评十年高考看一个题根

评十年高考看一个题根

‎1.评十年高考 看一个题根 ‎ ‎——从“阿波罗尼斯圆”说起 几十年高考及各地各种大小备考，简直可以汇集成题的海洋。但细究起来，其知识源头只不过是少数几个。题的不同根基也屈指可数。题根研究的首创者万尔遐先生经过细究，竟发现在高考的数学正卷中，同一个题根，竟连绵考核了10年以上。感叹之余，写了如下脍炙人口的歌谣：‎ 题成海，题成河，说到题根并不多。教材深处留心找，找到题根书变薄。‎ 考题多，考题新，多新一片像森林。林中切莫眼花乱，认得题根知考根。‎ 上面的这首儿歌，唱出了三种关系：题目与题根的关系；考题与考根的关系；最后，题根与考根的关系。那么，到底什么是题根？ ‎ ‎ 一、题根案例 ‎【根题】（人教A版必修2，p124，B组，3题。）已知点M与 两个定点O（0，0）,A（3，0）的距离比为，求点M的轨迹方程.‎ ‎【解析】如图1，设动点，连结MO,MA,有：‎ ‎，化简得：‎ 图1‎ ‎，也就是：‎ 方程（1）即为所求点M的轨迹方程，它表示以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆。‎ 评注：1.根题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆.根题首先是一道题，而且是具有“生长性”的好题。在它的基础上，数学人不仅能“看”出它的精髓，释放它的价值。而且以它为“根”，可以 “长”出许多好题。‎ ‎2.阿波罗尼斯（Apolloning,约公元前260~170），古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德等齐名。著有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书。‎ 二、理论基础 将如上根题推广到一般形式，即得轨迹问题：动点到定点 的距离之比为定值λ.（c，λ为正数），求点的轨迹方程 .（本题实为2003年北京春季高考题）‎ ‎【解析】依题意，由距离公式：，化简得：‎ ‎【讨论】方程的图形是什么？‎ ①当λ=1时，得 x = 0 ,也就是线段的垂直平分线（定义这样的直线为阿波罗直线）；‎ ‎②当λ≠1时，方程（1）变形得：，化成标准形式：‎ ‎，这是以为圆心，且半径 的圆。（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆”）。‎ ‎【欣赏】阿波罗尼斯圆与直线有四美：‎ ‎1.同一个方程，根据参数的不同，时而表示直线，时而表示圆，这是直线与圆的统一美；‎ ‎2.当λ≠1时，不妨设c=1,可得：‎ 注意到：，可得：，‎ 说明这3数之间存在勾股关系，这反映了阿波罗轨迹内部的结构美；‎ ‎3.在方程（1）中，如圆心在y轴右边，如令，代入（1）得：‎ 方程（3）与具有类似的形式，只不过由于，圆心在y轴左边。这两个方程表示的图形关于y轴对称。例如分别取时，分别代入方程（2）与（3），得：‎ 和，它们的图形关于y轴（阿波罗直线）对称。‎ 所以方程（1）又彰显解几图形的对称美与完整美；‎ ‎4.对于方程（1），只要λ≠1，它都表示圆，当λ无限接近于1乃至等于1时，其图形最终成为直线，‎ 这又是曲线由量变到质变的运动美。‎ 三、考场精彩 ‎【题1】（2013.江苏卷，17题（2））如图2，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在上. 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。‎ ‎【解析】点C在直线上，故设∵半径，∴圆C的方程是：‎ ‎．‎ 满足的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，由 ‎，‎ 这里圆心为D（0，-1）,半径．‎ 两圆有公共点的条件是：‎ 图2‎ 即，解得．‎ 评注：图2可以直观地说明两圆公共点的变化情况，当时，‎ 圆C为与所求圆D相切；当时，圆C为,也与所求圆D相切。这样，答案的正确性也就不言而喻了．‎ ‎【题2】 [2012·苏南三校联考,15题] 已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；‎ ‎(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C 只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程．