人教版必修三第二章统计2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特征
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
课时目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字
特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题.
1.众数、中位数、平均数
(1)众数的定义:
一组数据中重复出现次数________的数称为这组数的众数.
(2)中位数的定义及求法
把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最______位置的那个数称为这组数据的中位
数.
①当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大顺序排列的__________那个数.
②当数据个数为偶数时,中位数为排列的最中间的两个数的________.
(3)平均数
①平均数的定义:
如果有 n 个数 x1,x2,…,xn,那么 x =____________,叫做这 n 个数的平均数.
②平均数的分类:
总体平均数:________所有个体的平均数叫总体平均数.
样本平均数:________所有个体的平均数叫样本平均数.
2.标准差、方差
(1)标准差的求法:
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示.
s =
________________________________________________________________________.
(2)方差的求法:
标准差的平方 s2 叫做方差.
s2 =
________________________________________________________________________.
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.在两组数据中,平均值较大的一组方差较大
B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均值的波动大小
C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D.在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高
2.已知 10 名工人生产同一零件,生产的件数分别是 16,18,15,11,16,18,18,17,15,13,设
其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
3.甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛,他们都参加了全部的 7 场比赛,
平均得分均为 16 分,标准差分别为 5.09 和 3.72,则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动
中,发挥得更稳定的是( )
A.甲 B.乙
C.甲、乙相同 D.不能确定
4.一组数据的方差为 s2,将这组数据中的每个数据都扩大 3 倍,所得到的一组数据的
方差是( )
A.1
3s2 B.s2
C.3s2 D.9s2
5.如图是 2010 年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中,七位评委为某位选手打出分数的茎
叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.84,4.84 B.84,1.6
C.85,1.6 D.85,0.4
6.如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 x A 和 x B,
样本标准差分别为 sA 和 sB 则( )
A. x A> x B,sA>sB B. x A< x B,sA>sB
C. x A> x B,sA
b>a.]
3.B [方差或标准差越小,数据的离散程度越小,表明发挥得越稳定.
∵5.09>3.72,故选 B.]
4.D [s20=1
n[9x21+9x22+…+9x2n-n(3 x )2]=9·1
n(x21+x22+…+x2n-n x 2)=9·s2(s 20为新
数据的方差).]
5.C [由题意 x =1
5(84+84+86+84+87)=85.
s2=1
5[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]=1
5(1+1+1+1+4)
=8
5
=1.6.]
6.B [样本 A 数据均小于或等于 10,样本 B 数据均大于或等于 10,故 x A< x B,
又样本 B 波动范围较小,故 sA>sB.]
7.91
解析 由题意得
8.甲
解析 x 甲=9, 2S甲 =0.4, x 乙=9, 2S乙 =1.2,故甲的成绩较稳定,选甲.
9.0.19
解析 这 21 个数的平均数仍为 20,从而方差为 1
21
×[20×0.2+(20-20)2]≈0.19.
10.解 由折线图,知
甲射击 10 次中靶环数分别为:
9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
将它们由小到大重排为:5,6,6,7,7,7,7,8,8,9.
乙射击 10 次中靶环数分别为:
2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.
也将它们由小到大重排为:2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
(1) x 甲= 1
10
×(5+6×2+7×4+8×2+9)=70
10
=7(环),
x 乙= 1
10
×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)=70
10
=7(环),
s2甲= 1
10
×[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2]
= 1
10
×(4+2+0+2+4)
=1.2,
s2乙= 1
10
×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2]
= 1
10
×(25+9+1+0+2+8+9)
=5.4.
根据以上的分析与计算填表如下:
平均数 方差 中位数 命中 9 环及 9 环以
上的次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①∵平均数相同,
2S甲 < 2S乙 ,
∴甲成绩比乙稳定.
②∵平均数相同,
甲的中位数<乙的中位数,
∴乙的成绩比甲好些.
③∵平均数相同,命中 9 环及 9 环以上的次数甲比乙少,
∴乙成绩比甲好些.
④甲成绩在平均数上下波动;而乙处于上升势头,从第四次以后就没有比甲少的情况发
生,乙较有潜力.
11.解 (1)平均工资即为该组数据的平均数
x =1
7
×(3 000+450+350+400+320+320+410)
=1
7
×5 250=750(元).
(2)由于总经理的工资明显偏高,所以该值为极端值,因此由(1)所得的平均工资不能反
映一般工作人员一周的收入水平.
(3)除去总经理的工资后,其他工作人员的平均工资为:x ′=1
6
×(450+350+400+320
+320+410)
=1
6
×2 250=375(元).
这个平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平.
12.解 设第一组 20 名学生的成绩为 xi(i=1,2,…,20),
第二组 20 名学生的成绩为 yi(i=1,2,…,20),
依题意有: x = 1
20(x1+x2+…+x20)=90,
y = 1
20(y1+y2+…+y20)=80,故全班平均成绩为:
1
40(x1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20)
= 1
40(90×20+80×20)=85;
又设第一组学生成绩的标准差为s1,第二组学生成绩的标准差为s2,则 s21= 1
20(x21+x22+…
+x220-20 x 2),
s22= 1
20(y21+y22+…+y220-20 y 2)
(此处, x =90, y =80),又设全班 40 名学生的标准差为 s,平均成绩为 z ( z =85),
故有
s2= 1
40(x21+x22+…+x220+y21+y22+…+y220-40 z 2)
= 1
40(20s21+20 x 2+20s22+20 y 2-40 z 2)
=1
2(62+42+902+802-2×852)=51.
s= 51.
所以全班同学的平均成绩为 85 分,标准差为 51.