【数学】2020届一轮复习北师大版不等关系与不等式教案

【数学】2020届一轮复习北师大版不等关系与不等式教案

不等关系与不等式 【学习目标】 1.在复习不等式性质的基础上，介绍了含有绝对值的不等式及其解法，平均值不等式及简单应用、证明不等式的一 些基本方法，以及不等式在实际生活中的应用. 2.特别强调了不等式及证明的几何意义和背景，以加深学生对不等式的数学本质的理解、提高学生的逻辑思维能力 和分析解决问题的能力. 【要点梳理】 要点一：不等式的性质 性质 1 对称性： ； 性质 2 传递性： ； 性质 3 加法法则（同向不等式可加性）： ； 推论： . 性质 4 乘法法则：若 ，则 推论 1: ； 推论 2： ； 推理 3： ； 推理 4： . 要点二：含有绝对值的不等式 绝对值的几何意义 设 是一个实数，在数轴上| |表示实数 对应的点与原点的距离； | - |表示实数 对应的点与实数 对应的点之间的距离. 关于绝对值的几个结论 定理 对任意实数 和 ，有 推论 1. ； 2. . 3. . 要点诠释： （1）关于定理 ，可以把 、 、 看作是三角形三边，很象三角形两边之和大 a b b a> ⇔ < , a b b c a c> > ⇒ > ( )a b a c b c c> ⇔ + > + ∈R ,a b c d a c b d> > ⇒ + > + a b> 0 0 0 . c ac bc c ac bc c ac bc > ⇒ >  = ⇒ =  < ⇒ < ， ， 0, 0a b c d ac bd> > > > ⇒ > ( )* 2 20 0a b n a b> > ∈ ⇒ > >N ( )*0 0n na b n a b> > ∈ ⇒ > >N ( )0 1 n na b n n a b+> > ∈ > ⇒ >N 且 a a a x a x a a b a b a b− ≤ + a b a c c b− ≤ − + − a b c a b c+ + ≤ + + +a b a b a b− ≤ + ≤ a b +a b | |a b a b+ ≤ + 于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并 有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”. （2）绝对值不等式| ＋ |≤| |＋| |或| － |≤| －c|＋|c－ |，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程， 证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值． 绝对值不等式的解法 含绝对值的不等式| |< 与| |> 的解集 和 型不等式的解法 1. 先去绝对值符号，化为不等式组： ⇔ ； ⇔ . 2.解关于 的不等式. 不等式 的解法 1.将不等式两边平方，去绝对值： ； 2.解不等式： . 含有两个绝对值符号的不等式解法 一般有三种解法，分别是“零点划分法”、“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法”．此外，有时还可采用平方 法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用． “零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根； (2)把这些根按由小到大进行排序，n 个根把数轴分为 n＋1 个区间； (3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； (4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集． 要点三：平均值不等式 定理 1 对任意实数 ，有 （当且仅 时，取“=”号）. 定理 2 对任意两个正数 ，有 （当且仅 时，取“=”号）. 定理 3 对任意三个正数 ，有 （当且仅 时，取“=”号）. 定理 4 对任意三个正数 ，有 （当且仅 时，取“=”号）. 不等式 >0 =0 <0 | |< 的解集 - < < | |> 的解集 > 或 <- R a b a b a b a b x a x a ( ) ( )0f x c c≥ > ( ) ( )0f x c c≤ > ( ) ( )0f x c c≥ > ( ) ( )f x c f x c≥ ≤ −或 ( ) ( )0f x c c≤ > ( )c f x c− ≤ ≤ x ( ) ( )gf x x≥ ( ) ( )2 2gf x x≥       ( ) ( )2 2gf x x≥       a b， 2 2 2a b ab+ ≥ =a b a b， 2 a b ab + ≥ =a b a b c， ， 3 3 3 3a b c abc+ + ≥ = =a b c a b c， ， 3 3 a b c abc + + ≥ = =a b c a a a x a a x a Φ Φ x a x a x a { }| 0x x∈ ≠R 推广 对于 n 个正数 ，有 （当且仅当 时取“=”号）. 其中， 、 叫作这 n 个正数的算术平均值和几何平均值， 因此这个结论也可以阐 述为 n 个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 要点四：不等式的证明 不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据.