人教版高中物理一轮复习课件：4 圆周运动及其应用
第3讲圆周运动及其应用
考点1描述匀速圆周运动的物理量概念：线速度、角速度、周期、转速、向心力、向心加速度，比较见表：
定义、意义公式、单位线速度①描述做圆周运动的物体运动_____的物理量(v)②是矢量，方向和半径垂直，和圆周_____①v=_____②单位：____角速度①描述物体绕圆心____________的物理量(ω)②中学不研究其方向①ω=_____②单位：______快慢相切m/s转动快慢rad/s
定义、意义公式、单位周期和转速①周期是物体沿圆周运动______的时间(T)②转速是物体在单位时间内转过的_____(n)，也叫频率(f)①T=____=____，单位：__②n的单位:____、______③f=,单位：Hz向心加速度①描述速度_____变化快慢的物理量(an)②方向指向______①an=____=____②单位：_____一圈圈数方向圆心sr/sr/minm/s2ω2r
定义、意义公式、单位向心力①作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的_____，不改变线速度的___②方向指向_____①Fn=mω2r==________②单位：N相互关系①v=ωr=_____=_______②an==rω2=ωv=______=________③Fn==mrω2=_______=mωv=____________方向大小圆心2πrf4π2f2rm·4π2f2r
1.在传动装置中各物理量的关系在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：(1)同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v=ωr与半径r成正比，向心加速度大小a=rω2与半径r成正比.(2)当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等,两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据确定.
2.用动力学方法解决圆周运动中的问题(1)向心力的来源.向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.(2)向心力的确定.①确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.②分析物体的受力情况，找出所有的力,沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.
(3)解决圆周运动问题的主要步骤.①审清题意，确定研究对象；②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；④根据牛顿运动定律及向心力公式列方程；⑤求解、讨论.
(多选)如图所示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为r1,从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑.下列说法正确的是()A.从动轮做顺时针转动B.从动轮做逆时针转动C.从动轮的转速为D.从动轮的转速为
【解析】选B、C.主动轮顺时针转动，皮带交叉，则从动轮逆时针转动，根据两轮线速度相等，2πn·r1=2πn′·r2，解得故B、C正确.
1.定义：线速度__________的圆周运动2.性质：向心加速度大小______，方向总是__________的变加速曲线运动3.质点做匀速圆周运动的条件合力______不变，方向始终与速度方向______且指向圆心.考点2匀速圆周运动大小不变不变指向圆心大小垂直
竖直面内圆周运动问题分析物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常有两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
轻绳模型轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球
轻绳模型轻杆模型过最高点的临界条件由得由小球能运动即可，得v临=0
轻绳模型轻杆模型讨论分析(1)当v=0时，FN=mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v＜时，-FN+mg=,FN背离圆心且随v的增大而减小(3)当v=时，FN=0(4)当v＞时，FN+mg=,FN指向圆心并随v的增大而增大(1)过最高点时，v≥,FN+mg=,绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点时v＜,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为()A.μmgB.μmC.μm(g+)D.μm(g-)
【解析】选C.当物体滑至最低点时，由牛顿第二定律FN－mg＝得物体与轨道间的正压力为FN＝mg＋又因为是滑动摩擦力，所以Ff=μFN＝μm(g+)，故选C.
1.离心运动(1)定义：做__________的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需________的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动.(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的______，总有沿着圆周__________飞出去的倾向.考点3离心运动和近心运动圆周运动向心力惯性切线方向
(3)受力特点.①当F=mω2r时，物体做__________运动；②当F=0时，物体沿______方向飞出;③当F
mω2r,物体将逐渐______圆心，做近心运动.靠近
离心运动的两个提醒1.物体做离心运动并非物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现2.物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出
下列关于离心现象的说法正确的是()A.当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动C.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将沿切线做直线运动D.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
【解析】选C.离心力是一种效果力，实际并不存在，A错；做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，由于惯性，它将沿切线方向飞出，做匀速直线运动，B、D错，C正确.
