高考数学专题复习练习第二章 第十三节 定积与微积分基本定理[理] 课下练兵场
第二章 第十三节 定积与微积分基本定理[理]
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命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
定积分的计算
1、2、3
5、7、8、10
6、12
求曲多边形的面积
4
11
定积分在物理中的应用
9
一、选择题
1.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则∫f(－x)dx的值等于 ( )
A. B. C. D.
解析：由于f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，
所以f(x)＝x2＋x，于是∫f(－x)dx＝∫(x2－x)dx
＝(x3－x2)|＝.
答案：A
2.(2009·福建高考) ∫ (1＋cosx)dx等于 ( )
A.π B.2 C.π－2 D.π＋2
解析：∵(x＋sinx)′＝1＋cosx，
∴∫ (1＋cosx)dx＝(x＋sinx)
＝＋sin－＝π＋2.
答案：D
3.设连续函数f(x)>0，则当a
0，
可知∫f(x)dx表示x＝a，x＝b，y＝0与y＝f(x)围成的曲边梯形的面积.∴∫ f(x)dx>0.
答案：A
4.如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( )
A.1 B. C. D.2
解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于 ∫(－x2＋2x＋1－1)dx＝∫(－x2＋2x)dx＝.
答案：B
5.已知f(x)为偶函数且∫f(x)dx＝8，则∫f(x)dx等于 ( )
A.0 B.4 C.8 D.16
解析：原式＝∫f(x)dx＋∫f(x)dx.
∵原函数为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，
∴对应的面积相等，则∫f(x)dx＝8×2＝16.
答案：D
6.设 ( )
A. B. C. D.不存在
解析：数形结合，
∫f(x)dx＝∫x2dx＋∫(2－x)dx
＝＋
＝.
答案：C
二、填空题
7.已知f(x)＝∫(2t－4)dt，则当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为 .
解析：f(x)＝∫(2t－4)dt＝(t2－4t)|＝x2－4x
＝(x－2)2－4(－1≤x≤3)，
∴当x＝2时，f(x)min＝－4.
答案：－4
8.已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若∫f(x)dx＝2f(a)，则a＝ .
解析：∫f(x)dx＝∫(3x2＋2x＋1)dx
＝(x3＋x2＋x)|＝4＝2f(a)，
f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，
解得a＝－1或.
答案：－1或
9.一物体以v(t)＝t2－3t＋8(m/s)的速度运动，在前30 s内的平均速度为 .
解析：由定积分的物理意义有：
s＝∫(t2－3t＋8)dt＝(t3－t2＋8t)| ＝7890(m).
∴＝＝＝263(m/s).
答案：263 m/s
三、解答题
10.求下列定积分：
(1)(3x2－x＋1)dx；
(2)∫(e2x＋)dx；
解：(1)(3x2－x＋1)dx＝(x3－x2＋x) |
＝a3－a2＋a.
(2)∵(lnx)′＝，(e2x)′＝e2x，
∴∫(e2x＋)dx＝∫e2xdx＋∫dx
＝e2x|＋lnx|
＝e4－e2＋ln2－ln1
＝e4－e2＋ln2.
11.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图：
直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数
图象所围成的区域(阴影)面积为，求f(x).
解：由f(0)＝0得c＝0，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′(0)＝0得b＝0，
∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，
由∫[－f(x)]dx＝得a＝－3.
∴f(x)＝x3－3x2.
12.已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，∫f(x)dx＝－2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值.
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
由
∴f(x)＝ax2＋(2－a).
又∫f(x)dx＝∫[ax2＋(2－a)]dx
＝[ax3＋(2－a)x]|＝2－a＝－2，
∴a＝6，∴c＝－4.
从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，
所以当x＝0时f(x)min＝－4；
当x＝±1时，f(x)max＝2.