但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多. 比较法 有两种： 1.求差比较法： 任意两个代数式 、 ，可以作差 后比较 与 0 的关系，进一步比较 与 的大小. ① ； ② ； ③ . 2.求商比较法： 任意两个值为正的代数式 、 ，可以作商 后比较 与 1 的关系，进一步比较 与 的大小. ① ； ② ； ③ . 要点诠释： （1）比较法通常是进行因式分解或进行配方，利用非负数的性质来进行判断． （2）若代数式 、 均为负数，也可以用求商比较法. 综合法和分析法 综合法和分析法是直接证明的两种常用的思维方法. 1.综合法 一般地，从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的 结论，直到完成命题的证明，我们把这种思维方法叫做综合法． 2.分析法 一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所 寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一 种证明方法，叫做分析法． 要点诠释：综合法的基本思路：执因索果；分析法的基本思路：执果索因.它们是思维方向互逆的两种推理方法. 放缩法 通过缩小（或放大）分式的分母（或分子），或通过放大（或缩小）被减式（或减式）来证明不等式，这种证 明不等式的方法称为放缩法. 要点诠释：放缩法的要求较高，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中去寻找． ( )1 2 2na a a n ≥， ， 1 2 1 2 n n n a a a a a an + + + ≥  1 2= = = na a a 1 2 na a a n + + + 1 2 n na a a a b a b− a b− a b 0a b a b− > ⇔ > 0a b a b− < ⇔ < 0a b a b− = ⇔ = a b a b÷ a b a b 1a a bb > ⇔ > 1a a bb < ⇔ < 1a a bb = ⇔ = a b 几何法 通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法. 反证法 反证法是间接证明的一种基本方法．一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利 用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛 盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定 要点五：不等式的应用 不等式的应用十分广泛，不仅可以解决一些数学问题，而且也可以解决其他学科中以及生产生活中的一些问题。 在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案. 【典型例题】 类型一： 绝对值不等式 例 1.解下列关于 的不等式： （1）|2 + 3|>1； （2）|3 －4|< －1； （3）| －4|－|2 +5|<1. 【思路点拨】去绝对值，转化为解一元一次不等式（组）的形式. 【解析】 （1）由原不等式可得 2 + 3< －1 或 2 + 3 >1, ∴ <－2 或 >－1 ∴原不等式的解集为{ | <－2 或 >－1}. （2）当 －1≤0,即 ≤1 时,不等式的解集为 . 当 －1>0, 即 > 1 时,有： 解得 , ∴原不等式的解集为 . （3）原不等式可化为： 当 ① ② 或 ③ 解不等式组①得： <－8. 解不等式组②得： . 解不等式组③得： >4 综上所述，原不等式的解集为{ | <－8 或 >－ }. x x x x x x x x x x x x x x x ∅ x x 1 0 ( 1) 3 4 1 x x x x − > − − < − < − 5 3 4 2x< 5 3| 4 2x x < <   ( ) 5 2 ( 4) 2 5 1 x x x  < −  + + < ， － － ( ) 5 42 ( 4) 2 5 1 x x x − ≤ ≤  + < ， － － － ( ) 4 ( 4) 2 5 1 x x x > + < ， － － x 2 43 x− < ≤ x x x x 2 3 【总结升华】解含有绝对值的不等式的关键在于去掉绝对值符号，处理的方法通常是利用绝对值的定义与几何意义 或平方等方法.对含多个绝对值符号的不等式一般利用“零点分段”法，分类讨论.如本题（3）中，分别令 -4=0， 2 +5=0，得两个零点 . 故分 、 和 >4 三种情况. 举一反三： 【变式 1】已知 ， ， ，求 . 【答案】由| |≥1 得 ≤－1 或 ≥1, ∴A = { | ≤－1 或 ≥1}, = { |－1< <1}. 由| －2|<1 得－1< －2<1,即 1< <3，∴B = { | 1< <3}, = { | ≤1 或 ≥3}. 借助数轴得： = { |－1＜ ＜1}。 【变式 2】解不等式|2 + 1|> + 1. 【答案】原不等式可化为下面不等式组来解: ① 或 ② 不等式组①的解为 >0; 不等式组②的解集为 . 原不等式的解集为 . 