水平面内的匀速圆周运动【例证1】随着经济的持续发展，人民生活水平的不断提高，近年来我国私家车数量快速增长，高级和一级公路的建设也正加速进行，为了防止在公路弯道部分由于行车速度过大而发生侧滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面.如果某品牌汽车的质量为m，汽车行驶时弯道部分的半径为r，汽车轮胎与路面的动摩擦因数为μ，路面设计的倾角为θ，如图所示.(重力加速度g取10m/s2)
(1)为使汽车转弯时不打滑，汽车行驶的最大速度是多少？(2)若取sinθ=r=60m，汽车轮胎与雨雪路面的动摩擦因数为μ=0.3，则弯道部分汽车行驶的最大速度是多少？【解题指南】解答本题可按以下思路进行：(1)对汽车进行受力分析，确定汽车受到哪几个力作用.(2)根据平衡条件和圆周运动所需向心力，利用正交分解列方程求解.
【自主解答】(1)汽车受力分析如图所示，竖直方向：FNcosθ=mg+Ffsinθ水平方向：FNsinθ+Ffcosθ=又Ff=μFN联立可得(2)代入数据可得：v=14.6m/s.答案：(1)(2)14.6m/s
【总结提升】水平面内的匀速圆周运动的分析方法1.运动实例：圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周运动等.2.这类问题的特点是(1)运动轨迹是圆且在水平面内；(2)向心力的方向水平，竖直方向的合力为零.3.解答此类问题的方法(1)对研究对象受力分析，确定向心力的来源；(2)确定圆周运动的圆心和半径；(3)应用相关力学规律列方程求解.
【变式训练】(2012·南京模拟)冰面对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应满足()A.v≥B.v≤C.v≤D.v≤【解析】选B.若仅靠摩擦力提供向心力而不冲出滑道,即kmg≥故v≤B对.
竖直平面内圆周运动的求解【例证2】(14分)长L=0.5m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内无摩擦地转动，另一端固定着一个小球A.A的质量为m=2kg，当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下杆对小球的作用力：(1)A在最低点的速率为m/s；(2)A在最低点的速率为6m/s.
【解题指南】解答本题需把握以下两点：(1)明确本题属于轻杆模型，对小球进行受力分析；(2)明确小球向心力的来源，结合牛顿第二定律列方程求解.
【规范解答】设小球在最高点速度为v，对小球A由最低点到最高点过程，取圆周的最低点为参考平面，由机械能守恒定律得，①(2分)在最高点，假设细杆对A的弹力F向下，则A的受力图如图所示.以A为研究对象，由牛顿第二定律得mg+F=②(2分)所以F=m(-g)③(2分)
(1)当m/s时，由①式得v=1m/s，④(1分)F=2×(-10)N=-16N，⑤(1分)负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反，即杆给A向上16N的支持力.(1分)(2)当v0=6m/s时，由①式得v=4m/s；⑥(2分)F=2×(-10)N=44N.⑦(2分)正值说明杆对A施加的是向下44N的拉力.(1分)答案：(1)16N方向向上(2)44N方向向下
【互动探究】在【例证2】中若把细杆换成细绳，则在(1)、(2)两种情况下小球能通过最高点吗？若能，此时细绳对小球的拉力为多少？
【解析】对小球A由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得，①(1)当m/s时，由①式得v=1m/s，②对小球A，刚好过最高点时，有③解得m/s，④因为v=1m/svmin,故小球能过最高点.此时对小球,由牛顿第二定律得⑥解得：F=44N答案：第(1)种情况不能，第(2)种情况能44N
【总结提升】竖直平面内的圆周运动的求解思路1.定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是：“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体2.确定临界点：对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点
3.研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况4.受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合=F向5.过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程
【变式备选】(多选)(2012·赣州模拟)如图所示，质量为M的汽车，在比赛中要通过一段凹凸起伏的路面，若圆弧半径都是R，汽车的速率恒为v=gR,则下列说法正确的是()A.在凸起的圆弧路面的顶部，汽车对路面的压力为零B.在凹下的圆弧路面的底部，汽车对路面的压力为3MgC.在凸起的圆弧路面的顶部，汽车的向心力为0D.在凹下的圆弧路面的底部，汽车的向心力为Mg
【解析】选A、D.在凸起的圆弧路面的顶部，设汽车对路面的压力为FN，则将代入，得FN=0，选项A正确；在凹下的圆弧路面的底部，设汽车对路面的压力为FN，则将代入，得FN=2Mg,选项B错；不论路面凸起还是凹下，汽车的向心力选项C错误,D正确.
