高考数学一轮—高考选作部分

高考数学一轮—高考选作部分

‎ ‎ 第42讲 高考选做部分（4-1、4-4、4-5）‎ ‎(2007广东理)‎ ‎13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数），则圆C的圆心坐标为_______，圆心到直线l的距离为______.‎ 答案：（0，2）；.‎ 解析：直线的方程为x+y-6=0，d=;‎ ‎14．（不等式选讲选做题）设函数则=_____；若，则x的取值范围是________； 答案：6；‎ ‎15．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线ｌ，过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE的长为_______。‎ 答案：；3。‎ 解析：根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案； AE=EC=BC=3；‎ ‎(2007广东文)‎ ‎14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l的距离为 ．‎ ‎【解析】法1:画出极坐标系易得答案2; 法2:化成直角方程及直角坐标可得答案2.‎ ‎15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，‎ BC=3 过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D， 则∠DAC= ．‎ ‎【解析】由某定理可知,又,‎ 故.‎ ‎（2007海南、宁夏）‎ ‎22．请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．‎ ‎22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ ‎：几何证明选讲 如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明四点共圆；‎ ‎（Ⅱ）求的大小．‎ ‎（Ⅰ）证明：连结．‎ 因为与相切于点，所以．‎ 因为是的弦的中点，所以．‎ 于是．‎ 由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．‎ 由（Ⅰ）得．‎ 由圆心在的内部，可知．‎ 所以 ‎22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 和的极坐标方程分别为．‎ ‎（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．‎ 解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎（Ⅰ），，由得．‎ 所以．‎ 即为的直角坐标方程．‎ 同理为的直角坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）由解得．‎ 即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．‎ ‎22．Ｃ（本小题满分10分）选修；不等式选讲 设函数．‎ ‎（I）解不等式；‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ ‎（II）求函数的最小值．‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）令，则 ‎．．．．．．．．．．．．．．．3分 作出函数的图象，它与直线的交点为和．‎ 所以的解集为．‎ ‎（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．‎ ‎(2008广东理)13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ．‎ ‎【标准答案】。‎ ‎【试题解析】我们通过联立解方程组解得，即两曲线的交点为。‎ ‎【高考考点】极坐标、极坐标方程 ‎14．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．‎ ‎【标准答案】。‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ ‎【试题解析】关于的二次方程的判别式，方程有实根，那么 ‎。‎ 即，而，从而，‎ 解得。‎ ‎【高考考点】不等式选讲。‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径 ．‎ ‎【标准答案】。‎ ‎【试题解析】依题意，我们知道，由相似三角形的性质我们有，即。‎ ‎【高考考点】几何证明选讲 ‎(2008广东文)‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为 ‎，则曲线 交点的极坐标为 。‎ ‎【解析】我们通过联立解方程组解得，即两曲线的交点为。‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.‎ ‎【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。‎ ‎（2008海南、宁夏）‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ ‎22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。‎ ‎（Ⅰ）证明：OM·OP = OA2；‎ ‎（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交 圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：∠OKM = 90°。‎ ‎【试题解析】：（Ⅰ）证明:因为MA是圆O的切线,所以.‎ ‎ 又因为,在中,由射影定理知,‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）证明:因为BK是圆O的切线, ,‎ 同（Ⅰ）,有, .‎ 所以,即.‎ 又,‎ 所以,故.