2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第七章 第4讲 基本不等式
[基础题组练]
1．下列不等式一定成立的是( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：选C.对于选项A，当x>0时，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lg x；
对于选项B，当sin x<0时显然不成立；
对于选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；
对于选项D，因为x2＋1≥1，
所以0<≤1.故选C.
2．(2020·广西钦州期末)已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，则ab的最大值是( )
A．15 B．12
C．5 D．3
解析：选C.因为a2＋b2＝15－ab≥2ab，所以3ab≤15，即ab≤5，当且仅当a＝b＝±时等号成立．所以ab的最大值为5.故选C.
3．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为( )
A. B．
C．－1 D．0
解析：选D.f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.
4．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C.因为＋＝，所以a＞0，b＞0，
由＝＋≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.
5．(2020·湖南衡阳期末)已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是( )
A. B．
C. D．3
解析：选D.因为x＋y＋z＝1，0
0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．
解析：由a>0，b>0，3a＋b＝2ab，得＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，当且仅当b＝a时等号成立，则a＋b的最小值为2＋.
答案：2＋
7．(2020·江西吉安期末)已知函数f(x)＝，则f(x) 的最大值为________．
解析：设t＝sin x＋2，则t∈[1，3]，则sin2x＝(t－2)2，则g(t)＝＝t＋－4(1≤t≤3)，由“对勾函数”的性质可得g(t)在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g(1)＝1，g(3)＝，所以g(t)max＝g(1)＝1.即f(x)的最大值为1.
答案：1
8．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.
答案：2
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，
故函数的最大值为－.
(2)因为00，
所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，
即x＝1时取等号，
所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
[综合题组练]
1．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9 B．12
C．18 D．24
解析：选B.由＋≥，
得m≤(a＋3b)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12，
当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，
所以m≤12，所以m的最大值为12.
2．(2020·湖北恩施2月教学质量检测)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，则＋b的最小值为( )
A．1 B．
C. D．2
解析：选C.由已知得，a>0，b>0，tan α＝a，tan β＝，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，
所以a＝＝，所以＋b＝＋b＝＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝时，取等号．故＋b的最小值为.
3．(2020·安徽合肥第二次教学质量检测)若a＋b≠0，则a2＋b2＋的最小值为________．
解析：a2＋b2＋≥＋≥2＝，当且仅当a＝b＝2－时，a2＋b2＋
取得最小值.
答案：
4．当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，则k的取值范围是________．
解析：由32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋.
因为3x＋≥2
，
所以3x＋的最小值为2.
又当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，
所以当x∈R时，k＋1<，
即k＋1<2，即k<2－1.
答案：(－∞，2－1)
5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)＋的最小值．
解：(1)因为x>0，y>0，
所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.
因为2x＋5y＝20，
所以2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)因为x>0，y>0，
所以＋＝·
＝≥＝.
当且仅当＝时，等号成立．
由
解得
所以＋的最小值为.
6．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．