向心力来源的确定【例证3】如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球.给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法中正确的是()
A.小球受重力、绳的拉力和向心力作用B.小球做圆周运动的半径为LC.θ越大，小球运动的速度越大D.θ越大，小球运动的周期越大【解题指南】解答本题应注意以下三点：(1)对小球正确受力分析；(2)确定圆周运动的平面和向心力的来源；(3)根据牛顿第二定律和圆周运动的相关公式求解.
【自主解答】选C.小球只受重力和绳的拉力作用，合力大小为F=mgtanθ，半径为R=Lsinθ，A、B均错；小球做圆周运动的向心力是由重力和绳的拉力的合力提供的，则mgtanθ=得到θ越大，小球运动的速度越大，C对；周期θ越大，小球运动的周期越小，D错.
【总结提升】关于向心力来源的确定，关键是对物体进行正确的受力分析，确定沿半径方向的合外力提供向心力.在解答本题时易犯错误具体分析如下：易错角度错误原因A项对向心力认识不清，小球在水平面内做匀速圆周运动需要向心力，物体做圆周运动时，沿半径指向圆心方向的力称为向心力，是由合外力提供或充当.小球只受到重力和绳的拉力作用，重力和绳的拉力的合外力提供小球做圆周运动所需要的向心力.
易错角度错误原因D项对描述圆周运动的参量内在联系不清楚，认为θ越大，小球运动半径越大，误认为小球的线速度不变，得出小球运动的周期越大的错误结论.
【变式训练】如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半.内壁上有一质量为m的小物块.求:(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度.
【解析】(1)设圆锥筒与水平面夹角为θ,当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得摩擦力的大小为：支持力的大小为：FN=mgcosθ=
(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块受到重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω则：mgtanθ=mω2·由几何关系得：tanθ=联立以上各式解得：答案：(1)(2)
考查内容圆周运动的临界问题【例证】如图所示，细绳一端系着质量m1=0.6kg的物体A静止在水平面上，另一端通过光滑小孔O吊着质量m2=0.3kg的物体B.A与小孔O的距离为0.2m，且与水平面的最大静摩擦力为2N，为使B保持静止状态，A做匀速圆周运动的角速度ω应在什么范围？(g取10m/s2)
【规范解答】B保持静止状态时，A做匀速圆周运动的半径r不变，根据F向=m1rω2可知，向心力发生变化时角速度将随之改变，A的向心力由细绳拉力和静摩擦力提供.当ω最小时，A受的最大静摩擦力Ff的方向与拉力方向相反，则有m2g-Ff=m1rrad/s当ω最大时，A受的最大静摩擦力Ff的方向与拉力方向相同，则有
rad/s=rad/s所以，A做匀速圆周运动的角速度范围是rad/s答案：rad/s
圆周运动的“等效最高点”与“等效最低点”物体仅在重力场中的圆周运动是最简单，也是最为熟悉的运动类型，但是物体在复合场中的圆周运动又是我们在综合性试题中经常遇到的问题，如果我们能化“复合场”为“等效重力场”，找出圆周运动的“等效最高点”与“等效最低点”，就可以化繁为简，化难为易.
1.模型特征物体在竖直平面内做圆周运动，除受重力外，还受其他恒力作用，即在复合场中运动.2.圆周运动的“等效最高点”与“等效最低点”问题的应考策略(1)解题步骤.①分析问题是否属于圆周运动的“等效最高点”与“等效最低点”问题；②类比得出此时的等效重力加速度和临界位置、临界条件.
(2)注意问题.①注意g与g′的区别：对于竖直平面内的圆周运动模型，则要从受力情形出发，分清“地理最高点”和“物理最高点”，弄清有几个场力；②竖直平面内若做匀速圆周运动，则必须根据做匀速圆周运动的条件，找出隐含条件；③注意线和导轨类问题的约束条件的不同.
