人教版必修三第二章统计2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特征

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人教版必修三第二章统计2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特征

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 课时目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字 特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题. 1.众数、中位数、平均数 (1)众数的定义: 一组数据中重复出现次数________的数称为这组数的众数. (2)中位数的定义及求法 把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最______位置的那个数称为这组数据的中位 数. ①当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大顺序排列的__________那个数. ②当数据个数为偶数时,中位数为排列的最中间的两个数的________. (3)平均数 ①平均数的定义: 如果有 n 个数 x1,x2,…,xn,那么 x =____________,叫做这 n 个数的平均数. ②平均数的分类: 总体平均数:________所有个体的平均数叫总体平均数. 样本平均数:________所有个体的平均数叫样本平均数. 2.标准差、方差 (1)标准差的求法: 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示. s = ________________________________________________________________________. (2)方差的求法: 标准差的平方 s2 叫做方差. s2 = ________________________________________________________________________. 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.在两组数据中,平均值较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均值的波动大小 C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和 D.在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高 2.已知 10 名工人生产同一零件,生产的件数分别是 16,18,15,11,16,18,18,17,15,13,设 其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 3.甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛,他们都参加了全部的 7 场比赛, 平均得分均为 16 分,标准差分别为 5.09 和 3.72,则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动 中,发挥得更稳定的是( ) A.甲 B.乙 C.甲、乙相同 D.不能确定 4.一组数据的方差为 s2,将这组数据中的每个数据都扩大 3 倍,所得到的一组数据的 方差是( ) A.1 3s2 B.s2 C.3s2 D.9s2 5.如图是 2010 年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中,七位评委为某位选手打出分数的茎 叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数和方差分别为( ) A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,0.4 6.如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 x A 和 x B, 样本标准差分别为 sA 和 sB 则( ) A. x A> x B,sA>sB B. x A< x B,sA>sB C. x A> x B,sAb>a.] 3.B [方差或标准差越小,数据的离散程度越小,表明发挥得越稳定. ∵5.09>3.72,故选 B.] 4.D [s20=1 n[9x21+9x22+…+9x2n-n(3 x )2]=9·1 n(x21+x22+…+x2n-n x 2)=9·s2(s 20为新 数据的方差).] 5.C [由题意 x =1 5(84+84+86+84+87)=85. s2=1 5[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]=1 5(1+1+1+1+4) =8 5 =1.6.] 6.B [样本 A 数据均小于或等于 10,样本 B 数据均大于或等于 10,故 x A< x B, 又样本 B 波动范围较小,故 sA>sB.] 7.91 解析 由题意得 8.甲 解析 x 甲=9, 2S甲 =0.4, x 乙=9, 2S乙 =1.2,故甲的成绩较稳定,选甲. 9.0.19 解析 这 21 个数的平均数仍为 20,从而方差为 1 21 ×[20×0.2+(20-20)2]≈0.19. 10.解 由折线图,知 甲射击 10 次中靶环数分别为: 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 将它们由小到大重排为:5,6,6,7,7,7,7,8,8,9. 乙射击 10 次中靶环数分别为: 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 也将它们由小到大重排为:2,4,6,7,7,8,8,9,9,10. (1) x 甲= 1 10 ×(5+6×2+7×4+8×2+9)=70 10 =7(环), x 乙= 1 10 ×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)=70 10 =7(环), s2甲= 1 10 ×[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2] = 1 10 ×(4+2+0+2+4) =1.2, s2乙= 1 10 ×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2] = 1 10 ×(25+9+1+0+2+8+9) =5.4. 根据以上的分析与计算填表如下: 平均数 方差 中位数 命中 9 环及 9 环以 上的次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①∵平均数相同, 2S甲 < 2S乙 , ∴甲成绩比乙稳定. ②∵平均数相同, 甲的中位数<乙的中位数, ∴乙的成绩比甲好些. ③∵平均数相同,命中 9 环及 9 环以上的次数甲比乙少, ∴乙成绩比甲好些. ④甲成绩在平均数上下波动;而乙处于上升势头,从第四次以后就没有比甲少的情况发 生,乙较有潜力. 11.解 (1)平均工资即为该组数据的平均数 x =1 7 ×(3 000+450+350+400+320+320+410) =1 7 ×5 250=750(元). (2)由于总经理的工资明显偏高,所以该值为极端值,因此由(1)所得的平均工资不能反 映一般工作人员一周的收入水平. (3)除去总经理的工资后,其他工作人员的平均工资为:x ′=1 6 ×(450+350+400+320 +320+410) =1 6 ×2 250=375(元). 这个平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平. 12.解 设第一组 20 名学生的成绩为 xi(i=1,2,…,20), 第二组 20 名学生的成绩为 yi(i=1,2,…,20), 依题意有: x = 1 20(x1+x2+…+x20)=90, y = 1 20(y1+y2+…+y20)=80,故全班平均成绩为: 1 40(x1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20) = 1 40(90×20+80×20)=85; 又设第一组学生成绩的标准差为s1,第二组学生成绩的标准差为s2,则 s21= 1 20(x21+x22+… +x220-20 x 2), s22= 1 20(y21+y22+…+y220-20 y 2) (此处, x =90, y =80),又设全班 40 名学生的标准差为 s,平均成绩为 z ( z =85), 故有 s2= 1 40(x21+x22+…+x220+y21+y22+…+y220-40 z 2) = 1 40(20s21+20 x 2+20s22+20 y 2-40 z 2) =1 2(62+42+902+802-2×852)=51. s= 51. 所以全班同学的平均成绩为 85 分,标准差为 51.
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