2006年辽宁省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2006年辽宁省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 函数y=sin(12x+3)的最小正周期是（ ）
A.π2 B.π C.2π D.4π
2. 设集合A={1, 2}，则满足A∪B={1, 2, 3}的集合B的个数是（ ）
A.1 B.3 C.4 D.8
3. 设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数
4. C61+C62+C63+C64+C65的值为（ ）
A.61 B.62 C.63 D.64
5. 方程2x2-5x+2=0的两个根可分别作为( )
A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率
C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率
6. 给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行．
②垂直于同一平面的两个平面互相平行．
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行．
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7. 双曲线x2-y2=4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
A.x-y≥0x+y≥00≤x≤3 B.x-y≥0x+y≤00≤x≤3
C.x-y≤0x+y≤00≤x≤3 D.x-y≤0x+y≥00≤x≤3
8. 设⊕是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）
A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集
9. △ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p→=(a+c,b)，q→=(b-a,c-a)，若p→ // q→，则角C的大小为( )
A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3
10. 已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（ ）
A.32 B.3 C.158 D.157
11. 与函数y=e2x-2ex+1(x≥0)的曲线关于直线y=x对称的曲线的方程为（ ）
A.y=ln(1+x) B.y=ln(1-x) C.y=-ln(1+x) D.y=-ln(1-x)
12. 曲线x210-m+y26-m=1(m<6)与曲线x25-m+y29-m=1(5
0，则g(g(12))=________．
15. 如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是
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________．
16. 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R，求：
（1）函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）函数f(x)的单调增区间．
18. 甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：
（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；
（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．
19. 已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ(0<θ<π)．
(1)证明：BF // 平面ADE；
(2)若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的正弦值．
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20. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn=pn2-2n+q(p, q∈R)，n∈N+．
（1）求的q值；
（2）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an=2log2bn，求数列{bn}的前n和Tn．
21. 已知函数f(x)=13ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+d，g(x)=ax2+2(a+2d)x+a+4d，其中a>0，d>0，设x0为f(x)的极小值点，x1为g(x)的极值点，g(x2)=g(x3)=0，并且x2<x3，将点（x0, f(x0)），(x1, g(x1)，(x2, 0)(x3, 0)依次记为A，B，C，D．
（1）求x0的值；
（2）若四边形ABCD为梯形且面积为1，求a，d的值．
22. 已知点A(x1, y1)，B(x2, y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上的两个动点，O是坐标原点，向量OA→，OB→满足|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0．
（1）证明线段AB是圆C的直径；
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为255时，求p的值．
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参考答案与试题解析
2006年辽宁省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.D
2.C
3.D
4.B
5.A
6.D
7.A
8.C
9.B
10.D
11.A
12.A
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.5
14.12
15.67
16.48
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：（1）解法一：∵ f(x)=1-cos2x2+sin2x+3(1+cos2x)2=2+sin2x+cos2x=2+2sin(2x+π4)
∴ 当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值2+2．
因此，f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+π8，k∈Z}．
解法二：∵ f(x)=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+2sin(2x+π4)
∴ 当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值2+2．
因此，f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+π8，k∈Z}
（2）解：f(x)=2+2sin(2x+π4)
由题意得2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)，即kπ-38π≤x≤kπ+π8(k∈Z)．
因此，f(x)的单调增区间是[kπ-3π8，kπ+π8](k∈Z)．
18.解：（1）∵ 甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为C21×0.6×0.4=0.48
乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C21×0.6×0.4=0.48
由于参赛同学的成绩相互之间没有影响，是相互独立的，
∴ 甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率为
P=0.48×0.48=0.2304
（2）解法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为0.44=0.0256
故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都及格的概率为
P=1-0.0256=0.9744
解法二：甲、乙两班参赛同学有一人成绩及格的概率为C41×0.6×0.4=0.1536
甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为C42×0.62×0.42=0.3456
甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为C42×0.62×0.42=0.3456
甲、乙两班4同学参赛同学成绩都及格的概率为0.64=0.1296
故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为
P=0.1536+0.3456+0.3456+0.1296=0.9744
19.(1)证明：E，F分别为正方形ABCD的边AB，CD的中点，
∵ EB // FD，且EB=FD，
∴ 四边形EBFD为平行四边形．
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∴ BF // ED
∵ ED⊂平面AED，而BF⊄平面AED
∴ BF // 平面ADE．
(2)解：如图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD．
∵ △ACD为正三角形，
∴ AC=AD.