【典题例证】如图所示，两个水平放置的带电平行金属板的匀强电场中，一长为l的绝缘细线一端固定在O点，另一端拴着一个质量为m、带有一定电量的小球，小球原来静止，当给小球某一速度后，它可绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，若两板间电压增大为原来的4倍，求：
(1)要使小球从C点开始在竖直平面内做圆周运动，开始至少要给小球多大的速度？(2)在运动过程中细线所受的最大拉力.【命题探究】本题设计较为巧妙，属于典型的竖直平面内的等效重力问题.
【深度剖析】本题的物理情景不难想象：一条细线系带电小球在两板间原来的电场中做匀速圆周运动.后来两板间电压升高为原来的4倍，小球仍在竖直面内做圆周运动.这两种情况下相应的物理条件是不同的，必须注意正确地把它们转化为具体的物理条件.(1)设原来两极板间电压为U，间距为d，小球电量为q，因小球开始能在电场中做匀速圆周运动，故小球所受电场力向上，并且和重力相等，所以小球带正电，且满足①
当两板间电压增到4U时，设需在C点给小球的速度为v才能使其在竖直平面内做圆周运动，分析知C点就是小球做圆周运动的等效最高点(即临界点)，在等效最高点处小球的线速度最小，小球所受新的电场力与重力的合力恰好满足在该处做圆周运动的向心力，此时细线对小球的拉力为零(这是等效最高点的特点)，即：②得到③
(2)小球在最高点D时就是小球做圆周运动的等效最低点，小球在等效最低点处的线速度最大，所以细线所受拉力最大，设最大拉力为FT，由牛顿第二定律有：④小球从C点运动到D点过程中，重力和电场力做功，根据动能定理，有：⑤由⑤式得小球在等效最低点处的线速度⑥将⑥式代入④式，得FT=18mg
1.匀速圆周运动属于()A.匀速运动B.匀加速运动C.加速度不变的曲线运动D.加速度变化的曲线运动
【解析】选D.线速度是矢量，在匀速圆周运动中，线速度大小不变，但方向不断变化，所以匀速圆周运动是一个变速曲线运动或者称为速率一定的曲线运动，由于其加速度为向心加速度，方向始终指向圆心，因此加速度方向也不断发生变化，所以选项D正确.
2.如图所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，大轮半径是小轮半径的2倍.A、B分别为大、小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点.则()A.两轮转动的角速度相等B.大轮转动的角速度是小轮的2倍C.质点加速度aA=2aBD.质点加速度aB=4aC
【解析】选D.两轮不打滑，边缘质点线速度大小相等，vA=vB，而rA=2rB，故ωA=ωB，A、B错误；由an=得C错误；由an=ω2r得则=4，D正确.
3.m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮，如图所示，已知皮带轮半径为r，传送带与皮带轮间不打滑，当m可被水平抛出时，A轮每秒的转数最少是()A.B.C.D.
【解析】选A.当m被水平抛出时只受重力的作用，支持力FN=0.在圆周最高点，重力提供向心力，即所以而v=2πn·r，所以所以每秒的转数最少为A正确.
4.(多选)(2012·太原模拟)如图所示，小球沿水平面通过O点进入半径为R的半圆弧轨道后恰能通过最高点P，然后落回水平面，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是()
A.小球过P点时的速度为B.小球落地点离O距离为2RC.小球运动到半圆弧最高点P时，向心力恰好为零D.若将半圆弧上部的圆弧PQ截去，其他条件不变，则小球做斜上抛运动【解析】选A、B.因为小球恰能通过最高点，则有所以A正确；根据平抛运动规律得：x=v0t,2R=gt2,解得x=2R,B正确；小球通过最高点时向心力大小为mg，C错误;若将半圆弧上部截去，小球竖直上抛，D错误.
5.如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管道竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，小球通过最高点P时，对管壁的压力为mg.求:(1)小球从管口飞出时的速率;(2)小球落地点到P点的水平距离.
【解析】(1)分两种情况:①当小球对管内壁有压力时,则有②当小球对管外壁有压力时,则有(2)小球从管口飞出做平抛运动,竖直方向:水平方向:答案：(1)或(2)或
