2013-2017高考数学分类汇编-文科 第三章导数 第2节 导数的应用(2)

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2013-2017高考数学分类汇编-文科 第三章导数 第2节 导数的应用(2)

第三章 导数 第2节 导数的应用 题型37 利用导函数研究函数的极值与最值 ‎1(2013湖北文10).已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ 1. 分析 由已知得有两个正实数根,即的图象与轴有两 ‎ 个交点,从而得的取值范围.‎ ‎ 解析 ,依题意有两个正实数根.‎ 设,函数有两个零点,显然当时不合题意,‎ 必有;,令,得,于是在上单调递增,在上单调递减,所以在处取得极大值,即,所以.故选B.‎ 2. ‎(2013福建文12)设函数的定义域为,的极大值点,以下结 ‎ 论一定正确的是( ).‎ A. B.是 的极小值点 ‎ C.是 的极小值点 D.是 的极小值点 ‎ ‎ 2.分析 不妨取函数,则,易判断为 的极大值点,但显然不是最大值,故排除A.‎ 解析 因为,易知,为的极大值点,故排除B;‎ 又,易知,为的极大值点,故排除C;‎ 因为的图象与的图象关于原点对称,由函数图象的对称性可得应为函数的极小值点.故D正确.‎ ‎3. (2013安徽文20)设函数,其中,区间.‎ ‎(1)求的长度(注:区间的长度定义为); ‎ ‎(2)给定常数,当时,求长度的最小值.‎ ‎3.解 同理科卷17题.‎ ‎4.(2013江西文21)设函数 为常数且.‎ ‎(1)当时,求; ‎ ‎(2)若满足但,则称为的二阶周期点,证明函数 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点,;‎ ‎(3)对于(2)中,,设,,,记的面积为,求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎4.分析 (1)根据自变量的取值求出相应的函数值;(2)根据自变量的取值和二阶周期点 的定义解方程求出题目中的二阶周期点;(3)根据(2)的结果用参数表示出三角形的面 积,通过导数求最值的方法得出最值.‎ 解析 (1)当时,,.‎ ‎(2)‎ 当时,由,解得2,因为,故不是的二阶周期点;‎ 当时,由解得.‎ 因为,‎ 故为的二阶周期点;‎ 当时,由解得.‎ 因为,‎ 故不是的二阶周期点;‎ 当时,由解得.‎ 因为,‎ 故为的二阶周期点.‎ 因此,函数有且仅有两个二阶周期点,.‎ ‎(3)由(2)得,,‎ 则,,‎ 因为,有,‎ 所以 ‎(或令,‎ ‎,因为 则在区间上的最小值为,‎ 故对于任意,.)‎ 则在区间上单调递增,‎ 故在区间上的最小值为,最大值为.‎ ‎5. (2013江苏20)‎ 设函数,,其中为实数.‎ ‎(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;‎ ‎(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.‎ ‎5.分析(1)通过在上恒成立,在有解求得的取值范围;(2)由在上恒成立得出的取值范围,然后对进行讨论,研究的零点.‎ 解析 解:(1)令,考虑到的定义域为,故,‎ 进而解得,即在上是单调减函数.‎ 同理,在上是单调增函数.‎ 由于在上是单调减增函数,故,从而,即.‎ 令,得.‎ 当时,;当时,.又在上有最小值.‎ 所以,即.‎ 综上可知,.‎ ‎(2)当时,必为单调增函数;‎ 当时,令,解得,即.因为在上是单调增函数,类似(1)有,即.‎ 结合上述两种情况,得.‎ ‎①当时,由以及,得存在唯一的零点;‎ ‎②当时,由于,且函数在上的图象连续,所以在上存在零点.‎ 另外,当时,,故在上是单调增函数,所以只有一个零点.‎ ‎③当时,令,解得.当时,;当时,,所以,是的最大值点,且最大值为.‎ a.当,即时,有一个零点.‎ b.当,即时,有两个零点.实际上,对于,由于.,且函数在上的图象连续,所以在上存在零点.‎ 另外,当时,,故在上是单调增函数,所以在上只有一个零点.下面考虑在上的情况.先证.