高考数学专题复习练习:单元质检七
单元质检七 不等式、推理与证明
(时间:45分钟 满分:100分)
单元质检卷第16页
一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)
1.(2016河南洛阳二模)已知条件p:x>1,q:1x<1,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案A
解析由x>1,推出1x<1,故p是q的充分条件;
由1x<1,得1-xx<0,解得x<0或x>1.故p不是q的必要条件,故选A.
2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理( )
A.结论正确 B.大前提不正确
C.小前提不正确 D.全不正确
答案C
解析因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.
3.设变量x,y满足约束条件x-y+2≥0,2x+3y-6≥0,3x+2y-9≤0,则目标函数z=2x+5y的最小值为( )
A.-4 B.6 C.10 D.17
答案B
解析作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,如图三角形ABC及其内部区域,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).将z=2x+5y变形为y=-25x+z5,可知当y=-25x+z5经过点B时,z取最小值6.故选B.
4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )
A.[0,2] B.[-2,0]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
答案D
解析∵2x+2y=1≥22x+y,∴122≥2x+y,即2x+y≤2-2.
∴x+y≤-2.
5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
答案B
解析若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.
6.已知x,y满足约束条件x-y≥0,x+y-2≥0,x≤4,当且仅当x=y=4时,z=ax-y取得最小值,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,1] B.(-∞,1)
C.(0,1) D.(-∞,1)∪(1,+∞)
答案B
解析作出约束条件x-y≥0,x+y-2≥0,x≤4所对应的平面区域如图阴影部分.
目标函数z=ax-y可化为y=ax-z,可知直线y=ax-z的斜率为a,在y轴上的截距为-z.
∵z=ax-y仅在点A(4,4)处取得最小值,
∴斜率a<1,即实数a的取值范围为(-∞,1),故选B.
7.不等式1a-b+1b-c+λc-a>0对满足a>b>c恒成立,则λ的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1)
C.(-∞,4) D.(4,+∞)〚导学号74920694〛
答案C
解析变形得λ<(a-c)1a-b+1b-c=[(a-b)+(b-c)]·1a-b+1b-c=1+a-bb-c+b-ca-b+1,而1+a-bb-c+b-ca-b+1≥4(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则λ<4.故选C.
8.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为xx<-13或x>12,则不等式bx2-5x+a>0的解集为( )
A.x-13
12
C.{x|-32}
答案C
解析由题意知a>0,且12,-13是方程ax2-5x+b=0的两根,
∴-13+12=5a,-13×12=ba,解得a=30,b=-5,
∴bx2-5x+a>0为-5x2-5x+30>0,x2+x-6<0,解得-30),即x=80时等号成立,故选B.
10.(2016吉林白山三模)已知实数x,y满足x-y+2≥0,x+y-4≥0,4x-y-4≤0,则当3x-y取得最小值时,x-5y+3的值为( )
A.-23 B.23 C.-12 D.12〚导学号74920695〛
答案A
解析不等式组x-y+2≥0,x+y-4≥0,4x-y-4≤0所表示的平面区域如图阴影部分.
令z=3x-y,则当直线z=3x-y经过点A时,z取得最小值.
由x+y-4=0,x-y+2=0,可知点A的坐标为(1,3).
此时x-5y+3=-23.故选A.
11.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是( )
A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤
答案C
解析若a=12,b=23,则a+b>1,
但a<1,b<1,故①推不出;
若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;
若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;
若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;
对于③,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,
用反证法证明:假设a≤1,且b≤1,
则a+b≤2与a+b>2矛盾,
因此假设不成立,即a,b中至少有一个大于1.
故③能推出.因此选C.
12.已知任意非零实数x,y满足3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,则实数λ的最小值为( )
A.4 B.5 C.115 D.72〚导学号74920696〛
答案A
解析依题意,得3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2)(当且仅当x=2y时等号成立).
因此有3x2+4xyx2+y2≤4,当且仅当x=2y时等号成立,
即3x2+4xyx2+y2的最大值是4,结合题意得λ≥3x2+4xyx2+y2,
故λ≥4,即λ的最小值是4.
二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)
13.观察分析下表中的数据:
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
正方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 .
答案F+V-E=2
解析三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.
14.(2016河南驻马店期末)已知f(x)=lg(100x+1)-x,则f(x)的最小值为 .
答案lg 2
解析∵f(x)=lg(100x+1)-x=lg 100x+110x=lg(10x+10-x)≥lg 2,当且仅当x=0时等号成立,∴f(x)的最小值为lg 2.
15.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn.若y=sin x在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是 .〚导学号74920697〛
答案332
解析由题意知,凸函数f(x)满足f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn,又y=sin x在区间(0,π)上是凸函数,故sin A+sin B+sin C≤3sin A+B+C3=3sin π3=332.
16.(2016山西太原三模)已知实数x,y满足约束条件x≥0,x≥y,2x-y≤1,则23x+2y的最大值是 .
答案32
解析设z=3x+2y,由z=3x+2y得y=-32x+z2.
作出不等式组x≥0,x≥y,2x-y≤1对应的平面区域如图阴影部分,
由图象可知当直线y=-32x+z2经过点B时,
直线y=-32x+z2在y轴上的截距最大,此时z也最大.
由x=y,2x-y=1,解得x=1,y=1,即B(1,1).
故zmax=3×1+2×1=5,则23x+2y的最大值是25=32.