四川省绵阳市高中2017级第二次诊断性考试 文科数学试题(扫描版含答案)

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四川省绵阳市高中2017级第二次诊断性考试 文科数学试题(扫描版含答案)

文科数学答案 第1页(共 5 页) 绵阳市高中 2017 级第二次诊断性考试 文科数学参考答案及评分意见 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. DAACB ACBBD AD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.2 14.30.8 15. 2 3  16.3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.解:(1)由题意得,直方图中第一组,第二组的频率之和为 0.04×5+0.06×5=0.5. 所以阅读时间的中位数 m=10. ………………………………………………4 分 (2)由题意得,男生人数为 45 人,因此女生人数为 55 人,由频率分布直方 图知,阅读时长大于等于 m 的人数为 100×0.5=50 人, 故列联表补充如下: ………………………8 分 K2 的观测值 k= 100×(25×30-25×20)2 50×50×45×55 = 100 99 ≈1.01<2.706,所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关. ……12 分 18.解:(1)由题意得 4 1 1= +3 = +6a a d a , 7 1 1= +6 = +12a a d a . ∴ 2 1 1( 3 3) =( +6) ( +12)a a−  ,解得 1= 3a − 或 1= 15a − . ……………………4 分 又 3 1 2 2 0a a= +   ,得 1 4a  − ,故 1= 3a − . ∴ = 3 2 ( 1) 2 5na n n− +  − = − . ∴ 3 2 2=2 =2na n nb + − .………………………………………………………………7 分 (2)由(1)可知, 1=2 5 2n n n nc a b n −= + − + .………………………………8 分 1 2=n nS c c c+ + +   1 2 = 3 1 1 (2 5) 1 2 n n − − − + + + − + − ( 3 2 5) = 2 1 2 nn n− + − + − 2=2 4 1n n n+ − − . …………………………………………………………12 分 男 女 总计 t≥m 25 25 50 t0). ………………………………2 分 令 2)( 2 +−= axxxg ,则 82 −= a . ① 当 a≤0 或△≤0,即 a≤ 2 2 时,得 ( )f x ≥0 恒成立, ∴ )(xf 在 ( )0 +, 上单调递增.…………………………………………………3 分 ②当 0 0 a     , , 即 22a 时, 由 0)(  xf ,得 2 8 0 2 −−  aa x 或 2 82 ++  aa x ; 由 0)(  xf ,得 2 8 2 8 22 −+  −− aa x aa . ∴ 函数 )(xf 在 2 8 (0 ) 2 a a− − , 和 2 8 ( ) 2 a a+ + +, 上单调递增, 在 2 28 8 ( ) 2 2 a a a a− − + − , 上单调递减.………………………5 分 综上所述,当 a≤ 2 2 时, )(xf 在 ( )0 +, 上单调递增; 文科数学答案 第4页(共 5 页) 当 22a 时,函数 )(xf 在 2 8 (0 ) 2 a a− − , 和 2 8 ( ) 2 a a+ + +, 上单调递增, 在 2 28 8 ( ) 2 2 a a a a− − + − , 上单调递减. …………6 分 (2)由(1)得,当 22a 时, )(xf 有两极值点 1 2x x, (其中 12 xx  ). 则 1 2x x, 为 02)( 2 =+−= axxxg 的两根, ∴ axx =+ 21 , 221 =xx . )()( 2 1 ln2)()( 12 2 1 2 2 1 2 12 xxaxx x x xfxf −−−+=− 2 ln2 2 1 2 2 1 2 xx x x − −= 21 2 1 2 2 1 2ln2 xx xx x x − −= 2 1 1 2 1 2ln2 x x x x x x +−= . ………………………………………………8 分 令 1 2 x x t = ( 1t ), 则 )()()( 12 thxfxf =− t tt 1 ln2 +−= . 由 a≥3,得 21 2 21 2 )( 2 xx xxa + = 2 1 ++= t t ≥ 9 2 , 即 2t2-5t+2≥0,解得 t≥2. ∵ 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( 1) ( ) 1 0 t t t h t t t t t − + − − −  = − − = =  , ∴ )(th 在  )2 +, 上单调递减, ∴ 2 3 2ln2)2()(max −== hth . 即 )()( 12 xfxf − 的最大值为 2 3 2ln2 − .………………………………………12 分 22.解:(1)将 C1 的参数方程化为普通方程为(x-1)2+y2=r2. 由 cosx  = , siny  = , 得点 P(2, 3  )的直角坐标为(1, 3 ),代入 C1,得 2 3r = , ∴ 曲线 C1 的普通方程为(x-1)2+y2=3.………………………………………3 分 文科数学答案 第5页(共 5 页) C2 可化为 2 2 2 2cos sin 1   − = ,即 2 2 2(cos sin ) 1  − = ∴ 曲线 C2 的极坐标方程为 2 cos2 1  = .……………………………………5 分 (2)将点 1( )A  , , 2( ) 6 B    −, 代入曲线 C2 的极坐标方程, 得 2 1 cos2 =1  , 2 2 cos(2 )=1 3    − , ∴ 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 cos2 cos(2 ) 3OA OB      + = + = + − 3 3 cos2 sin 2 3sin(2 ) 2 2 3    = + = + . ……………………8 分 由已知 (0 ) 4    , ,可得 5 2 ( ) 3 3 6     +  , , 于是 3 3sin(2 ) ( 3] 3 2   +  , . 所以 2 2 1 1 OA OB + 的取值范围是( 3 2 , 3 ]. ………………………………10 分 23.解:(1)由 a=4 时, 1 2 log 2a = − .原不等式化为 1 2 1 2x x+ − − −≤ , 当 x≥ 1 2 时,x+1-(2x-1)≤-2,解得 x≥4,综合得 x≥4; ………………3 分 当-1< 1 2 x  时, 1 2 1x x+ + − ≤-2 ,解得 x≤ 2 3 − ,综合得 2 1 3 x−  −≤ ; 当 x≤-1 时, ( 1) 2 1 2x x− + + − −≤ ,解得 x≤0,综合得 x≤-1. ………… 4 分 ∴不等式的解集为{x | 2 3 x −≤ ,或 x≥4}.……………………………………6 分 (2)设函数 2 1 1 ( ) 1 2 1 = 3 1 2 1 2. 2 x x f x x x x x x x   −  −   = + − − −    − + , , , ≤ , ≥ , 画图可知,函数 f(x)的最大值为 3 2 . 由 1 2 3 log 2 a≤ ,解得 0
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