为此,我们要证明:当时,.‎ 设,则,再设,则.‎ 当时,,所以在上是单调增函数.‎ 当时,,从而在上是单调增函数,进而当时,,即当时,.‎ 当,即时,.‎ 又,且函数在上的图象连续,所以在上存在零点.‎ 又当时,,故在上是单调减函数,‎ 所以在上只有一个零点.综合①②③可知,当或时,的零点个数为,当时,的零点个数为.‎ ‎6. (2013浙江文21)已知,函数.‎ ‎(1)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)若,求在闭区间上的最小值.‎ ‎6.分析 (1)切点处的导数即为切线的斜率,求导后算出斜率,写出切线方程即可.(2)要 确定 的最小值,因为的最值是由其单调性决定的,所以要先利用导数确定 的单调性,再确定极值和区间端点的函数值.由于所给区间中含有绝对值,因此要分类 讨论.‎ 解析 (1)当时,,所以.又因为,所以切线方程为,即.‎ ‎(2)记为 在闭区间上的最小值. ‎ ‎ .令,得.‎ 当时,‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 比较和的大小可得 当时,‎ 单调递减 极小值 单调递增 得.‎ 综上所述,在闭区间上的最小值为 ‎7.(2015重庆文19(1))已知函数在处取得极值.‎ 确定的值;‎ ‎7. 解析 求导得,因为在处取得极值,所以,‎ 即,解得.经检验,是的极大值点.‎ ‎8.(2015安徽文21(2))已知函数.若,求 在内的极值.‎ ‎8. 分析 由(1)可知在内的极大值为,且在内无极小值.‎ 解析 因为,由(1)可知在内的极大值为,‎ 在内无极小值.故在内极大值为,无极小值.‎ ‎9.(2015北京文19(1))设函数.求的单调区间和极值;‎ ‎9. 解析 函数的定义域为,,‎ 令,得,‎ 当时,,函数在上单调递减;‎ 当时,,函数在上单调递增.‎ 当时,函数取得极小值.‎ ‎10.(2015湖南文21(1))函数,记为的从小到大 的第个极值点.证明:数列是等比数列;‎ ‎10. 解析 ‎ 令,由,得,即, ‎ 而对于,当时,‎ 若,即,则;‎ 若,即,则.‎ 因此,在区间与上,的符号总相反,‎ 于是当时,取得极值,所以,‎ 此时,,易知,‎ 而是常数,‎ 故数列是首项为,公比为的等比数列.‎ ‎11.(2015新课标2卷文21(2))已知函数.当有最大值,且最大值大于时,求的取值范围.‎ ‎11. 分析 由(1)知当时,在上无最大值;当时,最大值为,因此,故.令,则在上是增函数. 当时,;当时,.因此的取值范围是.‎ 解析 由(1)知,当时,在上无最大值;当时,在处取得最大值,最大值为.‎ 因此等价于.‎ 令,则在上单调递增,又.‎ 于是,当时,;当时,.‎ 因此,的取值范围是.‎ 评注 高考中对函数与导数的考查,主要体现用导数的工具性来解决函数性质问题,函数的性质是函数的终极内容,学习导数以后用导数这一工具可使求解更直接简单,特别要注意函数的定义域和对参数进行讨论.‎ ‎12.(2015山东文20 (3))设函数,. 已知曲线在点 处的切线与直线平行.设函数(表示中的较小值),求的最大值.‎ ‎12.解析 由(2)知,方程在内存在唯一的根,且时,‎ ‎,时,,所以.‎ 当时,若,;‎ 若,由,可知.故.‎ 当时,由,可得时,,单调递增;时,,单调递减;故.‎ 又,所以函数的最大值为.‎ ‎13.已知是函数的极小值点,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎13.D 解析 令得,或易知在上单调递减,在上单调递增,故极小值为,由已知得.故选D ‎14.(2016山东文20)设,.‎ ‎(1)令,求的单调区间;‎ ‎(2)已知在处取得极大值,求实数的取值范围.‎ ‎14. 解析 (1)由,可得,‎ 则,‎ 当时,时,,函数单调递增;‎ 当时,时,,函数单调递增;时,,函数单调递减.‎ 综上所述,当时,函数单调递增区间为;‎ 当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为. ‎ ‎(2)由(1)知,.‎ ‎①当时, 单调递增.‎ 所以当时,,单调递减.