【变式 3】解不等式 . 【答案】由题意得 解得－1< <0， ∴原不等式的解集为{ |－1< <0}, 例 2.已知函数 f( )＝| ＋ |＋| －2|. (1)当 ＝－3 时，求不等式 f ( )≥3 的解集； (2)若 f( )≤| －4|的解集包含[1,2]，求 的取值范围． 【思路点拨】本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解 f( )≤| －4|的解集的错误， 应该是利用[1,2]是其解集而将绝对值先去掉再转化为[1,2] [－2－ ,2－ ]这一问题，注意不要弄反． 【解析】(1)当 ＝－3 时， 当 ≤2 时，由 f ( )≥3 得－2 ＋5≥3，解得 ≤1； 当 2< <3 时，f( )≥3 无解； 当 ≥3 时，由 f( )≥3 得 2 －5≥3，解得 ≥4； 所以 f( )≥3 的解集为{ | ≤1}∪{ | ≥4}．(5 分) (2)f( )≤| －4| | －4|－| －2|≥| ＋ |.来源:学,科,网 Z,X,X,K] 当 ∈[1,2]时，| －4|－| －2|≥| ＋ | 4－ －(2－ )≥| ＋ | －2－ ≤ ≤2－ . 由条件得－2－ ≤1 且 2－ ≥2，即－3≤ ≤0. 故满足条件的 的取值范围为[－3,0]．(10 分) 【总结升华】等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想的关键是强调“等价”两字，转化的目的 是使问题简单化． 举一反三： x x 1 2 5=4 = 2x x −， 5 2x < − 5 42 x− ≤ ≤ x =U R { } | | 1A x x= ≥ { | 2 | 1}B x x= <－ ( ) ( )U UA BC C x x x x x x U AC x x x x x x x U BC x x x ( ) ( )U UA BC C x x x x 2 1 0 2 1 1 x x x + ≥  + > + 2 1 0 (2 1) 1 x x x + < − + > + x 2 3x < − 2{ | 0}3x x x< − >或 | |1 1 x x x x >+ + 0, ( 1) 0,1 x x xx < + <+ 即 x x x x x a x a x x x a x x ⊆ a a a ( ) 2 5 2 1, 2 3 2 5, 3. x x f x x x x − + ≤  < <  ≥ ， ， ＝ ， x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ x x x a x x x x a ⇔ x x x a ⇔ a x a a a a a 【变式 1】若存在实数 使| － |＋| －1|≤3 成立，求实数 的取值范围． 【解析】由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点 到 点与 1 点的距离的和小于等于 3.由图可得－2≤ ≤4. 【变式 2】若不等式 ≥m 对一切实数 恒成立，求实数 m 的取值范围． 【答案】 表示数轴上任意一点 对应的点到 2 与-3 对应的点的距离之和，易知 ， 所以， . 【变式 3】（2016 中山市模拟）已知函数 f（x）=|x-a|. （1） 若 f（x）≤m 的解集为{x |-1≤x≤5}，求实数 a，m 的值； （2） 当 a=2 且 0≤t<2 时，解关于 x 的不等式 f（x）+t≥f（x+2） 【解析】 （1）因为 f（x）≤m，所以|x-a|≤m， 即 a-m≤x≤a+m， 因为 f（x）≤m 的解集为{x |-1≤x≤5}， 所以 a-m=-1，a+m=5，解得 a=2，m=3； （2）当 a=2 时，函数 f（x）=|x-2|， 则不等式 f（x）+t≥f（x+2）等价于|x-2|+t≥|x|， 当 x≥2 时，x-2+t≥x，即 t≥2 与条件 0≤t<2 矛盾， 当 0≤x<2 时，2-x+t≥x，即 0≤x≤ ，成立， 当 x<0 时，2-x+t≥x，即 t≥-2 恒成立。 综上不等式的解集为 。 例 3. 求证： . 【思路点拨】利用绝对值的两个性质给予证明. 【证明】因为 ， 所以 所以 . 【总结升华】绝对值不等式| ＋ |≤| |＋| |从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直 接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值． 举一反三： x x a x a x a a | 2 | | 3|x x− + + x | 2 | | 3|x x− + + x | 2 | | 3| 5x x− + + ≥ m 5≤ 2 2 t + 2- 2 t + ∞  ， 0, | | , | |x a y bξ ξ ξ> − < − <已知 ， | 2 3 2 3 | 5x y a b ξ+ − − < , , x a y bξ ξ− < − < 2 3 2 3x y a b+ − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 . x a y b x a y b x a y b x a y b ξ ξ ξ = − + − = − + − ≤ − + − = − + − < + = | 2 3 2 3 | 5x y a b ξ+ − − < a b a b 【变式】 【证明】因为 类型二：平均值不等式 例 4. 