‎ ‎【解析】（1）设点P的坐标为(x，y)，‎ 则＝2，化简可得 ‎ (x－5)2＋y2＝16即为所求．‎ ‎(2)如图3，曲线C是以点(5,0)为圆心，‎ 图3‎ ‎4为半径的圆，则直线l2是此圆的切线，连接CQ，‎ 则△CQM必为直角三角形，‎ ‎|QM|＝＝，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值.‎ 由点线距离公式得：，此时|QM|的最小值为＝4，‎ 此时△CQM为等腰直角三角形，故这样的直线l2有两条，即 l2的方程是x＝1或y＝－4.‎ 评注：阿氏圆求得多了，直接运用公式验证也是可取的。例如本题中，应有,代入公式 ‎，立即得到：(x－5)2＋y2＝16．‎ ‎【题3】（2008.江苏卷，13题）满足条件的△ABC的面积的最大值是 ．‎ ‎【解析】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立如图4的直角坐标系，‎ 因为有，代入阿波罗圆公式得：。设圆 心为M，显然当CM⊥x轴时，△ABC面积最大,此时 ‎.‎ 图4‎ 评注：既然△ABC存在，说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P,Q，‎ 现在问：P,Q这两点究竟有什么性质？‎ 由于，∴为△ACB的内角平分线；同理，为△ACB的外角平分线。‎ 这就是说，P,Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径。‎ 于是“阿波罗尼斯圆”在我们中国又被称为“内外圆”．因此，题3又有如下的轴上简洁解法:‎ ‎∵动点C 到定点A ( - 1，0 ) 和B（1，0）距离之比为, 则有 ,‎ ‎,‎ ‎∴得为内分点，为外分点．圆半径，即为三角形高的最大值，即△ABC 高的最大值是.故△ABC的面积的最大值是.‎ ‎【题4】（2006，四川文8理6）已知两定点 A (-2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足| PA | =2| P B|，则点P的轨迹所包围的面积等于（ ）‎ A.π 　　　　 B.4π 　　　　　 C.8π 　　　 D.9π ‎【解析】显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决。‎ 设O为坐标原点，注意到,可知原点O为线段AB的内分点．设AB的外分点为，‎ 由，即有C（4，0）.于是圆直径为，∴，所求轨迹面积 ‎，故选B.‎ 评注：本题条件中的A,B关于y轴不对称，所以直接用阿波罗圆公式不恰当，但由于知道轨迹一定是圆，圆面积只与半径有关，而半径公式为，当时，直接代入即得。‎ ‎【题5】△ABC中，角C的平分线交 AB于点 T， 且 AT = 2， TB = 1. 若AB上的高线长为2， 求 △ABC的周长. ‎ ‎【解析】建立如图5的直角坐标系，由条件知，‎ 故点C的轨迹是阿波罗圆D，且T为AB的内分点。设AB的外分点为 ‎，∵，∴，即圆直径，‎ 图5‎ 故点D（2,0）．已知△ABC 中AB上的高线长为2，即,‎ 且由勾股定理得：，‎ 故所求三角形ABC的周长．‎ 评注：如果没有阿波罗圆的知识，你可能发现不了此三角形的高原来就是圆的半径，这是一个巧妙的隐含条件。‎ 四、题根拓展 ‎1.由已知轨迹向未知轨迹拓展 ‎【例1】已知定点 B (3，0)，点 A 在圆上运动，‎ ‎∠AOB的平分线交AB于点M，则点 M 的轨迹方程是 .‎ ‎【解析】 如图6，设点为圆上任意一点，‎ 图6‎ 有 ‎∠AOB的平分线交AB于，∵，‎ 则,∴，‎ 代入（1），化简得： 方程（2）就是所求点M的轨迹方程.‎ 评注：条件依然有比例（），结论依然是圆，但已经不适合用求阿波罗轨迹的办法解题。‎ 解本题的方法叫做“坐标转移法”（也有称此法为“相关点法”或“代入法”的）。其步骤是：①设在已知轨迹上，它适合已知轨迹的方程；②找出主动点A与被动点M的转化关系；③将此关系代入已知轨迹的方程，以代替 ‎，化简即得。‎ ‎2.由距离比向角度比拓展 ‎【例2】（2012四川理卷21题（1））如图，动点M到定点A（-1，0）,B（2.0），构成△MAB,‎ y M（x,y）‎ O A（-1,0）‎ B（2,0）‎ ‎2α α x 且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C，求轨迹C的方程。‎ ‎【解析】如图设∠MAB=