当时,,单调递增.‎ 所以在处取得极小值,不合题意.‎ ‎②当时,,由(1)知在内单调递增,‎ 可得当时,,时,,‎ 所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.‎ ‎③当时,即时,在内单调递增,在 内单调递减,‎ 所以当时,, 单调递减,不合题意.‎ ‎④当时,即 ,当时,,单调递增,‎ 当时,,单调递减,‎ 所以在处取得极大值,合题意.‎ 综上可知,实数的取值范围为.‎ ‎15.(2016天津文20)设函数,,其中.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)若存在极值点,且,其中,求证:;‎ ‎(3)设,函数,求证:在区间上的最大值不小于.‎ ‎15.解析 (1)由,可得,下面分两种情况讨论:‎ ①当时,有恒成立,所以在上单调递增.‎ ②当时,令,解得或.‎ 当变化时,,的变化情况如表所示.‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.‎ ‎(2)证明:因为存在极值点,所以由(1)知且.‎ 由题意得,即,所以.‎ 又,且,‎ 由题意及(1)知,存在唯一实数满足,且,因此,所以.‎ ‎(3)证明:设在区间上的最大值为,表示,两数的最大值,下面分三种情况讨论:‎ ‎①当时,由知在区间上单调递减,‎ 所以在区间上的取值范围为,因此 ‎,‎ 所以 ‎ ②当时,,‎ 由(1)和(2) 知,,‎ 所以在区间上的取值范围为,‎ 所以 ‎.‎ ‎ ③当时,,‎ 由(1)和(2)知,,‎ 所以在区间上的取值范围为,因此.‎ 综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.‎ ‎16.(2017北京文20)已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎16.解析 .‎ ‎(1),,则曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(2).‎ 因为,恒成立,所以在上单调递减,且,所以,所以在上单调递减,所以,.‎ ‎17.(2017山东文20)已知函数.‎ ‎(1)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ 解析 (1)由题意,.‎ ‎(1)当时,,,所以,‎ 因此,曲线在点处的切线方程是,即.‎ ‎(2)因为,所以.‎ 令,则 ,所以在上单调递增.‎ 因为,所以当时,;当时,.‎ ‎①当时,,‎ 当时,,,单调递增;‎ 当时,,,单调递减;‎ 当时,,,单调递增.‎ 所以,当时,取到极大值,极大值是,‎ 当时,取到极小值,极小值是.‎ ‎②当时,.‎ 当时,,单调递增.‎ 所以,在上单调递增,无极大值也无极小值.‎ ‎③当时,.‎ 当时,,,单调递增;‎ 当时,,,单调递减;‎ 当时,,,单调递增.‎ 所以,当时,取到极大值,极大值是;‎ 当时,取到极小值,极小值是.‎ 综上所述,当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是,极小值是;‎ 当时,函数在上单调递增,无极值;‎ 当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是,极小值是.‎ ‎18.(2017浙江20) 已知函数.‎ ‎(1)求的导函数;‎ ‎(2)求在区间上的取值范围.‎ ‎18.解析 (1)因为 ,,‎ 所以.‎ ‎(2)由,解得或.‎ 当变化时,,的变化情况如下表所示.‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 又,,所以在区间上的取值范围是.‎ ‎19.(2017江苏20)已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).‎ ‎(1)求关于的函数关系式,并写出定义域;‎ ‎(2)证明:;‎ ‎(3)若,这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范围.