高中数学第五章一元函数的导数及其应用5-2导数的运算5-2-1-5-2

高中数学第五章一元函数的导数及其应用5-2导数的运算5-2-1-5-2

5.2.1 　基本初等函数的导数　 5.2.2 　导数的四则运算法则 激趣诱思 知识点拨 高铁是一种非常受欢迎的交通工具 , 既低碳又快捷 . 设一高铁走过的路程 s ( 单位 :m) 关于时间 t ( 单位 :s) 的函数 s=f ( t ) = 2 t 2 , 求它的瞬时速度 , 即求 f ( t ) 的导数 . 根据导数的定义 , 就是求当 Δ t →0 时 , 所 趋近的那个定值 , 运算比较复杂 , 而且 , 有的函数如 y= sin x , y= ln x 等很难运用定义求导数 . 是否有更简便的求导数的方法呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、几个常用函数的 导数 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知 f ( x ) =x 2 , 则 f [ f' ( - 2)] 的值等于 　　　　 .   解析 : 因为 f ( x ) =x 2 , 所以 f' ( x ) = 2 x , 于是 f' ( - 2) =- 4, 故 f [ f' ( - 2)] =f ( - 4) = ( - 4) 2 = 16 . 答案 : 16 激趣诱思 知识点拨 二、基本初等函数的导数 公式 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 函数 f ( x ) = ln x 与 f ( x ) = log a x 的导数公式之间有内在联系 , 根据对数的换底公式 , 可以得到 激趣诱思 知识点拨 微练习 求下列函数的导数 : 激趣诱思 知识点拨 微点拨 目前 , 求解函数导数只适用基本初等函数的求导 , 若形式不一致 , 则需先化简后求导 . 如 可先化为 f ( x ) = cos x 之后再求导 . 激趣诱思 知识点拨 三、导数的运算法则 1 . [ f ( x ) ± g ( x )] '= f' ( x ) ± g' ( x ) . 2 . [ f ( x )· g ( x )] '= f' ( x ) g ( x ) +f ( x ) g' ( x ) , 特别地 ,[ cf ( x )] '= cf' ( x ) . 名师点析 两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形 :[ f 1 ( x ) ± f 2 ( x ) ± … ± f n ( x )] '=f 1 ' ( x ) ± f 2 ' ( x ) ± … ± f n ' ( x ) . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 函数 y=x 2 - ln x 的导数为 　　　　 ;   (2) 函数 y=x cos x 的导数为 　　　　 ;   (3) 函数 y = 的 导数为 　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 导数公式与运算法则的简单应用 例 1 求下列函数的导数 : (4) y= ( x+ 1)( x- 1)( x 2 + 1);(5) y= tan x . 分析 : 分析每个函数的解析式的构成特点 , 紧扣求导公式和运算法则进行求解 , 必要时应先对解析式进行恒等变形 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求导数的解题策略 1 . 理解并掌握求导法则和公式的结构规律 , 熟记常见基本初等函数的导数公式是进行求导运算的前提 . 2 . 进行求导运算时 , 要善于分析函数解析式的结构特点 , 必要时应先对解析式进行恒等变形 , 化简解析式 , 再求导 . 3 . 要特别注意 “ 与 ln x ”“ a x 与 log a x ”“sin x 与 cos x ” 的导数区别 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 求下列函数的导数 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数 例 2 求下列函数的导数 : ( 2) y= 3 x e x - 2 x + e; 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求复杂函数的导数的方法 求函数的导数时 , 一般要遵循 “ 先化简再求导 ” 的原则 , 这样一方面可以简化求导的过程 , 另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题 . 尤其是当函数解析式中含有三角函数时 , 更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理 , 最后再套用公式求导 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 1 ( 变条件 ) 把例 2(4) 的函数换成 “ y=x tan x ”, 求其导数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 导数几何意义的综合问题 例 3 已知函数 f ( x ) =x 3 +x- 16 . (1) 求曲线 y=f ( x ) 在点 (2, - 6) 处的切线的方程 ; (2) 直线 l 为曲线 y=f ( x ) 的切线 , 且经过原点 , 求直线 l 的方程及切点的坐标 . 