【百强校】湖南省长沙市明德中学2020届高三下学期3月月考数学（文）试题

【百强校】湖南省长沙市明德中学2020届高三下学期3月月考数学（文）试题

‎ ‎ ‎2020届高三月考试卷 数学（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.‎ ‎1. 若集合，，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知是的共轭复数，则（ ）‎ A. -1 B. C. D. 1‎ ‎3. 空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：‎ 指数 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某市10月1日~20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）‎ A. 这20天中指数值的中位数略高于100‎ B. 这20天中的中度污染及以上的天数占 C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好 ‎ ‎ D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 ‎4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于（ ）‎ A. 30 B. 31 C. 62 D. 63‎ ‎5. 设向量，，，且，则实数（ ）‎ A. 3 B. 2 C. -2 D. -3‎ ‎6. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. “直线：与直线：平行”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎8. 已知函数，则函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎9. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则此双曲线渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 在各项都为正数的等比数列中，若，且，则数列的前项和是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知定义在上的函数满足，当时，.若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 设等差数列的前项和为，且，若，则______.‎ ‎14. 曲线在点处的切线的方程为______.‎ ‎15. 设函数的图象与轴交点的纵坐标为，轴右侧第一个最低点的横坐标为，则的值为______.‎ ‎16. 如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为，；现将，，分别沿，，折起使点，，重合，重合后记为点，得到三棱锥 ‎ ‎ ‎.则三棱锥的外接球体积为______.‎ 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17. 某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本（单位：元）与印刷册数（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表.‎ 印刷册数（千册）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 单册成本（元）‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到了两个回归方程，方程甲：，方程乙：.‎ ‎（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.‎ ‎（i）完成下表（计算结果精确到0.1）；‎ 印刷册数（千册）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 单册成本（元）‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 模型甲 估计值 ‎2.4‎ ‎2.1‎ ‎1.6‎ 残差 ‎0‎ ‎-0.1‎ ‎0.1‎ 模型乙 估计值 ‎2.3‎ ‎2‎ ‎1.9‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎（ii）分别计算模型甲与模型乙的残差平方和和，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好.‎ ‎（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷.根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，试估计印刷厂二次印刷获得的利润.（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）‎ ‎ ‎ ‎18. 的内角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，的周长为，求的面积.‎ ‎19. 如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是线段上一点，，，三棱锥的体积为，求的值.‎ ‎20. 设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，圆的半径为.‎ ‎（1）求椭圆和圆的方程；‎ ‎（2）若直线：与圆交于，两点，与椭圆交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论的导函数的单调性；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程（其中为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎ ‎ ‎.‎ ‎（1）试写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程.‎ ‎（2）设曲线与曲线交于，两点，试求的值.‎ ‎23. 选修4—5：不等式选讲 设函数，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围.‎ ‎2020届高三月考试卷 数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-5：DDCBA 6-10：CBCCA 11-12：AA ‎1. D 【解析】∵，‎ ‎，‎ ‎∴，故选：D.‎ ‎2. D 【解析】，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，∴，故选：D.‎ ‎3. C 【解析】由图知选C.