‎ ‎19.解析 (1)由,得,‎ 当时,有极小值为.‎ 因为的极值点是的零点,‎ 所以,又,故.‎ 当时,恒成立,即单调递增,‎ 所以此时不存在极值,不合题意.‎ 因此,即,所以.‎ 有两个相异的实根,.‎ 列表如下 x ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 故的极值点是,从而.‎ 所以关于的函数关系式为,定义域为.‎ ‎(2)解法一:由(1)知,即证明,即,‎ 因为,所以问题等价于,‎ 不妨设,则,不妨设,‎ 易知在上单调递增,且,‎ 从而,即得证.‎ 因此.‎ 解法二(考试院提供):由(1)知,.‎ 设,则.‎ 当时,,从而在上单调递增.‎ 因为,所以,故,即,‎ 因此.‎ ‎(3)由(1)设的两个实根为,且设,‎ 且有,因此.‎ 而的情况如下表所示:‎ 极大值 极小值 所以的极值点是,‎ 从而 ‎.‎ 记,所有极值之和为,‎ 因为的极值为,所以,.‎ 处理方法一:因为,于是在上单调递减.‎ 因为,由,故.‎ 处理方法二:所以,整理得(必然可以猜测零点),‎ ‎,因此.‎ 因此的取值范围为.‎ 评注 ①此题第(2)问考查的是数值大小的比较,常见的有作差法、作商法、两边平方比较法,此题采用作商(考试院解法二)化简函数达到简化效果,可见对于压轴问题,方法的选择是非常关键的.‎ ‎②第(3)问实际考查的是函数零点的应用,下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考.‎ 案例1:已知函数,若函数存在极值,且所有极值之和小于,则实数的取值范围是 .‎ 解析 因为,‎ 设,当时,恒成立,‎ 所以单调递减,故不存在极值;‎ 所以,设的两根为(不妨设),‎ 从而,因此同号,‎ 所以问题等价于在上有两个不相等的实数根,‎ 因此,从而.‎ 所以的所有极值之和为 ‎,‎ 因此,解得,又,所以实数的取值范围是.‎ ④另外,如果熟悉三次函数对称中心,此题还可以作如下考虑:‎ 即,,,‎ 令,则,所以该三次函数的对称中心为.‎ 因此有 ‎.‎ 这里可以采用假算的思想,即写出简单过程,省去中间过于复杂的运算过程,直接写出结果即可,这需要平时积累一些有价值的素材.‎ 案例2:(徐州15-16高二下学期期末文20)已知函数,为函数的导函数.‎ ‎(1)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)求函数的单调区间;‎ ‎(3)若存在实数,且,使得,求证:.‎ 解析 (1)若,则,,‎ 所以切线斜率为,又,‎ 所以在点处的切线方程为.‎ ‎(2),.‎ ①当时,恒成立,所以的单调增区间为;‎ ②当时,令,得或,‎ 所以的单调增区间为和,‎ 同理的单调减区间为;‎ ③当时,令,得.‎ 所以的单调增区间为,同理的单调减区间为.‎ ‎(3)由题意可知,是方程的两根,‎ 则,,‎ 所以.‎ 令,.‎ 则恒成立,所以在上单调递减,‎ 所以,即.‎ 题型38 利用导函数研究函数的图像 ‎1.(2017浙江7)函数的导函数的图像如图所示,则函数的图像可能是( ).‎ ‎1.解析 导数大于零,原函数单调递增,导数小于零,原函数单调递减,对照导函数图像和原函数图像.故选D.‎ 题型39 恒成立与存在性问题 ‎1. (2013辽宁文21)(1)证明:当时,;‎ ‎(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎1.分析 利用构造法,分别判断与,与的大小关系;利用比较法或构造函数,通过导数求解范围.‎ 解析 (1)证明:记,则,‎ 当时,,在上是增函数;‎ 当时,,在上是减函数.‎ 又,,所以当时,,即.‎ 记,则当时,,所以在上是减函数,则,即.‎ 综上,,.‎ ‎(2)解法一:因为当时,‎ ‎,‎ 所以,当时,不等式对恒成立.‎ 下面证明,当时,不等式对不恒成立.‎ 因为当时,‎ ‎,‎ 所以存在 满足,‎ 即当时,不等式对不恒成立.‎ 综上,实数的取值范围是.‎ 解法二:记,则 ‎.‎ 记,则.‎ 当时,,因此.‎ 于是在上是减函数,因此,当时,,故当时,,从而在上是减函数,所以,即当时,不等式对恒成立.‎ 下面证明,当时,不等式对不恒成立.