【数学】2020届一轮复习人教A版第38课基本不等式及其简单应用(2)作业（江苏专用）
随堂巩固训练(38)
1. 若正数a，b满足＋＝1，则a＋b的最小值是__3＋2__．
解析：a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即a＝＋1，b＝＋2时等号成立，所以a＋b的最小值为3＋2.
2. 若不等式|2a－1|≤|x＋|对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是____．
解析：当x>0时，＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立；当x<0时，＝(－x)＋≥2＝2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立，所以的最小值为2.因为|2a－1|≤对一切非零实数恒成立，所以|2a－1|≤2，所以实数a的取值范围为[－，]．
3. 若对于任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是____．
解析：因为x>0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，所以＝≤＝，所以a≥.
4. 已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为__4__．
解析：x＋2y＝8－x·(2y)≥8－(当且仅当x＝2y时取等号)，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0.又x＋2y≥0，所以x＋2y≥4，即x＋2y的最小值为4.
5. 已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是__(－4，2)__．
解析：因为＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号．因为x＋2y>m2＋2m恒成立，所以m2＋2m<8，得－4
2时，使不等式x＋≥a恒成立的实数a的取值范围是__(－∞，4]__．
解析：因为x>2，所以x－2>0，所以x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝3时取等号．因为不等式x＋≥a恒成立，所以≥a，所以实数a的取值范围是(－∞，4]．
8. 若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为__5__．
解析：由题意知a＋b＝×2＝1，所以α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝1＋＝1＋.因为≤，所以ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以α＋β≥1＋4＝5，即α＋β的最小值为5.
9. 若a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为____．
解析：因为＋＝＝1，则2a＋2b＋1＝2ab＋2a＋b2＋b，得a＝，所以a＋2b＝＋2b＝＝＋＋≥2＋＝＋，当且仅当＝，即b＝时等号成立，所以a＋2b的最小值为.
10. 若不等式a2＋3b2≥λb(a＋b)对任意a，b∈R恒成立，则实数λ的最大值为__2__．
解析：因为a2－λba＋(3－λ)b2≥0恒成立，所以(λb)2－4(3－λ)b2≤0，所以(λ2＋4λ－12)b2≤0，所以λ2＋4λ－12≤0，解得－6≤λ≤2，所以λ的最大值为2.
11. 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成的角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥、石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 m2，且高度不低于 m．记防洪堤横断面的腰长为x(m)，外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)为y(m)．
(1) 求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
(2) 要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5 m，则其腰长x应在什么范围内？
(3) 当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)？求此时外周长的值．
解析：(1) 设横断面的高为h，则9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×＝BC＋x，h＝x，所以9＝(2BC＋x)×x，所以BC＝－.
由题意解得2≤x<6，所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)．
(2) 由y＝＋≤10.5，得3≤x≤4.因为[3，4][2，6)，所以腰长x的取值范围是[3，4]．
(3) y＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即x＝2∈[2，6)时，等号成立，
所以横断面的外周长的最小值为6 m，此时腰长为2 m.
12. 某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报后立即派消防队员前去灭火，在火灾发生后5 min到达火灾现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次灭火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁1m2森林的损失费为60元．
(1) 设派x名消防队员前去灭火，用t min将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；
(2) 问应该派多少名消防队员前去灭火，才能使总损失最少？(总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备耗损费用＋森林损失费)
解析：(1) t＝＝.
(2) 设总损失为y元，则由题意得y＝125tx＋100x＋60×(500＋100t)＝125·x·＋100x＋30 000＋＝1 250·＋100(x－2＋2)＋30 000＋＝31 450＋100(x－2)＋≥31 450＋2＝36 450，
当且仅当100(x－2)＝，即x＝27时，y有最小值36 450，
所以应该派27名消防队员前去灭火，才能使总损失最少．
13. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．
(1) 求θ关于x的函数关系式；
(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比值为y，求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y取得最大值？
解析：(1) 由题意得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝.
(2) 花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0
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