若 ，求 的最大值 【思路点拨】适当拼凑，利用平均值不等式的定理求函数的最值. 【解析】 ， 因为 ，所以 和 都是正数，所以 当且仅当 ，即 时取等号. 所以， 的最大值为 . 【总结升华】（1）当若干正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当若干正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”. 举一反三： 【变式 1】已知 ，求函数 的最大值. 【答案】1. 因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进行拆、凑项， ， ∴ . ( ) 21f x x a b R a b= + ∈ ≠已知函数 ，设 ， ，且 ， ( ) ( )| |.f a f b a b− < −求证： ( ) ( ) 2 2| | | 1 1 |f a f b a b− = + − + 2 2 2 2 2 | (1 )(1 2) | 1 1 | | | || | | ( )( ) | | | a b a b a b a b a b a b ab + += + + −< + −≤ | |a b= − ， 所以原不等式成立． 40 3x< < 2( ) (4 3 )f x x x= − 2 3 3 4( ) (4 3 )= (4 3 )2 2 9f x x x x x x= − − ×  40 3x< < 3 2 x 4 3x− 33 3+ +(4 3 )3 3 4 4 2562 2(4 3 ) =2 2 9 3 9 243 x x x x x x  − − × ≤ ×        3 =4 32 x x− 8= 9x ( )f x 256 243 5 4x < 14 2 4 5y x x = − + − 4 5 0x − < 1(4 2) 4 5x x − − 4 2x − 5 , 5 4 04x x< ∴ − > 1 14 2 5 4 34 5 5 4y x xx x  = − + = − − + + − −  2 3 1≤ − + = 当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。 【变式 2】已知 ，且 ，求 的最小值。 【答案】16. ， 当且仅当 时，上式等号成立， 又 ，可得 时， 。 类型三：不等式的证明 例 5（2016 丹东一模）已知实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 abc=1． （Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8； （Ⅱ）证明： ． 【思路点拨】（Ⅰ）利用 ，相乘即可证明结论． （Ⅱ）利用 ， ， ， ，相加证明即可． 【证明】（Ⅰ） ， 相乘得：（1+a）（1+b）（1+c）≥8abc=8．当且仅当 a=b=c=1 时等号成立 实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 abc=1．（1+a）（1+b）（1+c）≥8 （Ⅱ） ， ， ， ， 相加得： 【总结升华】运用基本不等式时，要保证：“一正、二定、三相等”，此题是基础题 举一反三： 【变式 1】（2016 赣州一模）设 a、b 为正实数，且 + =2 ． （1）求 a2+b2 的最小值； （2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求 ab 的值． 【解析】（1）∵a、b 为正实数，且 + =2 ． 15 4 5 4x x − = − 1x = 1x = max 1y = 0, 0x y> > 1 9 1x y + = x y+ 1 90, 0, 1x y x y > > + = ( ) 1 9 9 10 6 10 16y xx y x y x y x y  ∴ + = + + = + + ≥ + =   9y x x y = 1 9 1x y + = 4, 12x y= = ( )min 16x y+ = ∴a、b 为正实数，且 + =2 ≥2 （a=b 时等号成立）． 即 ab （a=b 时等号成立） ∵a2+b2≥2ab= （a=b 时等号成立）． ∴a2+b2 的最小值为 1， （2）∵（a﹣b）2≥4（ab）3， ∴（a﹣b）2≥0（a=b 时等号成立）． 即 4（ab）3≤0，ab≤0 ∵a、b 为正实数， ∴ab=0． 【变式 2】设 、 、c 三数成等比数列,而 、y 分别为 、 和 、c 的等差中项. 试证:　 【证明】依题意, 、 、c 三数成等比数列,即 ， 由比例性质有: . 又由题设: ， 所以 原题得证. 例 6. 设 ，用分析法证明： . 【证明】 要证 ， 只要证 ， 即证 ， 也就是证 ， 只要证 ， 即证 ， 因为 >0， 也就是证 ， 由条件可知，显然成立. 