‎ 当时,,所以当时,,‎ 因此在上是增函数,故;‎ 当时,.‎ 又,故存在使,则当时,,所以在上是增函数,所以当时,.‎ 所以当时,不等式,对不恒成立.‎ 综上,实数的取值范围是.‎ ‎2.(2014福建文22)(本小题满分12分)‎ 已知函数(为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.‎ ‎(1)求的值及函数的极值;‎ ‎(2)求证:当时,‎ ‎(3)求证:对任意给定的正数c,总存在,使得当时,恒有 ‎3. (2014广东文21)(本小题满分14分)‎ ‎ 已知函数.‎ (1) 求函数的单调区间;‎ (2) 当时,试讨论是否存在,使得.‎ ‎4.(2014江苏23)(本小题满分10 分)‎ 已知函数,设为的导数,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求证:对任意的,等式都成立.‎ ‎5.(2014辽宁文21)(本小题满分12分)‎ 已知函数,.‎ 求证:(1)存在唯一,使;‎ ‎(2)存在唯一,使,且对(1)中的,有.‎ ‎6.(2014天津文19)(本小题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求的单调区间和极值;‎ ‎(2)若对于任意的,都存在,使得,求的取值范围.‎ ‎7. (2014浙江文21)函数,若在上的最小值记为.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求证:当时,恒有.‎ ‎8.(2014陕西文21)(本小题满分14分)‎ 设函数.‎ (1) 当(e为自然对数的底数)时,求的极小值;‎ (2) 讨论函数零点的个数;‎ ‎(3)若对任意,恒成立,求m的取值范围.‎ ‎9.(2015福建文12)“对任意,”是“”的( ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9. 解析 当时,,构造函数,.‎ 则,故在上单调递减,‎ 故,则;‎ 当时,不等式等价于,‎ 构造函数,则,‎ 故在上单调递减,故,则.‎ 综上所述,“对任意,”是“”的必要不充分条件.故选B.‎ ‎10.(2015福建文22(3))已知函数.确定实数的所有可能取值,‎ 使得存在,当时,恒有.‎ ‎10. 分析 由(2)知,当时,不存在满足题意;当时,对于,‎ 有,则,从而不存在满足题意;当时,构造函数,,利用导数研究函数的形状,只要存在,当时,即可.‎ 解析 由(2)知,当时,不存在满足题意;‎ 当时,对于,有,则,‎ 从而不存在满足题意.‎ 当时,令,,‎ 则有.‎ 由得,.‎ 解得(舍),.‎ 当时,,故在上单调递增.‎ 从而当时,,即.‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎11.(2015湖南文21(2))函数,记为的从小到大的第个极值点.若对一切恒成立,求的取值范围.‎ ‎11. 解析 对一切恒成立,即恒成立,亦即恒成立(), 设,则,令得,‎ 当时,,所以在区间上单调递减;‎ 当时,,所以在区间上单调递增;‎ 因为,且当时,,‎ 所以,‎ 因此恒成立,当且仅当,解得,‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎12.(2015四川文21(2))已知函数,其中.‎ 求证:存在,使得恒成立,并且在区间内有唯一解.‎ ‎12. 解析 由,解得,‎ 令.‎ 则,,所以存在,使得.‎ 令,其中.‎ 由,可知函数在区间上单调递增.‎ 故,即.‎ 当时,有,,‎ 再由(1)可知,在区间上单调递增.‎ 当时,,所以;‎ 当时,,所以.‎ 又当时,,故时,.‎ 综上所述,存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解.‎ ‎13.(2016全国甲文20)已知函数.‎ ‎(1)当时,求曲线在处的切线方程;‎ ‎(2)若当时,,求的取值范围.‎ ‎13. 解析 (1)当时,,因此,‎ ‎,,所以曲线在点处的切线方程为 ‎,即,得.