2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第七章 2 第2讲 一元二次不等式及其解法
[基础题组练]
1．设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )
A．(1，2) B．[1，2]
C．[1，2) D．(1，2]
解析：选D.A＝[－1，2]，B＝(1，＋∞)，A∩B＝(1，2]．
2．若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为，则的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A.由题意得ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.
3．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为( )
A．[－1，1] B．[－2，2]
C．[－2，1] D．[－1，2]
解析：选A.法一：当x≤0时，x＋2≥x2，
所以－1≤x≤0；①
当x>0时，－x＋2≥x2，
所以0
1时得1x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3>0，
即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为.
12．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.
(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n求|m－n|的取值范围．
解：(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－＞1.
所以a＜0且＞1，所以ac＞0.
对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c
有Δ＝(a－b)2＋4ac＞0.
所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．
(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝＋8＋4.
由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t＞1)，由根与系数的关系知＝t，
所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．
所以|m－n|＞，
所以|m－n|的取值范围为(，＋∞)．
[综合题组练]
1．(2020·金华市东阳二中高三调研)若关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选A.由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，
所以方程必有一正根、一负根．
于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故a的取值范围为.
2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( )
A．(－1，0)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．不能确定
解析：选C.由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
3．(2020·杭州模拟)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是________．
解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10的解集；
(2)若a>0，且00，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1，或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.
所以f(x)－m<0，即f(x)1；
(2)对任意的b∈(0，1)，当x∈(1，2)时，f(x)>恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝>1⇔x2＋1<|x＋1|⇔或⇔0⇔|x＋a|>b(x＋)⇔x＋a>b(x＋)或x＋a<－b(x＋)⇔a>(b－1)x＋或a<－[(b＋1)x＋]对任意x∈(1，2)恒成立．所以a≥2b－1或a≤－(b＋2)对任意b∈(0，1)恒成立．所以a≥1或a≤－.