故 . a b x a b b 2a c x y + = a b a b b c = a b a b b c =+ + ,2 2 a b b cx y + += = 2 2 2 2 2 2.a c a c b c b c x y a b b c b c b c b c ++ = + = + = =+ + + + + （ ） 0, 0,2a b c a b> > > + 2 2c c ab a c c ab< < +－ － － 2 2c c ab a c c ab< < +－ － － 2 2c ab a c c ab< <－ － － － 2| |a c c ab<－ － 2 2( )a c c ab<－ － 2 2a ac ab<－ － 2 2a ab ac+ < a 2a b c+ < 2 2c c ab a c c ab< < +－ － － 【总结升华】分析法是由果索因，在用分析法证明问题时,一定要恰当运用“要证”、“只要证”、“即证”、“也即证”等 用语. 举一反三： 【变式】已知函数 . 若 ,且 ，用分析法证明： . 【证明】 要证　 即证明 只需证明 只需证明 ， 由于 ,故 ， 所以 故只需证明 ， 即证 . 即证 ， 因为 ,且 ,所以上式成立. 所以 . 例 7. 用比较法证明： （1） ，（ ） （2） （ ）. 【思路点拨】（1）用求差比较法，（1）用求商比较法. 【证明】 （1） ( ) tan , (0, )2f x x x π= ∈ 1 2, (0, )2x x π∈ 1 2x x≠ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 x xf x f x f ++ > （ ）［ ］ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 x xf x f x f ++ > （ ）［ ］ 1 2 1 2 1 (tan tan ) tan2 2 x xx x ++ > 1 2 1 2 1 2 sin sin1 ( ) tan2 cos cos 2 x x x x x x ++ > 1 2 1 2 1 2 1 2 sin( ) sin( ) 2cos cos 1 cos( ) x x x x x x x x + +> + + 1 2, (0, )2x x π∈ 1 2+ (0 )x x π∈ ， ( )1 2 1 2 1 2cos cos 0,sin 0,1 cos( ) 0.x x x x x x> + > + + > ( )1 2 1 21 cos 2cos cosx x x x+ + > 1 2 1 2 1 21 cos cos sin sin 2cos cosx x x x x x+ >－ 1 2cos( ) 1x x <－ 1 2, (0, )2x x π∈ 1 2x x≠ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 x xf x f x f ++ > （ ）［ ］ 5 5 2 3 3 2a b a b a b+ > + , 0,a b a b> ≠且 ( )2 2 a ba ba b ab +> 0a b> > 5 5 2 3 3 2( ) ( )a b a b a b+ − + 5 3 2 5 2 3( ) ( )a a b b a b= − + − 3 2 2 3 2 2( ) ( )a a b b a b= − − − 2 2 3 3( )( )a b a b= − − ∵ ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ，得证. （2） ， ∵ ，∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ . 【总结升华】比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（商） —变形—判断符号（比较与 1 的大小）—下结论。 举一反三： 【变式 1】用比较法证明： . 【证明】 【变式 2】用求商比较法证明：若 ，则 . 【证明】 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ . 例 8. 用放缩法证明： 【思路点拨】将 放大为 ，注意从第三项开始放缩. 【解析】 ， 2 2 2( )( ) ( )a b a b a ab b= + − + + , 0,a b > 2 20, 0a b a ab b+ > + + > 2, ( ) 0a b a b≠ ∴ − > 2 2 2( )( ) ( ) 0a b a b a ab b∴ + − + + > 5 5 2 3 3 2a b a b a b+ > + ( ) 2 2 a ba b a b a b a bab − +  >    0a b> > 1 0a a bb > − >， 1 a ba b −  >   ( )2 2 0 0a ba ba b ab +> >， ( )2 2 a ba ba b ab +> 4 4 2 2a b a b ab− > − 2 2a b> >， a b ab+ < 1 1a b ab a b + < + 2 2a b> >， 1 1 1 10 ,02 2a b < < < < 1 1 1 1 12 2a b + < + = 1a b ab + < 0ab > a b ab+ < 2 2 2 2 1 1 1 1 7 1 2 3 4n + + + + < 2 1 n 1 1 1n n −− 2 1 1 1 1 ( 1) 1n n n n n < = −− − 【总结升华】放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄， 真正做到恰到好处。 举一反三： 【变式】函数 ，用放缩法证明： . 