‎ ‎(2)解法一:从必要条件做起.‎ 因为,对于,,‎ 又,则,得.‎ 当时,,,‎ 又,因此在上单调递增,‎ 所以,即函数在上单调递增,‎ 所以,证毕.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ 解法二(目标前提法):若对于,‎ ‎,显然不等式恒成立的前提条件是,在上单调递增,即在上恒成立,即对恒成立,得.‎ 设,则,所以函数在上单调递增,则,所以.‎ 再证当时,不等式不恒成立.‎ 因为,,所以函数在上单调递增.又,令,则,使得,函数在上单调递减.又,所以对于,与题意中对于,不恒成立,故舍去.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ 解法三:直接从最值的角度转化.‎ 本题对于,,则只须对于,.‎ 因为,,,所以函数在上单调递增.‎ 又.‎ 若,即,,函数在上单调递增,,满足题意.‎ 若,即,令,则函数在上单调递减,‎ 则,不满足题意.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎14.(2016四川文21)设函数,,其中,为自然对数的底数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)求证:当时,; ‎ ‎(3)确定的所有可能取值,使得在区间内恒成立.‎ ‎14.解析 (1)函数的定义域为,.‎ 当时,,在内单调递减.‎ 当时,由,得 当时,,单调递减;‎ 当时,,单调递增.‎ ‎(2)要证明当时,,即,等价于证明当时,.‎ 构造辅助函数,,,则函数在区间上单调递增,‎ 所以当时,,因此,当时,,即,即.‎ ‎(3)依题意,当时,函数在上单调递减,且,则对于,.‎ 又,,则对于,恒有,因此不满足题意.‎ 令,且.‎ 因为对于,恒成立.‎ 又,‎ 所以,设.‎ 且 ‎,因此在区间上单调递增.‎ 又因为,所以当时,恒成立,即恒成立.‎ 综上所述,的取值范围为.‎ ‎15.(2017全国1文21)已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎15.解析 (1).‎ ①当时,恒成立,所以在上单调递增;‎ ②当时,恒成立,令,则,‎ 故,所以在上单调递增,在上单调递减;‎ ③当时,恒成立,令,则,即,‎ 所以,所以在上单调递增,同理在上单调递减.‎ ‎(2)①当时,恒成立,符合题意;‎ ②当时,,‎ 故,即;‎ ③当时,‎ ‎,‎ 从而,故,所以.‎ 综上所述,的取值范围为.‎ ‎16.(2017全国2文21)设函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当时,,求的取值范围.‎ ‎16.解析 (1).‎ 令,得,解得,.所以当时,,当或时,,所以在区间,上是减函数,在区间上是增函数.‎ ‎(2)因为时,,所以.所以,令,则,即时,,而,所以,所以,.‎ 再令,,当时,恒成立. 所以在上是增函数,恒有,从而是增函数,,,在上恒成立,故即为所求.‎ ‎17.(2017天津文19)设,.已知函数,.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)已知函数和的图像在公共点处有相同的切线.‎ ‎(i)求证:在处的导数等于0;‎ ‎(ii)若关于的不等式在区间上恒成立,求的取值范围.‎ ‎17.解析 (1)由.‎ 可得,‎ 令,解得或.由,得.‎ 当变化时,,的变化情况如下表所示.‎ 所以,的单调递增区间为,,单调递减区间为.‎ ‎(2)(i)因为,由题意知,‎ 所以,解得.‎ 所以,在处的导数等于0.‎ ‎(ii)因为,,由,可得.‎ 又因为,,故为的极大值点,由(1)知.‎ 另一方面,由于,故.‎ 由(1)知在上单调递增,在上单调递减,故当时,在上恒成立,从而在上恒成立.‎ 由,得,.‎ 令,,所以.‎ 令,解得(舍去)或.所以当时,,当,时,,所以在上单调递增,在上单调递减.‎ 因为,,,故的值域为.‎ 所以的取值范围是.‎
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