分析 : 利用导数的几何意义求解 , 但要注意 (2) 中切线经过原点 , 而原点不在曲线上 , 故应另设切点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) ∵ f' ( x ) = ( x 3 +x- 16) '= 3 x 2 + 1, ∴ 在点 (2, - 6) 处的切线的斜率 k=f' (2) = 3 × 2 2 + 1 = 13, 故切线的方程为 y+ 6 = 13( x- 2), 即 13 x-y- 32 = 0 . 因此 y 0 = ( - 2) 3 + ( - 2) - 16 =- 26, k= 3 × ( - 2) 2 + 1 = 13 . 故直线 l 的方程为 y= 13 x , 切点坐标为 ( - 2, - 26) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ∴ y 0 = ( - 2) 3 + ( - 2) - 16 =- 26, k= 3 × ( - 2) 2 + 1 = 13 . 故直线 l 的方程为 y= 13 x , 切点坐标为 ( - 2, - 26) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 曲线切线方程的求解方法 求曲线的切线方程要注意 “ 过点 P 的切线 ” 与 “ 在点 P 处的切线 ” 的差异 : 过点 P 的切线中 , 点 P 不一定是切点 , 点 P 不一定在已知曲线上 ; 而在点 P 处的切线 , 必以点 P 为切点 . 遇到类似问题时 , 必须分清所给的点是否是在曲线上 , 即是不是切点 . 如果是切点 , 那么该点处的导数即为切线的斜率 ; 如果不是切点 , 那么应先设出切点坐标 , 再利用两点连线的斜率公式与导数建立联系 , 进行求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 (1)(2020 河南高三月考 ) 已知函数 f ( x ) = 3 x 2 +a e x , 曲线 y=f ( x ) 在点 x= 0 处的切线与直线 y = x+ 1 垂直 , 则 a= 　　　　 .   (2)(2019 河北石家庄二中高二月考 ) 已知曲线 f ( x ) = e x , 则过原点的切线方程为 ( 　　 ) A. y=x B. y=x+ 1 C. y= e x- 1 D. y= e x 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : (1) f' ( x ) = 6 x+a e x , f' (0) =a , 所以切点为 (1,e), 切线的斜率 k=f' (1) = e, 所以过原点的切线方程为 y- e = e( x- 1), 即 y= e x. 故选 D . 答案 : (1) - 2 　 ( 2)D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复杂函数的求导 典例 求下列函数的导数 : 分析 : 若所给函数解析式较为复杂 , 不能直接套用导数公式和导数运算法则时 , 则可先对函数解析式进行适当的变形与化简 , 再用相关公式和法则求导 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 对于较为复杂函数的求导 : 首先观察其形式是否为基本初等函数形式或满足四则运算形式 ; 其次 , 若满足 , 直接利用求导公式或法则 , 若不满足 , 则转化为上述两形式后再求导 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 求下列函数的导数 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . (2020 陕西高二期末 ) 下列函数求导 : ① (2 x ) '= 2 x log 2 e ; 数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . (2020 四川双流中学高二月考 ) 下列结论不正确的是 ( 　　 ) A. 若 f ( x ) = 0, 则 f' ( x ) = 0 B. 若 f ( x ) = cos x , 则 f' ( x ) = sin x 解析 : 对 A, f ( x ) 为常数函数 , 显然成立 ; 对 B, f' ( x ) =- sin x , 故 B 错误 ; 对 C,D, 显然都成立 . 故选 B . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 设 y=- 2e x sin x , 则 y' 等于 ( 　　 ) A. - 2e x cos x B. - 2e x sin x C.2e x sin x D. - 2e x (sin x+ cos x ) 解析 : ∵ y=- 2e x sin x , ∴ y'=- 2e x sin x- 2e x cos x=- 2e x (sin x+ cos x ) . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . (2020 山东高二期末 ) 已知直线 y=x+b 是曲线 y=ax 2 + 1 的切线 , 也是曲线 y= ln x 的切线 , 则 a= 　　　 , b= 　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 求下列函数的导数 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测