‎ ‎【高考考点】圆的有关知识及应用 ‎【易错点】：对有关知识掌握不到位而出错 ‎【学科网备考提示】：高考对平面几何的考查一直要求不高，故要重点掌握，它是我们的得分点之一。‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）。‎ ‎（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线。写出的参数方程。与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由。‎ ‎【试题解析】：（Ⅰ）C1是圆，C2是直线，‎ C1的普通方程是，C2的普通方程是.‎ 因为圆心C1到直线的距离是1,‎ 所以C1与C2只有一个公共点.‎ ‎（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为C1：，‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ 曲线C2：.‎ 化为普通方程为:,: .‎ 联立消元得,‎ 其判别式,‎ 所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C1与C2的公共点的个数相同。‎ ‎【高考考点】参数方程与普通方程的互化及应用 ‎【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错 ‎【备考提示】：高考对参数方程的考查要求也不高，故要重点掌握，它也是我们的得分点之一 ‎（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）作出函数的图像；‎ ‎（Ⅱ）解不等式。‎ ‎【试题解析】:（Ⅰ）令，则 ‎．．．．．．．．．．．．．．．3分 图象如图所示，‎ ‎（Ⅱ）不等式,即.‎ 由得.‎ 由函数图象可知，原不等式的解集为．‎ ‎【高考考点】绝对值不等式的有关知识及应用本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及转化与化归的思想，分析问题与解决问题的能力。‎ ‎【易错点】：对绝对值不等式不会灵活分类而出错 ‎【备考提示】：高考对绝对值不等式的考查要求不高，以中档题为主，故是我们的得分点之一，平时复习时不要盲目加深。‎ ‎（2008江苏卷）附加题 ‎21：从A，B，C，D四个中只能选做2题，每小题10分，共计20分。‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ A．选修4—1：几何证明选讲 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：．‎ 证明：如图，因为 是圆的切线，‎ ‎ 所以，,‎ ‎ 又因为是的平分线，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 从而 ‎ ‎ 因为 ,‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ,故.‎ ‎ 因为 是圆的切线，所以由切割线定理知，‎ ‎ ,‎ ‎ 而，所以。‎ B．选修4—2　矩阵与变换 在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．‎ 解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点 ‎ 则有 ‎ ‎，即，所以 ‎ 又因为点在椭圆上，故，从而 ‎ 所以，曲线的方程是 ‎ C．选修4—4　参数方程与极坐标 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．‎ 解： 因椭圆的参数方程为 ‎ 故可设动点的坐标为，其中.‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ ‎ 因此 ‎ 所以，当时，取得最大值2。‎ D．选修4—5　不等式证明选讲 设a，b，c为正实数，求证：．‎ 证明：因为为正实数，由平均不等式可得 ‎ 即 ‎ ‎ 所以，‎ ‎ 而 ‎ 所以 。‎ ‎22．【必做题】如图，设动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．‎ 解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则有,,, ‎ ‎ 由，得，‎ 所以 ‎ ‎ 显然不是平角，所以为钝角等价于 ‎ ，则等价于，‎ 即 ，得．‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ 因此，的取值范围是 ‎23．【必做题】．请先阅读：‎ 在等式（）的两边求导，得：，‎ 由求导法则，得，化简得等式：．‎ ‎（1）利用上题的想法（或者其他方法），试由等式 （，正整数），证明：．‎ ‎（2）对于正整数，求证：‎ ‎（i）； （ii）； （iii）．‎ 证明：（1）在等式两边对求导得 ‎ 移项得 （*）‎ ‎（2）（i）在（*）式中，令，整理得 ．‎ ‎ 所以 ‎ ‎（ii）由（1）知．‎ 两边对求导，得．‎ 在上式中，令 ‎ ，‎ 即 ，‎ 亦即 ①‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ 又由（i）知 ②‎ 由①+②得　　．‎ ‎（iii）将等式两边在上对积分，‎ ‎，‎ ‎ 由微积分基本定理，得，‎ ‎ 所以 ．‎ ‎2009广东卷 ‎13．（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线（为参数）垂直，则 ．‎ ‎【解析】，得.‎ ‎14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 ．‎ ‎【解析】且.‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点， 且， 则圆的面积等于 ．‎ ‎【解析】解法一：连结、，则，∵，，∴，则；解法二：，则.‎ ‎2009江苏卷 ‎21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ A.