）‎ A．＝1 B．＝1 ‎ C．＝1 D．＝1‎ ‎【解答】解：由题意得 圆心B（1，0），半径等于2，|PA|＝|PB|，‎ ‎∴|PB|+|PM|＝|PB|+|PA|＝|BM|＝2＞|AB|，‎ 故点P的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，‎ ‎2a＝2，c＝1，∴b＝1，∴椭圆的方程为：＝1．‎ 故选：A．‎ ‎12．已知x，y满足，如果目标函数z＝的取值范围为[0，2），则实数m的取值范围为（　　）‎ A．[0，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，） D．（﹣∞，0]‎ ‎【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：‎ 目标函数z＝的取值范围为[0，2），说明可行域内的点与（m，﹣1）的连线的斜率的范围是[0，2），‎ 直线2x﹣y﹣2＝0的斜率为2；‎ 由图形可知（m，﹣1）在直线BA上，且在A的左侧，‎ ‎∴m＜，‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．“若X＞5，则X2＞25”的逆否命题是　如果X2≤25，则X≤5　．‎ ‎【解答】解：“若X＞5，则X2＞25”的逆否命题是：若X2≤25，则X≤5．‎ 故答案为：若X2≤25，则X≤5．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A 在双曲线的右支上，则＝　　．‎ ‎【解答】解：由题意B、C分别是双曲线的左、右焦点，‎ 则|CB|＝2c＝10，顶点A在双曲线的右支上，‎ 又可得|AB|﹣|AC|＝2a＝6，‎ ‎＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BA1与平面A1B1CD所成的角是　30°（或）　．‎ ‎【解答】解：连接BC1，交B1C于点O，再连接A1O，‎ 因为是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ 所以BO⊥平面A1B1CD，‎ 所以∠BA1O是直线A1B与平面A1B1CD 所成的角．‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，‎ 所以在△A1BO中，A1B＝，OB＝，‎ 所以sin∠BA1O＝，‎ 所以直线A1B与平面A1B1CD 所成的角的大小等于30°．‎ 故答案为：30°（或）．‎ ‎16．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：3，则实数a的值为　　．‎ ‎【解答】解：依题意得焦点F的坐标为：（，0），‎ 设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，‎ 由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|：|MN|＝1：3，‎ 所以|KN|：|KM|＝2：1，‎ 又kFN＝＝，kFN＝﹣＝﹣2，所以＝2，解得a＝．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知双曲线C的焦点坐标为F1（，0），F2（，0），实轴长为6．‎ ‎（1）求双曲线C标准方程；‎ ‎（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．‎ ‎【解答】解：（1）由条件得c＝，2a＝6，a＝3，∴b＝1，‎ ‎∴双曲线方程为：．‎ ‎（2）由双曲线定义知|PF1﹣PF2|＝6且 PF12+PF22＝（）2，‎ 联立解得PF1•PF2＝2，∴△PF1F2的面积为：PF1•PF2＝1．‎ ‎18．某抛物线型拱桥水面宽度20m，拱顶离水面4m，现有一船宽9m，船在水面上高3m．‎ ‎（1）建立适当平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线标准方程；‎ ‎（2）计算这条船能否从桥下通过．‎ ‎【解答】解：（1）以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系．‎ 设拱桥所在抛物线的方程为x2＝﹣2py，则点（10，﹣4）在抛物线上，所以有102＝﹣2p（﹣4），‎ 解得p＝，所以拱桥所在抛物线标准方程为：x2＝﹣25y．‎ ‎（2）当x＝时，y＝﹣，所以此时限高为4﹣＝，所以，能通过．‎ ‎19．已知点P（4，0），点Q在曲线C：y2＝4x上．‎ ‎（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|＝4，求点Q的坐标；‎ ‎（2）求|PQ|的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）设．‎ 由题意得，解得y＝4．∴点Q的坐标为（4，4）．‎ ‎（2）|PQ|＝＝，当y2＝8时，|PQ|取到最小值．‎ 因此，|PQ|的最小值为．‎ ‎20．如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF，折到DEF的位置，使．‎ ‎（1）证明DO⊥平面EFCB；‎ ‎（2）试在BC边上确定一点N，使EN∥平面DOC，并求的值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：在△DOM中，易得 DO＝，OM＝，DM＝，‎ 由DM2＝DO2+OM2，‎ 得DO⊥OM，‎ 又∵AE＝AF＝2，AB＝AC＝3，‎ ‎∴EF∥BC，‎ 又M为BC中点，‎ ‎∴AM⊥BC，‎ ‎∴DO⊥EF，‎ EF∩OM＝O，‎ ‎∴DO⊥平面EBCF；‎ ‎（2）‎ 连接OC，过E作EN∥OC交BC于N，‎ 则EN∥平面DOC，‎ 又OE∥CN，‎ ‎∴四边形OENC为平行四边形，‎ ‎∴OE＝NC，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎21．已知焦点在x轴上的双曲线C过点，且其渐近线方程为．‎ ‎（1）求双曲线C的标准方程；‎ ‎（2）若直线y＝ax+1与双曲线C的右支交于A，B两点，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题知，即b＝a所以可设双曲线方程为﹣＝1，‎ 将点M（1，）代入，得﹣＝1，‎ 解得a＝，‎ 因此，双曲线C的方程为3x2﹣y2＝1．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立，消去y，‎ 得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2＝0，‎ 则x1+x2＝，x1x2＝，‎ 由题可得，解得a的取值范围是﹣＜a＜﹣．‎ ‎22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程 ‎（Ⅱ）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，‎ 则，解得：a2＝8，b2＝4．‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（2）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），‎ 则，‎ A（﹣，0），‎ AF所在直线方程，取x＝0，得，‎ ‎∴N（0，），‎ AE所在直线方程为，取x＝0，得y＝，‎ ‎∴M（0，）．‎ 则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），‎ 半径r＝，‎ 圆的方程为＝，‎ 即＝．‎ 取y＝0，得x＝±2．‎ ‎∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．‎