∴ CG=GD.
∵ G在CD的垂直平分线上，
∴ 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过G作GH垂直于ED于H，连接AH，则AH⊥DE，
所以∠AHG为二面角A-DE-C的平面角．
即∠AHG=θ.
设原正方体的边长为2a，连接AF.
在折后图的△AEF中，AF=3a，EF=2AE=2a，
即△AEF为直角三角形，AG⋅EF=AE⋅AF.
∴ AG=32a.
在Rt△ADE中，AH⋅DE=AE⋅AD.
∴ AH=25a.
∴ GH=a25.
cosθ=GHAH=14．
即sinθ=154.
20.解：（1）当n=1时，a1=S1=p-2+q
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn2-2n+q-p(n-1)2+2(n-1)-q=2pn-p-2
∵ {an}是等差数列，a1符合n≥2时，an的形式，
∴ p-2+q=2p-p-2，
∴ q=0
（2）∵ a3=a1+a52，由题意得a3=18
又a3=6p-p-2，∴ 6p-p-2=18，解得p=4
∴ an=8n-6
由an=2log2bn，得bn=24n-3．
∴ b1=2，bn+1bn=24(n+1)-324n-3=24=16，即{bn}是首项为2，公比为16的等比数列
∴ 数列{bn}的前n项和Tn=2(1-16n)1-16=215(16n-1)．
21.解：（1）f'(x)=ax2+2(a+d)x+a+2d=(x+1)(ax+a+2d)，
令f'(x)=0，
由a≠0得x=-1或x=-1-2da
∵ a>0，d>0．
∴ -1-2da<-1
当-1-2da-1时f'(x)>0，
所以f(x)在x=-1处取极小值，即x0=-1
（2）解：g(x)=ax2+(2a+4d)x+a+4d
∵ a>0，x∈R
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∴ g(x)在x=-2a+4d2a=-1-2da处取得极小值，即x1=-1-2da，
由g(x)=0，即(ax+a+4d)(x+1)=0，
∵ a>0，d>0，x2<x3，
∴ x3=-1，x2=-1-4da，
∵ f(x0)=f(-1)=-13a
g(x1)=g(-1-2da)=-4d2a
∴ A(-1,-13a)，B(-1-2da，-4d2a)，C(-1-4da，0)，D(-1, 0)
由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得AB // CD．
-a3=-4d2a即a2=12d2
由四边形ABCD的面积为1，得12(|AB|+|CD|)⋅|AD|=1
即12(4da+2da)⋅a3=1得d=1，
从而a2=12得a=23，d=1
22.解：（1）∵ 向量OA→，OB→满足|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，
∴ (OA→+OB→)2=(OA→-OB→)2
即OA→2+2OA→⋅OB→+OB→2=OA→2-2OA→⋅OB→+OB→2
整理得OA→⋅OB→=0
∵ 点A(x1, y1)，B(x2, y2)
∴ OA→=(x1, y1)，OB→=(x2, y2)
∴ x1x2+y1y2=0①
设点M(x, y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点，
则MA→⋅MB→=0
即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
展开上式并将 ①代入得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0
故线段AB是圆C的直径．
(II)设圆C的圆心为C(x, y)，
则x=x1+x22，y=y1+y22
∵ y12=2px1，y22=2px2(p>0)，
∴ x1x2=y12y224p2
又∵ x1x2+y1y2=0
∴ x1x2=-y1y2
∴ -y1y2=y12y224p2
∴ y1y2=-4p2
∴ x=x1+x22=14p(y12+y22)
=14p(y12+y22+2y1y2)-y1y22p
=1p(y2+2p2)
∴ 圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，则
d=|x-2y|5
=|1p(y2+2p2)-2y|5
=|(y-p)2+p2|5p
当y=p时，d有最小值p5，
由题设得p5=255
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∴ p=2
8 / 8