‎ ‎4. B 【解析】由流程图可知该算法的功能为计算的值，即输出的值为.故选B.‎ ‎5. A 【解析】因为，又因为，‎ 所以，解得，故选：A.‎ ‎6. C 【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，‎ ‎ ‎ 又由，当时，在上单调递增，‎ 则有，即，故选：C.‎ ‎7. B 【解析】“直线：与直线：平行”“或”.‎ ‎“”“直线：与直线：平行”，‎ ‎“直线：与直线：平行”是“”的必要不充分条件.故选：B.‎ ‎8. C 【解析】根据题意：函数，其定义域为，‎ 有，即函数为偶函数，排除A、D；‎ 又由当时，，，则，排除B，故选：C.‎ ‎9. C 【解析】直角三角形的斜边长为，‎ 设内切圆的半径为，则，解得.‎ 内切圆的面积为，‎ 豆子落在内切圆外部的概率，故选：C.‎ ‎10. A 【解析】由题意，，又，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 化简得：，即，‎ ‎ ‎ ‎∴，得.‎ ‎∴此双曲线渐近线方程为.故选：A.‎ ‎11. A 【解析】在各项都为正数的公比设为的等比数列中，‎ 若，且，则，解得，则，‎ 可得数列，即为，‎ 可得，‎ 数列的前项和是 ‎，故选：A.‎ ‎12. A 【解析】由题意，当时，.‎ ‎.‎ ‎①令，解得；②令，解得；③令，解得.‎ ‎∵在上单调递减，在上单调递增，‎ 在处取得极小值，且；，.‎ 又∵函数在上满足，‎ ‎∴函数的图象关于对称.‎ 函数的大致图象如下：‎ ‎ ‎ 而一次函数很明显是恒过定点.‎ 结合图象，当时，有两个交点，不符合题意，‎ 当时，有两个交点，其中一个是，此时与正好相切.‎ ‎∴当时，有三个交点.‎ 同理可得当时，也有三个交点.‎ 实数的取值范围为：.‎ 故选：A.‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 7 16. ‎ ‎13. 【解析】依题意，，‎ 又，‎ ‎∴.‎ ‎14. 【解析】由，得，‎ ‎∴，‎ 即曲线在点处的切线的斜率为1，‎ 则曲线在点处的切线方程为，‎ 整理得：，故答案为：.‎ ‎15. 7 【解析】∵的图象与轴交点的纵坐标为，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，则，‎ ‎∵轴右侧第一个最低点的横坐标为，∴由五点对应法得得，‎ ‎ ‎ 故答案为：7.‎ ‎16. 【解析】根据题意，得三棱锥中，，，‎ ‎∵、、两两互相垂直，‎ 三棱锥的外接球的直径，‎ 可得三棱锥的外接球的半径为，‎ 根据球的体积公式，得三棱锥的外接球的体积为，‎ 故答案为.‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）（i）经计算，可得下表：（计算结果精确到0.1）；‎ 印刷册数（千册）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 单册成本（元）‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 模型甲 估计值 ‎3.1‎ ‎2.4‎ ‎2.1‎ ‎1.9‎ ‎1.6‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0‎ ‎-0.1‎ ‎0‎ ‎0.1‎ 模型乙 估计值 ‎3.2‎ ‎2.3‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.7‎ 残差 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎（ii）计算模型甲的残差平方和为，‎ 模型乙的残差平方和为，‎ ‎∴，模型乙的拟合效果更好；‎ ‎（2）若二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为（元），‎ 故二次印刷10千册时，印刷厂利润为（元）.‎ ‎18.【解析】（1）∵.‎ 由正弦定理可得，.‎ ‎∴，即，‎ ‎ ‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵为三角形的内角，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，，又∵的周长为，∴，‎ 由余弦定理可得，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积.‎ ‎19.【解析】（1）证明∵平面，平面，‎ ‎∴.‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴.‎ 又∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，∵平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）设，过点作于点.‎ 由（1）知平面，∴，‎ ‎∵，∴，.∴，‎ ‎∵平面，其垂足落在直线上，‎ ‎∴.∴，又∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎∴.‎ 解得：，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎20.【解析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为，‎ ‎∵椭圆的离心率，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 将点代入椭圆的方程得：，‎ 联立解得：，∴椭圆的方程为：，‎ ‎∴，‎ ‎∵轴，∴，‎ ‎∴圆的方程为：；‎ ‎（2）由、在圆上得，设，，‎ ‎ ‎ ‎，同理：，‎ 若，则，即，‎ ‎，‎ 由得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 得，无解，故不存在.‎ ‎21.【解析】（1）当时，，，‎ 当时，，的单调递减区间为；‎ 当时，，的单调递增区间为.‎ ‎（2），‎ ‎（i）当时，，‎ 所以在上单调递增，，满足条件；‎ ‎（ii）当时，，‎ 由，得，‎ ‎ ‎ ‎①当时，，所以时，‎ ‎，在上单调递增，‎ 又由，所以，即在上单调递增，‎ 所以有，满足条件；‎ ‎②当时，，当时，‎ ‎，在上单调递减，‎ 又由，所以，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以有，故此时不满足，‎ 故的取值范围为；‎ ‎22.【解析】（1）曲线的参数方程（其中为参数）.‎ 转换为直角坐标方程为：，‎ 曲线的极坐标方程为.‎ 转换为直角坐标方程为：.‎ ‎（2）曲线与曲线交于，两点，‎ 则：，‎ 整理得：，‎ 所以：，，‎ 则：，，‎ ‎ ‎ 所以：.‎ ‎23.【解析】（1）∵，‎ ‎∴等价于，或，或，‎ 解得或，‎ ‎∴不等式的解集为：；‎ ‎（2）对任意，都存在，使得成立，‎ 即的值域包含的值域.‎ ‎，‎ 由图象可得时，，‎ ‎∴的值域为.‎ ‎，‎ 当且仅当与异号时取等，‎ ‎∴的值域为，‎ 则由，‎ 得，∴，‎ ‎∴实数的取值范围为：.‎