2019-2020学年高中数学课时作业10简单形式的柯西不等式北师大版选修4-5
课时作业(十)
1．设a，b，c，d，m，n都是正数，P＝＋，Q＝·，则( )
A．P≤Q B．P≥Q
C．P＝Q D．不确定
答案 A
解析 利用柯西不等式有
(ma＋nc)(＋)≥(·＋·)2＝(＋)2，即·≥＋，即P≤Q，故选A.
2．已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，若y1＝，y2＝，则y1y2与x1x2的关系式为( )
A．y1y2
x1x2 D．不能确定
答案 C
3．已知＋＝1(a>b>0)，设A＝a2＋b2，B＝(x＋y)2，则A，B间的大小关系为( )
A．AB
C．A≤B D．A≥B
答案 D
解析 A＝a2＋b2＝1·(a2＋b2)＝(＋)(a2＋b2)≥(·a＋·b)2＝(x＋y)2＝B.
4．函数y＝＋2的最大值是( )
A. B.
C．3 D．5
答案 B
解析 y＝1×＋2≤×
＝.
5．已知3x＋y＝10，则x2＋y2的最小值为( )
A. B．1
C．10 D．100
答案 C
解析 ∵3x＋y＝10，∴100＝(3x＋y)2＝(3×x＋1×y)2≤(32＋12)(x2＋y2)＝10(x2＋y2)，∴x2＋y2≥10.
4
6．设x，y∈R＋，且x＋2y＝8，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ＋＝(x＋2y)(＋)≥(·＋·)2＝.
7．已知p，q∈R＋，且p3＋q3＝2，则p＋q的最大值为( )
A．2 B．8
C. D．4
答案 A
解析 设m＝(p，q)，n＝(p，q)，则p2＋q2＝p·p＋q·q＝|m·n|≤|m|·|n|＝·＝·.
∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，
∴≤p2＋q2≤.
∴(p＋q)4≤8(p＋q)，∴p＋q≤2.
8．若3x2＋2y2≤1，则3x＋2y的取值范围是( )
A．[0，] B．[－，0]
C．[－，] D．[－5，5]
答案 C
9．设a，b∈R，a2＋b2＝3，则3a－b的最大值为( )
A．30 B．－30
C. D．－
答案 C
10．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则＋的最大值是( )
A．2 B．2
C. D．12
答案 B
11．已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值为________．
答案
4
解析 2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝.
12．设xy>0，则(x2＋)(y2＋)的最小值为________．
答案 9
解析 (x2＋)(y2＋)≥(x·＋·y)2＝9.
13．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则＋的最小值是________．
答案 ＋
解析 因为a，b∈R＋且a＋b＝1，
所以＋＝(＋)(a＋b)，由柯西不等式得
(＋)(a＋b)≥(·＋·)2
＝(＋1)2＝＋.当且仅当时等号成立，此时a＝－1，b＝2－.
14．设x>0，y>0，x＋y≤4，则＋的最小值为________．
答案 1
解析 4(＋)≥(x＋y)(＋)
＝[()2＋()2]·[()2＋()2]
≥(·＋·)2＝(1＋1)2＝4，
∴＋≥1.
15．已知a，b，c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θ
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