【数学】2019届理科一轮复习北师大版6-5综合法、分析法、反证法教案

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文档介绍

【数学】2019届理科一轮复习北师大版6-5综合法、分析法、反证法教案

第五节 综合法、分析法、反证法 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点;2.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程和特点.‎ ‎(对应学生用书第101页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法 实质 由因导果 执果索因 框图表示 →→…→ →→…→ 文字语言 因为……所以……或由……得……‎ 要证……只需证……即证……‎ ‎2.反证法 ‎(1)反证法的定义:在假定命题结论的反面成立的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题结论成立的方法叫反证法.‎ ‎(2)反证法的证题步骤:‎ ‎①作出否定结论的假设;②进行推理,导出矛盾;③否定假设,肯定结论.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(  )‎ ‎(2)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.(  )‎ ‎(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.(  )‎ ‎(4)在解决问题时,常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.用分析法证明时出现:欲使①A>B,只需②C<D,这里①是②的(  )‎ A.充分条件    B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B [由题意可知②⇒①,故①是②的必要条件.]‎ ‎3.用反证法证明命题:“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(  )‎ A.方程x2+ax+b=0没有实根 B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根 A [“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根”,故选A.]‎ ‎4.设a,b,c都是正数,则a+,b+,c+三个数(  )‎ A.都大于2‎ B.都小于2‎ C.至少有一个不大于2‎ D.至少有一个不小于2‎ D [∵++ ‎=++≥6,‎ 当且仅当a=b=c时取等号,‎ ‎∴三个数中至少有一个不小于2.]‎ ‎5.(教材改编)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为__________三角形.‎ 等边 [由题意2B=A+C,‎ 又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac,‎ 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,‎ ‎∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c,‎ ‎∴A=C,∴A=B=C=,‎ ‎∴△ABC为等边三角形.]‎ ‎(对应学生用书第102页)‎ 综合法 ‎ (2017·江苏高考)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan,对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.‎ ‎(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;‎ ‎(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.‎ ‎[证明] (1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则 an=a1+(n-1)d,‎ 从而,当n≥4时,‎ an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d ‎=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,‎ 所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,‎ 因此等差数列{an}是“P(3)数列”.‎ ‎(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,‎ 当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①‎ 当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②‎ 由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③‎ an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④‎ 将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,‎ 所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.‎ 在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d′,‎ 在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d′,‎ 所以数列{an}是等差数列.‎ ‎[规律方法] 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,常与分析法结合使用,用分析法探路,综合法书写.综合法的适用范围:‎ (1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性、求证无条件的等式或不等式;‎ (2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.‎ ‎[跟踪训练] 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.‎ 证明:(1)ab+bc+ac≤;‎ ‎(2)++≥1. ‎ ‎【导学号:79140209】‎ ‎[证明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,‎ 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,‎ 由题设得(a+b+c)2=1,‎ 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.‎ 所以3(ab+bc+ca)≤1,‎ 即ab+bc+ca≤.‎ ‎(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,‎ 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),‎ 即++≥a+b+c.‎ 所以++≥1.‎ 分析法 ‎ 已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有≥f.‎ ‎ ‎ ‎[规律方法] 1.分析法的适用范围 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.‎ ‎2.利用分析法证明问题的思路与书写格式 分析法的特点和思路是“执果索因”,逐步寻找结论成立的充分条件,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等,通常采用“欲证—只需证—已知”的格式,在表达中要注意叙述形式的规范性.‎ ‎[跟踪训练] 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ 求证:+=.‎ ‎[证明] 要证+=,‎ 即证+=3,也就是+=1,‎ 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),‎ 需证c2+a2=ac+b2,‎ 又△ABC三内角A,B,C成等差数列,‎ 故B=60°,‎ 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60°,‎ 即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.‎ 于是原等式成立.‎ 反证法 ‎ 设a>0,b>0,且a+b=+.证明:‎ ‎(1)a+b≥2;‎ ‎(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.‎ ‎[证明] 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab=1,‎ 有a+b≥2=2,即a+b≥2.‎ ‎(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0,得0
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