【证明】 =1- 得 . 例 9. 在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 、 、c，若 、 、c 三边的倒数成等差数列，求证：B<90°. 【思路点拨】用反证法证明. 【解析】假设 B<90°不成立,则 B≥90°,从而 B 是△ABC 的最大角, 所以 是△ABC 的最大边,即 > , >c. 所以 ， 所以， ，这与 矛盾， 所以 B≥90°不成立，故 B<90°. 【总结升华】结论中若有“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”等字眼，或直接从正面证明较为困难的问题，一般可 以考虑使用反证法. 举一反三： 【变式 1】试证一元二次方程至多有两个不同的实根. 【证明】假设一元二次方程 有两个以上的实数根，且各不相 等。令 为方程的三 个相异实根,则： 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 71 ( ) ( ) .1 2 3 2 2 3 1 4 2 4n n n n ∴ + + + + < + + − + + − = + − <−  ( ) 4 1 4 x xf x = + ( ) ( ) ( ) * 1 1 11 2 ( N )2 2nf f f n n n++ +…+ > + − ∈ ( ) 4 1 4 x xf x = + 1 111 4 2 2n n > −+ ⋅ ( ) ( ) ( )1 2f f f n+ +…+ > 1 2 1 1 11 1 12 2 2 2 2 2n      − + − + + −     ⋅ ⋅ ⋅      * 1 1 1 1 1 1 1( ) ( N )2 2 4 2 2 2n nn n n+= − + + + = + − ∈ a b a b b b a b 1 1 1 1,a b c b > > 1 1 2 a c b + > 1 1 2 a c b + = 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2 3x x x、 、 这与 各不相等矛盾。故原命题成立。 【变式 2】若 为自然数，且 ,则 中至少有一个为偶数。 【证明】假定 均为奇数，令 ， 类型四：不等式的应用 例 10. 某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长 造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，求： （1）仓库面积 的最大允许值是多少？ （2）为使 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 【解析】设铁栅长为 米，一堵砖墙长为 米，则顶部面积为 依题设， ，则 ， ，即 ，故 ，从而 所以 的最大允许值是 100 平方米， 取得此最大值的条件是 且 ，求得 ，即铁栅的长是 15 米。 【总结升华】用平均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： 　　(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； 1 2 3x x x、 、 a b c、 、 2 2 2a b c+ = a b、 a b、 2 1, 2 1a m b n= + = + S S x y xyS = 32002045240 =+×+ xyyx xyxyxyyx 2012020904023200 +=+⋅≥ SS 20120 += 01606 ≤−+∴ SS 0)6)(10( ≤+− SS 10≤S 100≤S S yx 9040 = 100=xy 15=x 　　(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； 　　(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； 　　(4)正确写出答案. 举一反三： 【变式 1】设计一副宣传画，要求画面面积为 4840cm2，画面的宽与高的比为 ( <1)，画面的上下各留出 8cm 的 空白，左右各留 5cm 的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？ 【解析】设画面的宽为 cm，面积为 S cm2，则 当且仅当 ，即 取等号. 所以，当画面的宽为 55 cm、高为 88 cm 时，宣传画所用纸张面积最小. 【变式 2】用篱笆围一个面积为 100m2 的矩形菜园，问这个矩形菜园长、宽个为多少时，所用篱笆最短？最短的篱 笆是多少？ 【解析】设矩形菜园的长为 m，宽为 y m，则 y=100，篱笆的长为 2（ +y）m. 由 可得 ， ∴2（ +y）≥40， 当且仅当 =y 时等号成立，此时 =y=10. ∴这个矩形的长、宽都为 10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆是 40 m. a a x 4840 3025( 10)( 16) 5000 16( ) 30255000+16 2 =6760 S x xx x x x = + + = + + ≥ ×  3025x x = 55x = x x x 2 x y xy + ≥ 2 20x y xy+ ≥ = x x x