高考数学专题复习（精选精讲）练习5-双曲线习题精选精讲

高考数学专题复习（精选精讲）练习5-双曲线习题精选精讲

习题精选精讲 双曲线 ‎（1）双曲线定义——与椭圆相伴相离.‎ 双曲线的定义与椭圆定义只有一字之差，它俩之间的和谐美与对立美闪耀图形之上，渗透方程之中. ‎ 从定义的角度讲，双曲线与椭圆的主要区别有三：‎ ‎1.按第一定义，双曲线要求动点到两定点距离之差为常数（小于两定点间的距离），而椭圆则要求动点到两定点距离之和为常数（大于两定点间的距离）；‎ ‎2.按第二定义，双曲线要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（e＞1），而椭圆则要求动点到一个定点和一条定直线的距离之比为常数e（0＜e＜1）；‎ ‎3.按主要参数a、b、c之间的关系，双曲线要求c2=a2+b2 ‎ ‎.而椭圆则要求 a2=b2+c2‎ ‎.‎ ‎【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】椭圆的长半轴为 双曲线的实半轴为 ‎，故选A.‎ ‎【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.‎ ‎【例2】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为 ‎【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.‎ ‎【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率 右准线为.作于N，交双曲线右支于P，‎ 连FP，则.此时 为最小.‎ 在中，令，得取.所求P点的坐标为. ‎ ‎（2）渐近线——双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.‎ 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.‎ ‎【例3】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是 ‎【解析】设所求双曲线为 - 8 -‎ - 8 -‎ 习题精选精讲 点（1，3）代入：.代入（1）：‎ 即为所求.‎ ‎【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.‎ ‎（3）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄 将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.‎ ‎【例4】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.‎ ‎【证明】双曲线的离心率；‎ 双曲线的离心率.‎ ‎∴. ‎ ‎（4）等轴双曲线——和谐对称 与圆同美 实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.‎ ‎【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.‎ ‎【证明】如图设等轴双曲线方程为，‎ 直线CD：y=m.代入（1）：.故有：‎ ‎.‎ 取双曲线右顶点.那么：‎ ‎.即∠CBD=90°.‎ 同理可证：∠CAD=90°.‎ ‎● 通法 特法 妙法 ‎（1）方程法——为解析几何正名 - 8 -‎ - 8 -‎ 习题精选精讲 解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.‎ ‎【例6】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该 双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析1】设AB交x轴于M，并设双曲线半焦距为c，∵△是等边三角形，∴点代入双曲线方程：‎ ‎.化简得：‎ ‎.‎ ‎（∵e＞1，∴及舍去）故选D.‎ ‎【解析2】连AF1，则△AF‎1F2为直角三角形，且斜边F‎1F2之长为‎2c.令由直角三角形性质知：.‎ ‎∵.‎ ‎∵e﹥1，∴取.选D.‎ ‎【评注】即使是解析法解题，也须不失时机地引入几何手段.‎ ‎（2）转换法——为解题化归立意 ‎【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ） ‎ A.e> B.1‎ ‎【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，‎ 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.‎ ‎【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线 的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线与双曲线的两 - 8 -‎ - 8 -‎ 习题精选精讲 个交点分别在左右两支上.由 ‎.‎ ‎ ∵双曲线中，故取e>.选D.‎ ‎（3）几何法——使数形结合带上灵性 ‎【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；‎ 于是，‎ 故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°.‎ ‎∴.选B.‎ ‎【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.‎ 将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处.‎ ‎（4）设而不求——与借舟弃舟同理 减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：‎ ‎【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】设弦的两端分别为.则有：‎ ‎.‎ ‎∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率.‎ 则所求直线方程为：，故选C.‎ ‎“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.‎ 但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：‎ - 8 -‎ - 8 -‎ 习题精选精讲 ‎【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.‎ 如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：‎ ‎【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：‎ ‎.‎ ‎∵M（1，1）为弦AB的中点，‎ ‎∴‎ 故存在符合条件的直线AB，其方程为：.‎ 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：‎ 其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.‎ 问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.‎ ‎【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由 这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.‎ 此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.‎ 结论；不存在符合题设条件的直线.‎ ‎（5）设参消参——换元自如 地阔天宽 一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.‎ ‎【例11】如图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点的直线与双曲线的左右 两支分别交于、两点，设，当 时，求直线的斜率的取值范围. ‎ ‎ 【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF的中点M 的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到 点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向 ‎ 第（Ⅱ）中，直线的斜率是主要变量，其它包括λ都是辅助变量. 斜率的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.‎ - 8 -‎ - 8 -‎ 习题精选精讲 ‎【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：.其左焦点为F（-c。0）；左准线：.‎ 由，得P（，1）；由 FP的中点为.代入双曲线方程：‎ ‎ 根据（1）与（2）.所求双曲线方程为.‎ ‎ （Ⅱ）设直线的参数方程为：.代入得：‎ 当，方程（3）总有相异二实根，设为. ‎ 已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，∴‎ ‎，.于是：‎ ‎.注意到在上是增函数，‎ ‎（4）代入（5）：‎ ‎ ∵双曲线的渐近线斜率为，故直线与双曲线的左右两支分别交必须 ‎.综合得直线的斜率的取值范围是.‎ 双曲线 ‎1已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 ‎ - 8 -‎ - 8 -‎ 习题精选精讲 解 (1)如图，设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1 ‎ ‎(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）‎ 假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有 ‎，∴kl=∴l的方程为 y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在 ‎ ‎2．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。‎ ‎ 错解 设符合题意的直线存在，并设、‎ ‎ 则 （1）得 因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将(4)、(5)代入（3）得 ‎ ‎ 若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由 ‎ 得 根据,说明所求直线不存在。‎ ‎3已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？‎ 解：（1）设直线AB：代入得 （＊）‎ ‎ 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 ∴ 且 ‎ ‎ ∵ ∴ N是AB的中点 ∴ ‎ ‎ ∴ k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1 ‎ ‎ （2）将k = 1代入方程（＊）得 或 由得， ∴ ，∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为 - 8 -‎ - 8 -‎ 习题精选精讲 ‎ 即代入双曲线方程整理得 令，及CD中点则，， ∴， ‎ ‎ |CD| =， ，即A、B、C、D到M距离相等 ‎ ∴ A、B、C、D四点共圆 ‎ - 8 -‎ - 8 -‎