选修4 - 1：几何证明选讲 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.‎ 求证：AB∥CD.‎ ‎[解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。‎ 证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。‎ B. 选修4 - 2：矩阵与变换 求矩阵的逆矩阵.‎ ‎[解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。‎ 解：设矩阵A的逆矩阵为则 即故 解得：，‎ 从而A的逆矩阵为.‎ C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为（为参数，）.‎ 求曲线C的普通方程。‎ ‎[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。‎ 解：因为所以 故曲线C的普通方程为：.‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ D. 选修4 - 5：不等式选讲 ‎ 设≥＞0,求证：≥.‎ ‎[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。‎ 证明：‎ 因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0，‎ 即≥.‎ ‎2009海南宁夏卷 ‎（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲 如图，已知ABC中的两条角平分线和相交于，B=60，在上，且。 ‎ ‎（1）证明：四点共圆；‎ ‎ （2）证明：CE平分DEF。‎ ‎ （22）解：‎ ‎（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，‎ 所以∠BAC+∠BCA=120°.‎ 因为AD,CE是角平分线，‎ 所以∠HAC+∠HCA=60°，‎ 故∠AHC=120°.‎ 于是∠EHD=∠AHC=120°.‎ 因为∠EBD+∠EHD=180°，‎ 所以B,D,H,E四点共圆。‎ ‎（Ⅱ）连结BH，则BH为的平分线，得30°‎ 由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆， ‎ 所以30°‎ 又60°，由已知可得，‎ 可得30°‎ 所以CE平分 ‎（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ ‎ 已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。‎ ‎（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 ‎ （t为参数）距离的最小值。 ‎ ‎（23）解：‎ ‎（Ⅰ） ‎ 为圆心是，半径是1的圆。‎ 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆 ‎（Ⅱ）当时，，故 为直线，‎ M到的距离 ‎ 从而当时，取得最小值 ‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 如图，为数轴的原点，为数轴上三点，为线段上的动点，设表示与原点的距离， 表示到距离4倍与到距离的6倍的和.‎ ‎（1）将表示为的函数；‎ ‎（2）要使的值不超过70， 应该在什么范围内取值？‎ ‎ ‎ ‎（24）解：‎ ‎（Ⅰ） ‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）依题意，满足 解不等式组，其解集为 所以 ‎ ‎2009辽宁理卷 ‎( 22 ) （本小题满分 10 分）选修 4- l ：几何证明选讲 己知△ABC中，AB=AC , D是△ABC外接圆 劣弧上的点（不与点A , C重合），延长BD至E。‎ ‎(1)求证：AD 的延长线平分；‎ ‎(2)若，△ABC中BC边上的高,‎ 求△ABC外接圆的面积．‎ ‎( 22 ) 解：( 1 ）如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C， D 四点共圆， ‎ ‎= ， 又AB＝AC ，∴，且，‎ ‎∴，对顶角，故，‎ 故AD 的延长线平分。 ‎ ‎.( 2）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H ，则AH⊥BC , ‎ 连接 OC ，由题意OAC＝OCA =，，‎ ‎∴，设圆半径为r，则，‎ 得：r= 2 ，故外接圆面积为。 ‎ ‎( 23 ) （本小题满分 10 分）选修 4- 4 ：极坐标与参数方程 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M , N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求M , N的极坐标；‎ ‎（2）设M , N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎( 23 )解：（1）由得：，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为，即，‎ 当时，，∴M的极坐标（2，0）；‎ 第 15 页 共 15 页 ‎ ‎ 当时，，∴N的极坐标。 ‎ ‎（2）M的直角坐标为（2，0），N的直角坐标为，∴P的直角坐标为，‎ 则P的极坐标为，直线OP的极坐标方程为．----10分 ‎ ( 24 ) （本小题满分 10 分）选修 4- 5 ：不等式选讲 设函数，‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）如果，，求a的取值范围 ‎( 24 )解：（1）当时，，由得：，‎ ‎（法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为。‎ ‎（法二）不等式可化为或或，‎ ‎∴不等式的解集为。 ‎ ‎（2）若，，不满足题设条件；‎ 若，，的最小值为；‎ 若，，的最小值为。‎ 所以对于，的充要条件是，从而a的取值范围。‎ 第 15 页 共 15 页